資源簡介

　銳角三角函數(shù)(第2課時)
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識點(diǎn)1　銳角三角函數(shù)值的計(jì)算
1.如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,則下列選項(xiàng)中,正確的是( )
A.sin A= B.cos B=
C.tan A= D.tan B=
2.(2024·泉州期末)如圖,正方形OABC的兩邊OA,OC分別在y軸,x軸上,點(diǎn)D(10,6)在邊BC上,則∠OAD的正弦值為( )
A. B. C. D.
3.(2024·淮南質(zhì)檢)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=α,AC=m,那么AB的長為( )
A.msin α B.mcos α C. D.
4.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),連接BD,DE.若sin A=,則tan∠BDE的值為( )
A. B. C. D.
5.如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E為AD的中點(diǎn),AC=2,OE=1,則cos∠EDO= .
6.(2024·咸陽一模)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P(2,3),OP與x軸正半軸的夾角α的正弦值為 .
7.如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,若AD=6,BC=12,tan C=,求:
(1)CD的長;
(2)cos B的值.
知識點(diǎn)2　銳角三角函數(shù)的應(yīng)用
8.如圖,梯子跟地面的夾角為∠α,關(guān)于∠α的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間的關(guān)系,敘述正確的是( )
A.sin α的值越小,梯子越陡
B.cos α的值越小,梯子越陡
C.tan α的值越小,梯子越陡
D.陡緩程度與∠α的三角函數(shù)值無關(guān)
9.如圖,△ABC底邊BC上的高為h1,△PQR底邊QR上的高為h2,則有( )
A.h1=h2 B.h1C.h1>h2 D.以上都有可能
【B層 能力進(jìn)階】
10.如圖,在菱形ABCD中,AB=10,對角線BD=16,點(diǎn)G,E,O分別為AB,AD和GE的中點(diǎn),則sin∠EAO的值為( )
A. B. C. D.
11.(2024·郴州期末)如果把方程x2+6x+5=0變形為(x+a)2=b的形式,那么以a,b長為直角邊的 Rt△ABC中,a,b所對角分別為∠A,∠B,則cos B的值是( )
A. B. C. D.
12.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于點(diǎn)D,AC=10,cos C=,那么AD= .
13.如圖,利用四邊形的不穩(wěn)定性,將矩形變形為平行四邊形,則稱sin α的值為這個平行四邊形的“變化系數(shù)”,若矩形的面積為10,將其變形后的平行四邊形的面積為8,則這個平行四邊形的“變化系數(shù)”為 .
14.(易錯警示題·忽視分類討論遺漏其他情況)一等腰三角形的兩邊長分別為4 cm和6 cm,則其底角的余弦值為 .
15.(2024·無錫質(zhì)檢)如圖,在平行四邊形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=3,BE=4,DE=5.
(1)求證:BE⊥CD;
(2)求sin∠DAE.
【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
16.(模型觀念、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識)(2024·滁州質(zhì)檢)如圖,AD是△ABC的高線,垂足為點(diǎn)D,DE是△ACD的中線.BC=AD=12,tan B=4.
(1)求BD的長;
(2)求cos∠CDE的值.　銳角三角函數(shù)(第1課時)
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識點(diǎn)1　正切
1.(2024·東莞一模)如圖,△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,則tan A的值是(C)
A. B. C. D.2
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,則tan A的值為(A)
A. B. C. D.
3.已知∠α,∠β如圖所示,則tan α與tan β的大小關(guān)系是　tan α4.(2024·徐州質(zhì)檢)若AB=5,BC=3,則tan∠ADE= 　.
5.在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tan B.
【解析】如圖,在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,過A作AD⊥BC于D,則BD=5,
在Rt△ABD中,AB=13,BD=5,則AD==12,故tan B==.
知識點(diǎn)2　坡度與坡角
6.(2024·淮南質(zhì)檢)如圖,河壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1∶(坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比),壩高BC=4 m,則坡面AB的長度是(A)
A.8 m B.12 m　　 C.8 m　　 D.4 m
7.一個公共房門前的臺階高出地面2米,臺階拆除后,換成供輪椅行走的斜坡,數(shù)據(jù)如圖所示,則下列說法中,正確的是(B)
A.斜坡AB的坡度是18°
B.斜坡AB的坡度是tan 18°
C.AC=2tan 18°米
D.AB=米
8.一汽車沿著坡度為3∶4的斜坡向下走了1 000 m,則它距離地面的垂直高度下降了　600　m.
【B層 能力進(jìn)階】
9.如圖,下列變形中,錯誤的是(C)
A.a=b·tan A B.b=
C.b= D.tan A·tan B=1
10.在Rt△ABC中,各邊都擴(kuò)大3倍,則∠A的正切值(C)
A.擴(kuò)大3倍　　 B.縮小為原來的
C.不變 D.不能確定
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B的對邊分別是a,b,且滿足a2-ab-2b2=0,則tan A等于(C)
A.1 B. C.2 D.以上都不對
12.如圖所示,在菱形ABCD中,tan B=0.75,AE⊥BC,垂足為E,若CE=2,則菱形的周長為　40　.
13.(2024·杭州質(zhì)檢)如圖,一座水庫大壩的橫斷面為梯形ABCD,斜坡AB=8 m,現(xiàn)將坡度為1∶的斜坡AB改為坡度為1∶2的斜坡AP.則新坡面AP=　4　m.(結(jié)果保留根號)
14.某購物廣場要修建一個地下停車場,停車場的入口設(shè)計(jì)示意圖如圖所示,其中斜坡的坡度為1∶3,一樓到地下停車場地面的垂直高度CD=3.2 m,一樓到地平線的距離BC=1 m.
(1)為保證斜坡的坡度為1∶3,應(yīng)在地面上距點(diǎn)B多遠(yuǎn)的A處開始斜坡的施工
【解析】(1)∵CD=3.2 m,BC=1 m,
∴BD=2.2 m.∵斜坡AD的坡度為1∶3,
∴=,即=,解得AB=6.6 m.
答:應(yīng)在地面上距點(diǎn)B 6.6 m的A處開始斜坡的施工.
(2)如果給該購物廣場送貨的貨車高度為2.8 m,那么按這樣的設(shè)計(jì)能否保證貨車順利進(jìn)入地下停車場 并說明理由.(參考數(shù)據(jù):≈3.2)
【解析】(2)按這樣的設(shè)計(jì)能保證貨車順利進(jìn)入地下停車場.理由如下:過點(diǎn)C作CH⊥AD于H,
則∠CDH+∠DCH=90°.
∵∠CDH+∠DAB=90°,∴∠DCH=∠DAB,
∴tan ∠DCH=.設(shè)DH=x m,則CH=3x m,由勾股定理,得CD==x(m).
由題意,得x=3.2,解得x≈1,則CH≈3 m.∵2.8<3,∴按這樣的設(shè)計(jì)能保證貨車順利進(jìn)入地下停車場.
【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
15.有一斜坡AC,其坡度為i=1∶2,頂部A處的高AB為5 m,B,C在同一水平地面上.
(1)求斜坡AC的水平寬度BC的長;
【解析】(1)∵i=1∶2,∴AB∶BC=1∶2,
∵AB=5 m,∴BC=10 m;
(2)矩形DEFG為長方體貨柜的側(cè)面圖,其中DE=3 m,EF=2 m.將該貨柜沿斜坡向上運(yùn)送,當(dāng)CF=4 m,求點(diǎn)D離水平地面的高.
【解析】(2)過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M,DM交GF于點(diǎn)N,∵DM⊥BC,i=1∶2,
∴=,∵四邊形DEFG是矩形,∴DE=GF=3 m,EF=DG=2 m,∠DGN=90°,∵CF=4 m,
∴CG=GF+CF=7 m,
∵∠DGN=∠CMN,∠DNG=∠CNM,
∴△DGN∽△CMN.
∴==,∴GN=1 m,∴CN=CG-GN=6 m,DN== m,
設(shè)MN=x m,則CM=2x m,
根據(jù)勾股定理可得:CN2=MN2+CM2,
即62=x2+,解得x=,
∴DM=DN+MN= m.　銳角三角函數(shù)(第1課時)
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識點(diǎn)1　正切
1.(2024·東莞一模)如圖,△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,則tan A的值是( )
A. B. C. D.2
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,則tan A的值為( )
A. B. C. D.
3.已知∠α,∠β如圖所示,則tan α與tan β的大小關(guān)系是 .
4.(2024·徐州質(zhì)檢)若AB=5,BC=3,則tan∠ADE= .
5.在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tan B.
知識點(diǎn)2　坡度與坡角
6.(2024·淮南質(zhì)檢)如圖,河壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1∶(坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比),壩高BC=4 m,則坡面AB的長度是( )
A.8 m B.12 m　　 C.8 m　　 D.4 m
7.一個公共房門前的臺階高出地面2米,臺階拆除后,換成供輪椅行走的斜坡,數(shù)據(jù)如圖所示,則下列說法中,正確的是( )
A.斜坡AB的坡度是18°
B.斜坡AB的坡度是tan 18°
C.AC=2tan 18°米
D.AB=米
8.一汽車沿著坡度為3∶4的斜坡向下走了1 000 m,則它距離地面的垂直高度下降了 m.
【B層 能力進(jìn)階】
9.如圖,下列變形中,錯誤的是( )
A.a=b·tan A B.b=
C.b= D.tan A·tan B=1
10.在Rt△ABC中,各邊都擴(kuò)大3倍,則∠A的正切值( )
A.擴(kuò)大3倍　　 B.縮小為原來的
C.不變 D.不能確定
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B的對邊分別是a,b,且滿足a2-ab-2b2=0,則tan A等于( )
A.1 B. C.2 D.以上都不對
12.如圖所示,在菱形ABCD中,tan B=0.75,AE⊥BC,垂足為E,若CE=2,則菱形的周長為 .
13.(2024·杭州質(zhì)檢)如圖,一座水庫大壩的橫斷面為梯形ABCD,斜坡AB=8 m,現(xiàn)將坡度為1∶的斜坡AB改為坡度為1∶2的斜坡AP.則新坡面AP= m.(結(jié)果保留根號)
14.某購物廣場要修建一個地下停車場,停車場的入口設(shè)計(jì)示意圖如圖所示,其中斜坡的坡度為1∶3,一樓到地下停車場地面的垂直高度CD=3.2 m,一樓到地平線的距離BC=1 m.
(1)為保證斜坡的坡度為1∶3,應(yīng)在地面上距點(diǎn)B多遠(yuǎn)的A處開始斜坡的施工
(2)如果給該購物廣場送貨的貨車高度為2.8 m,那么按這樣的設(shè)計(jì)能否保證貨車順利進(jìn)入地下停車場 并說明理由.(參考數(shù)據(jù):≈3.2)
【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
15.有一斜坡AC,其坡度為i=1∶2,頂部A處的高AB為5 m,B,C在同一水平地面上.
(1)求斜坡AC的水平寬度BC的長;
(2)矩形DEFG為長方體貨柜的側(cè)面圖,其中DE=3 m,EF=2 m.將該貨柜沿斜坡向上運(yùn)送,當(dāng)CF=4 m,求點(diǎn)D離水平地面的高.　銳角三角函數(shù)(第2課時)
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識點(diǎn)1　銳角三角函數(shù)值的計(jì)算
1.如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,則下列選項(xiàng)中,正確的是(D)
A.sin A= B.cos B=
C.tan A= D.tan B=
2.(2024·泉州期末)如圖,正方形OABC的兩邊OA,OC分別在y軸,x軸上,點(diǎn)D(10,6)在邊BC上,則∠OAD的正弦值為(D)
A. B. C. D.
3.(2024·淮南質(zhì)檢)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=α,AC=m,那么AB的長為(C)
A.msin α B.mcos α C. D.
4.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),連接BD,DE.若sin A=,則tan∠BDE的值為(A)
A. B. C. D.
5.如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E為AD的中點(diǎn),AC=2,OE=1,則cos∠EDO= 　.
6.(2024·咸陽一模)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P(2,3),OP與x軸正半軸的夾角α的正弦值為 　.
7.如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,若AD=6,BC=12,tan C=,求:
(1)CD的長;
【解析】(1)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∵在Rt△ADC中,tan C==,
∴CD=AD=4;
(2)cos B的值.
【解析】(2)由(1)得CD=4,
∴BD=BC-CD=8,
在Rt△ABD中,由勾股定理得:AB==10,
∴cos B==.
知識點(diǎn)2　銳角三角函數(shù)的應(yīng)用
8.如圖,梯子跟地面的夾角為∠α,關(guān)于∠α的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間的關(guān)系,敘述正確的是(B)
A.sin α的值越小,梯子越陡
B.cos α的值越小,梯子越陡
C.tan α的值越小,梯子越陡
D.陡緩程度與∠α的三角函數(shù)值無關(guān)
9.如圖,△ABC底邊BC上的高為h1,△PQR底邊QR上的高為h2,則有(A)
A.h1=h2 B.h1C.h1>h2 D.以上都有可能
【B層 能力進(jìn)階】
10.如圖,在菱形ABCD中,AB=10,對角線BD=16,點(diǎn)G,E,O分別為AB,AD和GE的中點(diǎn),則sin∠EAO的值為(B)
A. B. C. D.
11.(2024·郴州期末)如果把方程x2+6x+5=0變形為(x+a)2=b的形式,那么以a,b長為直角邊的 Rt△ABC中,a,b所對角分別為∠A,∠B,則cos B的值是(B)
A. B. C. D.
12.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于點(diǎn)D,AC=10,cos C=,那么AD= 　.
13.如圖,利用四邊形的不穩(wěn)定性,將矩形變形為平行四邊形,則稱sin α的值為這個平行四邊形的“變化系數(shù)”,若矩形的面積為10,將其變形后的平行四邊形的面積為8,則這個平行四邊形的“變化系數(shù)”為 　.
14.(易錯警示題·忽視分類討論遺漏其他情況)一等腰三角形的兩邊長分別為4 cm和6 cm,則其底角的余弦值為 或　.
15.(2024·無錫質(zhì)檢)如圖,在平行四邊形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=3,BE=4,DE=5.
(1)求證:BE⊥CD;
【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴DC=AB,AD=CB,DC∥AB,
∴∠DEA=∠EAB,∵AE平分∠DAB,
∴∠DAE=∠BAE,∴∠DAE=∠DEA,
∴AD=DE=5,∴BC=5,AB=CD=DE+CE=8,
∵CE2+BE2=32+42=25=BC2,
∴△BCE是直角三角形,∠BEC=90°,即BE⊥CD;
(2)求sin∠DAE.
【解析】(2)∵DC∥AB,∴∠ABE=∠BEC=90°,
∴AE==4,
∴sin∠DAE=sin∠EAB===.
【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
16.(模型觀念、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識)(2024·滁州質(zhì)檢)如圖,AD是△ABC的高線,垂足為點(diǎn)D,DE是△ACD的中線.BC=AD=12,tan B=4.
(1)求BD的長;
【解析】(1)∵AD是△ABC的高線,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
在Rt△ADB中,tan B==4,AD=12,
∴BD=3;
(2)求cos∠CDE的值.
【解析】(2)由題意可知:CD=BC-BD=12-3=9,
在Rt△ACD中,AC===15,
又∵DE是Rt△ACD斜邊上的中線,
∴DE=CE,
∴∠CDE=∠C,
∴cos∠CDE=cos C===.

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