資源簡介

　30°,45°,60°角的三角函數值
【A層 基礎夯實】
知識點1　特殊角三角函數值的計算
1.在△ABC中,若三個內角∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,則sin A∶sin B等于(B)
A.1∶2 B.1∶ C.1∶3 D.2∶
2.(2024·煙臺期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,那么sin B等于(B)
A. B. C. D.
3.(2024·杭州模擬)定義一種運算=ad-bc,計算:=　4　.
4.計算:-+tan2 60°=　7+-　.
5.計算:
(1)+;
【解析】(1)原式=+=+=;
(2)tan 30°sin 60°-cos245°+tan 45°.
【解析】(2)原式=×-()2+1=-+1=1.
知識點2　特殊角三角函數值的應用
6.(2024·泉州期中)在△ABC中,若|cos A-|+(-cos B)2=0,則△ABC的形狀是(B)
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
7.如圖,矩形ABCD是供一輛機動車停放的車位示意圖,已知BC=2 m,CD=5.8 m,∠DCF=30°,則車位所占的寬度EF為　5　米.(≈1.7,結果精確到1 m)
8.如圖,在△ABC中,AB=7,BC=8,AC=5,求△ABC的面積和∠C的度數.
【解析】過A作AD⊥BC于D,設BD=x,則DC=8-x,
由勾股定理可得:AB2-BD2=AC2-CD2,
即49-x2=25-(8-x)2,解得x=,
∴AD===,
∴S△ABC=BC·AD=×8×=10.
在Rt△ACD中,∵sin C===,∴∠C=60°.
9.如圖(Ⅰ)所示,某登山運動愛好者由山坡①的山頂點A處沿線段AC至山谷點C處,再從點C處沿線段CB至山坡②的山頂點B處.如圖(Ⅱ)所示,將直線l視為水平面,山坡①的坡角∠ACM=30°,其高度AM為0.6千米,山坡②的坡度為1︰1,BN⊥l于N,且CN=千米.
(1)求∠ACB的度數;
【解析】(1)∵山坡②的坡度為1︰1,
∴CN=BN,∴∠BCN=45°,
∴∠ACB=180°-30°-45°=105°;
(2)求在此過程中該登山運動愛好者走過的路程.
【解析】(2)在Rt△ACM中,∠AMC=90°,∠ACM=30°,AM=0.6千米,
∴AC=2AM=1.2千米,
在Rt△BCN中,∠BNC=90°,∠BCN=45°,CN= 千米,
則BC==2千米,
∴該登山運動愛好者走過的路程為1.2+2=3.2(千米).
【B層 能力進階】
10.(2024·衢州期末)如果三角形滿足,一個角是另一個角的3倍,那么我們稱這個三角形為“和諧三角形”.下列各組數據中,能作為一個“和諧三角形”三邊長的是(C)
A.2,2,2 B.1,1,
C.1,2, D.3,4,5
11.下列各式中,不正確的是(B)
A.sin260°+cos260°=1
B.sin 30°+cos 30°=1
C.sin 35°=cos 55°
D.cos 45°=sin 45°
12.已知∠A為銳角,且cos A≤,那么(B)
A.0°<∠A≤60° B.60°≤∠A<90°
C.0°<∠A≤30° D.30°≤∠A<90°
13.關于x的方程x2-2x+2sin A=0有兩個相等的實數根,其中∠A是銳角△ABC的一個內角,則∠A=　30°　.
14. (2024·廣州期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,AC=6,點D在AB邊上,且AD=3,點E在直角邊上,且不與頂點重合,直線DE把Rt△ABC分成兩部分,若其中一部分與原Rt△ABC相似,則∠ADE=　30°或120°　.
15.(易錯警示題·忽視分類討論遺漏其他情況)在△ABC中,∠ABC=30°,AB=4,
AC=4,則BC=　8或4　.
16.計算:
(1)4(1-cos 30°)+.
【解析】(1)原式=4×(1-)+=4-2+=4-2+2+3=7.
(2)cos245°-+cos 30°.
【解析】(2)cos245°-+cos 30°=()2-+=-+=.
【C層 創新挑戰(選做)】
17.(模型觀念、運算能力、應用意識)圖1是我國宋代時期發明的立式風車,是一種由風力驅動使輪軸旋轉的機械,圖2是現代人根據風車設計的風力發電機,風輪的三個葉片均勻分布,當風輪的葉片在風力作用下旋轉時,最高點距地面145 m,最低點距地面55 m.如圖3是該風力發電機的簡化示意圖,發電機的塔身OD垂直于水平地面MN(點O,A,B,C,D,M,N在同一平面內).
(1)求風輪葉片OA的長度;
【解析】(1)以點O為圓心,OA的長為半徑作圓,延長DO交☉O于點P,
設直線DO與☉O交于點Q,
由題意得PD=145 m,DQ=55 m,
∴PQ=PD-DQ=145-55=90(m),
∴OA=OP=PQ=45 m,
∴風輪葉片OA的長度為45 m;
(2)如圖3,點A在OD右側,且α=30°.求此時葉片OB的端點B距地面的高度.
【解析】(2)過點B作BE⊥MN,垂足為E,過點O作OF⊥BE,垂足為F,
則四邊形ODEF是矩形,∴∠DOF=90°,EF=OD,
由題意得:∠AOB=120°,AOD=30°,
∴∠BOF=∠AOB+∠AOD-∠DOF=60°,
∴BF=OBsin 60°= m,
∵OD=PD-OP=145-45=100 (m),
∴EF=OD=100 m,
∴BE=BF+EF= m,
∴此時葉片OB的端點B距地面的高度為m.　30°,45°,60°角的三角函數值
【A層 基礎夯實】
知識點1　特殊角三角函數值的計算
1.在△ABC中,若三個內角∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,則sin A∶sin B等于( )
A.1∶2 B.1∶ C.1∶3 D.2∶
2.(2024·煙臺期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,那么sin B等于( )
A. B. C. D.
3.(2024·杭州模擬)定義一種運算=ad-bc,計算:= .
4.計算:-+tan2 60°= .
5.計算:
(1)+;
(2)tan 30°sin 60°-cos245°+tan 45°.
知識點2　特殊角三角函數值的應用
6.(2024·泉州期中)在△ABC中,若|cos A-|+(-cos B)2=0,則△ABC的形狀是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
7.如圖,矩形ABCD是供一輛機動車停放的車位示意圖,已知BC=2 m,CD=5.8 m,∠DCF=30°,則車位所占的寬度EF為 米.(≈1.7,結果精確到1 m)
8.如圖,在△ABC中,AB=7,BC=8,AC=5,求△ABC的面積和∠C的度數.
9.如圖(Ⅰ)所示,某登山運動愛好者由山坡①的山頂點A處沿線段AC至山谷點C處,再從點C處沿線段CB至山坡②的山頂點B處.如圖(Ⅱ)所示,將直線l視為水平面,山坡①的坡角∠ACM=30°,其高度AM為0.6千米,山坡②的坡度為1︰1,BN⊥l于N,且CN=千米.
(1)求∠ACB的度數;
(2)求在此過程中該登山運動愛好者走過的路程.
【B層 能力進階】
10.(2024·衢州期末)如果三角形滿足,一個角是另一個角的3倍,那么我們稱這個三角形為“和諧三角形”.下列各組數據中,能作為一個“和諧三角形”三邊長的是( )
A.2,2,2 B.1,1,
C.1,2, D.3,4,5
11.下列各式中,不正確的是( )
A.sin260°+cos260°=1
B.sin 30°+cos 30°=1
C.sin 35°=cos 55°
D.cos 45°=sin 45°
12.已知∠A為銳角,且cos A≤,那么( )
A.0°<∠A≤60° B.60°≤∠A<90°
C.0°<∠A≤30° D.30°≤∠A<90°
13.關于x的方程x2-2x+2sin A=0有兩個相等的實數根,其中∠A是銳角△ABC的一個內角,則∠A= .
14. (2024·廣州期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,AC=6,點D在AB邊上,且AD=3,點E在直角邊上,且不與頂點重合,直線DE把Rt△ABC分成兩部分,若其中一部分與原Rt△ABC相似,則∠ADE= .
15.(易錯警示題·忽視分類討論遺漏其他情況)在△ABC中,∠ABC=30°,AB=4,
AC=4,則BC= .
16.計算:
(1)4(1-cos 30°)+.
(2)cos245°-+cos 30°.
【C層 創新挑戰(選做)】
17.(模型觀念、運算能力、應用意識)圖1是我國宋代時期發明的立式風車,是一種由風力驅動使輪軸旋轉的機械,圖2是現代人根據風車設計的風力發電機,風輪的三個葉片均勻分布,當風輪的葉片在風力作用下旋轉時,最高點距地面145 m,最低點距地面55 m.如圖3是該風力發電機的簡化示意圖,發電機的塔身OD垂直于水平地面MN(點O,A,B,C,D,M,N在同一平面內).
(1)求風輪葉片OA的長度;
(2)如圖3,點A在OD右側,且α=30°.求此時葉片OB的端點B距地面的高度.

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