資源簡介

六　三角函數(shù)的應(yīng)用　利用三角函數(shù)測高
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識點(diǎn)1　與方向角有關(guān)的問題
1.(2024·合肥期末)如圖一巡邏艇在A處,發(fā)現(xiàn)一走私船在A處的南偏東60°方向上距離A處12 海里的B處,并以每小時20 海里的速度沿南偏西30°方向行駛,若巡邏艇以每小時25 海里的速度追趕走私船,則追上走私船所需時間是(C)
A.0.5小時 B.0.75小時
C.0.8小時 D.1.25小時
2.如圖,島P位于島Q的正西方,P,Q兩島間的距離為20(1+)海里,由島P,Q分別測得船R位于南偏東60°和南偏西45°方向上,則船R到島P的距離為(A)
A.40 海里 B.40 海里
C.40 海里 D.40 海里
3.如圖,點(diǎn)P為觀測站,一艘巡航船位于觀測站P南偏西37°方向的A處,一艘漁船在觀測站P南偏東45°方向的B處,此時漁船在巡航船的正東方向,巡航船與觀測站P的距離為45 海里.現(xiàn)漁船發(fā)生緊急情況無法移動,巡航船以25 海里/時的速度前去救助,需要的時間約為　2.5　小時.(結(jié)果精確到0.1 小時.參考數(shù)據(jù):
sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈)
4.如圖,一艘執(zhí)法船以40 km/h的速度向正東方向航行,在A處測得燈塔C在北偏東60°方向上,繼續(xù)航行30 min到達(dá)B處,這時測得燈塔C在北偏東方向30°上,已知在燈塔C的四周20 km內(nèi)有暗礁,問這艘執(zhí)法船繼續(xù)向東航行是否有觸礁的危險
【解析】這艘執(zhí)法船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險.
理由:過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,
由題意得:AB=40×=20(km),∠CAB=90°-60°=30°,∠CBD=90°-30°=60°,
∵∠CBD是△ABC的一個外角,
∴∠ACB=∠CBD-∠CAB=30°,
∴∠CAB=∠ACB=30°,
∴BA=BC=20 km,在Rt△CBD中,CD=BC·sin 60°=20×=10(km),
∵10 km<20 km,
∴這艘執(zhí)法船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險.
知識點(diǎn)2　測量物體的高度
5.如圖,小王在高臺上的點(diǎn)A處測得塔底點(diǎn)C的俯角為α,塔頂點(diǎn)D的仰角為β,已知塔的水平距離AB=a,則此時塔高CD為(B)
A.asin α+asin β B.atan α+atan β
C. D.
6.全球最大的關(guān)公塑像矗立在荊州古城東門外.如圖,張三同學(xué)在東門城墻上C處測得塑像底部B處的俯角為11°48',測得塑像頂部A處的仰角為45°,點(diǎn)D在觀測點(diǎn)C正下方城墻底的地面上,若CD=10 米,則此塑像的高AB約為　58　米(參考數(shù)據(jù):tan 78°12'≈4.8).
7.(2023·仙桃中考)綜合實(shí)踐課上,航模小組用航拍無人機(jī)進(jìn)行測高實(shí)踐.如圖,無人機(jī)從地面CD的中點(diǎn)A處豎直上升30 米到達(dá)B處,測得博雅樓頂部E的俯角為45°,尚美樓頂部F的俯角為30°,已知博雅樓高度CE為15 米,則尚美樓高度DF為　(30-5)　米.(結(jié)果保留根號)
8.(2023·麗水中考)如圖,某工廠為了提升生產(chǎn)過程中所產(chǎn)生廢氣的凈化效率,需在氣體凈化設(shè)備上增加一條管道A-D-C,已知DC⊥BC,AB⊥BC,∠A=60°,AB=
11 m,CD=4 m,求管道A-D-C的總長.
【解析】如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,
則∠AED=90°,四邊形BCDE是矩形,
∴BE=CD=4 m,∴AE=AB-BE=11-4=7(m),
∵∠A=60°,∴cos A==cos 60°=,
∴AD=2AE=2×7=14(m),∴AD+CD=14+4=18(m),
即管道A-D-C的總長為18 m.
【B層 能力進(jìn)階】
9.如圖,某社會實(shí)踐活動小組實(shí)地測量兩岸互相平行的一段河的寬度,在河的南岸點(diǎn)A處,測得河的北岸邊點(diǎn)B在其北偏東45°方向然后向西走80米到達(dá)C點(diǎn),測得點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏東60°方向,則這段河的寬度為(B)
A.80(+1)米 B.40(+1)米
C.(120-40)米 D.40(-1)米
10.(2024·大同模擬)如圖是橢圓機(jī)在使用過程中某時刻的側(cè)面示意圖,已知手柄AD⊥滾輪連桿AB,且AD=20 cm,AB=160 cm,連桿AB與底坐BC的夾角為60°,則該橢圓機(jī)的機(jī)身高度(點(diǎn)D到地面的距離)為(D)
A.80 cm B.80 cm
C.cm D.cm
11.如圖,數(shù)學(xué)興趣小組想利用竹竿來測量旗桿AB的高度,在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長2米,在同時刻測量旗桿的影長時,旗桿的影子一部分落在地面上(BC),另一部分落在斜坡上(CD),他測得落在地面上的影長為10米,落在斜坡上的影長為4米,已知斜坡CD的坡度為i=1,則旗桿AB的高度為　11　.
12.(2024·武漢中考)黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn),享有“天下江山第一樓”的美譽(yù).在一次綜合實(shí)踐活動中,某數(shù)學(xué)小組用無人機(jī)測量黃鶴樓AB的高度.具體過程如下:如圖,將無人機(jī)垂直上升至距水平地面102 m的C處,測得黃鶴樓頂端A的俯角為45°,底端B的俯角為63°,則測得黃鶴樓的高度約是　51　m.(參考數(shù)據(jù):
tan 63°≈2)
13.(2024·廣州中考)2024年6月2日,嫦娥六號著陸器和上升器組合體(簡稱為“著上組合體”)成功著陸在月球背面.某校綜合實(shí)踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置,在一次試驗中,如圖,該模擬裝置在緩速下降階段從A點(diǎn)垂直下降到B點(diǎn),再垂直下降到著陸點(diǎn)C,從B點(diǎn)測得地面D點(diǎn)的俯角為36.87°,AD=17米,BD=10米.
(1)求CD的長;
(2)若模擬裝置從A點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到B點(diǎn),求模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時間.
參考數(shù)據(jù):sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈0.80,tan 36.87°≈0.75.
【解析】(1)如圖:
由題意得,AC⊥CD,BE∥CD,
∴∠EBD=∠BDC=36.87°,
在Rt△BCD中,BD=10米,
∴CD=BD·cos 36.87°≈10×0.80=8(米),
∴CD的長約為8米;
(2)在Rt△BCD中,BD=10米,∠BDC=36.87°,
∴BC=BD·sin 36.87°≈10×0.60=6(米),
在Rt△ACD中,AD=17米,CD=8米,
∴AC===15(米),
∴AB=AC-BC=15-6=9(米),
∵模擬裝置從A點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到B點(diǎn),
∴模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時間為9÷2=4.5(秒),
∴模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時間約為4.5秒.
14.(2024·煙臺中考)根據(jù)收集的素材,探索完成任務(wù).
探究太陽能熱水器的安裝
素材一 太陽能熱水器是利用綠色能源造福人類的一項發(fā)明.某品牌熱水器主要部件太陽能板需要安裝在每天都可以有太陽光照射到的地方,才能保證使用效果,否則不予安裝.
素材二 某市位于北半球,太陽光線與水平線的夾角為α,冬至日時,14°≤α≤29°;夏至日時,43°≤α≤76°. sin 14°≈0.24,cos 14°≈0.97,tan 14°≈0.25;sin 29°≈0.48, cos 29°≈0.87,tan 29°≈0.55;sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73, tan 43°≈0.93;sin 76°≈0.97,cos 76°≈0.24,tan 76°≈4.01
素材三 如圖,該市甲樓位于乙樓正南方向,兩樓東西兩側(cè)都無法獲得太陽光照射.現(xiàn)準(zhǔn)備在乙樓南面墻上安裝該品牌太陽能板.已知兩樓間距為54米,甲樓AB共11層,乙樓CD共15層,一層從地面起,每層樓高皆為3.3米.AE為某時刻的太陽光線.
續(xù)表
問題解決
任務(wù)一 確定使用數(shù)據(jù) 要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板,應(yīng)選擇　　　　日(填冬至或夏至)時,α為　　　　(填14°,29°,43°,76°中的一個)進(jìn)行計算.
任務(wù)二 探究安裝范圍 利用任務(wù)一中選擇的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算,確定乙樓中哪些樓層不能安裝該品牌太陽能熱水器.
【解析】任務(wù)一:根據(jù)題意,要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板,只需α為冬至日時的最小角度,即α=14°,
答案:冬至　14°
任務(wù)二:過E作EF⊥AB于點(diǎn)F,則∠AFE=90°,EF=54米,BF=DE,
在Rt△AFE中,tan α=,
∴AF=EF·tan 14°≈54×0.25=13.5(米),
∵AB=11×3.3=36.3(米),∴DE=BF=AB-AF=36.3-13.5=22.8(米),
∴22.8÷3.3≈7(層),
答:乙樓中7層(含7層)以下不能安裝該品牌太陽能板.
【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
15.(模型觀念、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識)(2023·隨州中考)某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動,測量某建筑物的高度AB,在建筑物附近有一斜坡,坡長CD=10米,坡角α=30°,小華在C處測得建筑物頂端A的仰角為60°,在D處測得建筑物頂端A的仰角為30°.(已知點(diǎn)A,B,C,D在同一平面內(nèi),B,C在同一水平線上)
(1)求點(diǎn)D到地面BC的距離;
【解析】(1)過點(diǎn)D作DE⊥BC,交BC的延長線于點(diǎn)E,∵cos α===,
解得CE=5(m),∴DE==5(m).
∴點(diǎn)D到地面BC的距離為5 m.
(2)求該建筑物的高度AB.
【解析】(2)過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,則BF=DE=5 m,
設(shè)BC=x m,則BE=DF=(5+x)m,
在Rt△ABC中,tan 60°===,
解得AB=x(m),∴AF=(x-5)m,
在Rt△ADF中,tan 30°===,
解得x=5,
經(jīng)檢驗,x=5是原方程的解且符合題意,
∴AB=×5=15(m).
∴該建筑物的高度AB為15 m.六　三角函數(shù)的應(yīng)用　利用三角函數(shù)測高
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識點(diǎn)1　與方向角有關(guān)的問題
1.(2024·合肥期末)如圖一巡邏艇在A處,發(fā)現(xiàn)一走私船在A處的南偏東60°方向上距離A處12 海里的B處,并以每小時20 海里的速度沿南偏西30°方向行駛,若巡邏艇以每小時25 海里的速度追趕走私船,則追上走私船所需時間是( )
A.0.5小時 B.0.75小時
C.0.8小時 D.1.25小時
2.如圖,島P位于島Q的正西方,P,Q兩島間的距離為20(1+)海里,由島P,Q分別測得船R位于南偏東60°和南偏西45°方向上,則船R到島P的距離為( )
A.40 海里 B.40 海里
C.40 海里 D.40 海里
3.如圖,點(diǎn)P為觀測站,一艘巡航船位于觀測站P南偏西37°方向的A處,一艘漁船在觀測站P南偏東45°方向的B處,此時漁船在巡航船的正東方向,巡航船與觀測站P的距離為45 海里.現(xiàn)漁船發(fā)生緊急情況無法移動,巡航船以25 海里/時的速度前去救助,需要的時間約為 小時.(結(jié)果精確到0.1 小時.參考數(shù)據(jù):
sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈)
4.如圖,一艘執(zhí)法船以40 km/h的速度向正東方向航行,在A處測得燈塔C在北偏東60°方向上,繼續(xù)航行30 min到達(dá)B處,這時測得燈塔C在北偏東方向30°上,已知在燈塔C的四周20 km內(nèi)有暗礁,問這艘執(zhí)法船繼續(xù)向東航行是否有觸礁的危險
知識點(diǎn)2　測量物體的高度
5.如圖,小王在高臺上的點(diǎn)A處測得塔底點(diǎn)C的俯角為α,塔頂點(diǎn)D的仰角為β,已知塔的水平距離AB=a,則此時塔高CD為( )
A.asin α+asin β B.atan α+atan β
C. D.
6.全球最大的關(guān)公塑像矗立在荊州古城東門外.如圖,張三同學(xué)在東門城墻上C處測得塑像底部B處的俯角為11°48',測得塑像頂部A處的仰角為45°,點(diǎn)D在觀測點(diǎn)C正下方城墻底的地面上,若CD=10 米,則此塑像的高AB約為 米(參考數(shù)據(jù):tan 78°12'≈4.8).
7.(2023·仙桃中考)綜合實(shí)踐課上,航模小組用航拍無人機(jī)進(jìn)行測高實(shí)踐.如圖,無人機(jī)從地面CD的中點(diǎn)A處豎直上升30 米到達(dá)B處,測得博雅樓頂部E的俯角為45°,尚美樓頂部F的俯角為30°,已知博雅樓高度CE為15 米,則尚美樓高度DF為 米.(結(jié)果保留根號)
8.(2023·麗水中考)如圖,某工廠為了提升生產(chǎn)過程中所產(chǎn)生廢氣的凈化效率,需在氣體凈化設(shè)備上增加一條管道A-D-C,已知DC⊥BC,AB⊥BC,∠A=60°,AB=
11 m,CD=4 m,求管道A-D-C的總長.
【解析】如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,
【B層 能力進(jìn)階】
9.如圖,某社會實(shí)踐活動小組實(shí)地測量兩岸互相平行的一段河的寬度,在河的南岸點(diǎn)A處,測得河的北岸邊點(diǎn)B在其北偏東45°方向然后向西走80米到達(dá)C點(diǎn),測得點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏東60°方向,則這段河的寬度為( )
A.80(+1)米 B.40(+1)米
C.(120-40)米 D.40(-1)米
10.(2024·大同模擬)如圖是橢圓機(jī)在使用過程中某時刻的側(cè)面示意圖,已知手柄AD⊥滾輪連桿AB,且AD=20 cm,AB=160 cm,連桿AB與底坐BC的夾角為60°,則該橢圓機(jī)的機(jī)身高度(點(diǎn)D到地面的距離)為( )
A.80 cm B.80 cm
C.cm D.cm
11.如圖,數(shù)學(xué)興趣小組想利用竹竿來測量旗桿AB的高度,在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長2米,在同時刻測量旗桿的影長時,旗桿的影子一部分落在地面上(BC),另一部分落在斜坡上(CD),他測得落在地面上的影長為10米,落在斜坡上的影長為4米,已知斜坡CD的坡度為i=1,則旗桿AB的高度為 .
12.(2024·武漢中考)黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn),享有“天下江山第一樓”的美譽(yù).在一次綜合實(shí)踐活動中,某數(shù)學(xué)小組用無人機(jī)測量黃鶴樓AB的高度.具體過程如下:如圖,將無人機(jī)垂直上升至距水平地面102 m的C處,測得黃鶴樓頂端A的俯角為45°,底端B的俯角為63°,則測得黃鶴樓的高度約是 m.(參考數(shù)據(jù):
tan 63°≈2)
13.(2024·廣州中考)2024年6月2日,嫦娥六號著陸器和上升器組合體(簡稱為“著上組合體”)成功著陸在月球背面.某校綜合實(shí)踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置,在一次試驗中,如圖,該模擬裝置在緩速下降階段從A點(diǎn)垂直下降到B點(diǎn),再垂直下降到著陸點(diǎn)C,從B點(diǎn)測得地面D點(diǎn)的俯角為36.87°,AD=17米,BD=10米.
(1)求CD的長;
(2)若模擬裝置從A點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到B點(diǎn),求模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時間.
參考數(shù)據(jù):sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈0.80,tan 36.87°≈0.75.
【解析】(1)如圖:
14.(2024·煙臺中考)根據(jù)收集的素材,探索完成任務(wù).
探究太陽能熱水器的安裝
素材一 太陽能熱水器是利用綠色能源造福人類的一項發(fā)明.某品牌熱水器主要部件太陽能板需要安裝在每天都可以有太陽光照射到的地方,才能保證使用效果,否則不予安裝.
素材二 某市位于北半球,太陽光線與水平線的夾角為α,冬至日時,14°≤α≤29°;夏至日時,43°≤α≤76°. sin 14°≈0.24,cos 14°≈0.97,tan 14°≈0.25;sin 29°≈0.48, cos 29°≈0.87,tan 29°≈0.55;sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73, tan 43°≈0.93;sin 76°≈0.97,cos 76°≈0.24,tan 76°≈4.01
素材三 如圖,該市甲樓位于乙樓正南方向,兩樓東西兩側(cè)都無法獲得太陽光照射.現(xiàn)準(zhǔn)備在乙樓南面墻上安裝該品牌太陽能板.已知兩樓間距為54米,甲樓AB共11層,乙樓CD共15層,一層從地面起,每層樓高皆為3.3米.AE為某時刻的太陽光線.
續(xù)表
問題解決
任務(wù)一 確定使用數(shù)據(jù) 要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板,應(yīng)選擇 日(填冬至或夏至)時,α為 (填14°,29°,43°,76°中的一個)進(jìn)行計算.
任務(wù)二 探究安裝范圍 利用任務(wù)一中選擇的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算,確定乙樓中哪些樓層不能安裝該品牌太陽能熱水器.
【解析】任務(wù)一:根據(jù)題意,要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板,只需α為冬至日時的最小角度,即α=14°,
答案:冬至　14°
任務(wù)二:過E作EF⊥AB于點(diǎn)F,則∠AFE=90°,EF=54米,BF=DE,
【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
15.(模型觀念、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識)(2023·隨州中考)某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動,測量某建筑物的高度AB,在建筑物附近有一斜坡,坡長CD=10米,坡角α=30°,小華在C處測得建筑物頂端A的仰角為60°,在D處測得建筑物頂端A的仰角為30°.(已知點(diǎn)A,B,C,D在同一平面內(nèi),B,C在同一水平線上)
(1)求點(diǎn)D到地面BC的距離;
(2)求該建筑物的高度AB.

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