資源簡介

解直角三角形 題型強化訓練
【考點題型一】正弦、余弦、正切的概念
【例1】在中，，，，所對的邊分別為a，b，c.下列式子一定能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了三角函數的定義，畫出直角三角形，根據定義逐一判斷，即可求解；掌握，，是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，
A.，，結論錯誤，故不符合題意；
B. ，，結論錯誤，故不符合題意；
C.，，結論錯誤，故不符合題意；
D.，，結論正確，故符合題意；
故選：D．
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【變式1-1】在中，，a，b，c分別為的對邊，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查求角的三角函數值，根據銳角三角函數的定義，進行判斷即可．
【詳解】解：∵，a，b，c分別為的對邊，
∴；
故成立的是選項B；
故選B．
【變式1-2】如圖，在中，，為邊上一點，過點作，垂足為，則下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查解直角三角形，關鍵是掌握銳角三角函數定義．由銳角的三角函數定義，即可判斷．
【詳解】解：，
，
、，故不符合題意；
、結論正確，故符合題意；
、，故不符合題意；
、，故不符合題意．
故選：B．
【變式1-3】如圖，在中，，，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理，正切函數，余弦函數，熟練掌握銳角三角函數是解題的關鍵．根據已知，，不妨設，則，根據正切函數的定義解答即可．
【詳解】解：根據已知，，不妨設，則，
故．
故選：B．
【考點題型二】求正弦、余弦、正切
【例2】在菱形中，若對角線，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理，正弦的定義．
根據菱形的性質可得，
再根據勾股定理求出，然后根據正弦的定義解答即可．
【詳解】∵四邊形是菱形，
∴．
根據勾股定理，得．
在中，．
故選：B．
【變式2-1】在中，已知，那么的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了余弦函數的定義，正確記憶定義是解題的關鍵．根據余弦的定義即可求解．
【詳解】解：在中，，
．
故選：C．
【變式2-2】在中，，、、的對邊分別為a、b、c，則（）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查銳角三角函數的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．根據題意畫出圖形，再根據解答即可．
【詳解】解：如圖所示：中，、、的對邊分別為a、b、c，
；
故選：B．
【變式2-3】如圖，點均在正方形網格的格點上，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角函數，連接，由勾股定理及其逆定理可得為直角三角形，，進而根據正切的定義計算即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接，
由網格得，，，，
∵，
∴為直角三角形，，
∴，
故選：．
【考點題型三】已知正弦、余弦、正切求邊長
【例3】在中，，，，則的值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本題考查了正弦的定義，根據正弦的定義，可得，根據即可求解．
【詳解】∵在中，，，，
∴，
∴

故選：D．
【變式3-1】在中，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查銳角三角函數的定義，能熟記銳角的正切的定義是解此題的關鍵．根據代入即可得出答案．
【詳解】解：在中，，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【變式3-2】已知在中，，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是銳角三角函數的定義，先根據，，求出的長，再由勾股定理即可得出的長．
【詳解】解：在中，
，，，
，
．
故答案為：．
【考點題型四】特殊角的三角函數值
【例4】已知，則的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記特殊角的三角函數值是解本題的關鍵．
【詳解】解：，
故選A
【變式4-1】如圖，在中，，，．求的值．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理、解直角三角形、特殊角的三角函數，先由勾股定理可得，再求出，，代入計算即可得解．
【詳解】解：在中，，，，
由勾股定理，得，
∴，．
∴．
【變式4-2】計算： ．
【答案】/
【分析】本題考查了實數的混合運算，利用負整數指數冪、特殊角的三角函數值進行計算即可求解，掌握負整數指數冪公式和特殊角的三角函數值是解題的關鍵．
【詳解】解：，
故答案為：．
【考點題型五】根據三角函數值判斷角的度數
【例5】王明同學遇到了這樣一道題，，則銳角的度數為 ．
【答案】/20度
【分析】本題考查了根據角的三角函數值求角，由題意可得，即得，據此即可求解，熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式5-1】關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則銳角α的余角等于（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了根的判別式以及特殊銳角的三角函數值，熟練掌握當時，方程有兩個相等的實數根是解題的關鍵．根據方程的系數結合根的判別式即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出的值，再根據特殊角的三角函數值即可得出銳角的度數，繼而得出答案．
【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，
，即，
解得：，
銳角等于，
則銳角的余角等于，
故選：D．
【變式5-2】在中，若，則 度；
【答案】75
【分析】本題考查了算術平方根、絕對值的非負性及特殊角度的三角函數值，熟練掌握當幾個非負數相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0和特殊角度的三角函數值是解題的關鍵．
根據算術平方根，絕對值的非負性求出、的值，進而求得，的度數，根據三角形的內角和定理求得的度數．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案為：75．
【考點題型六】根據特殊角的三角函數值判斷三角形的形狀
【例6】在中， ，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】本題考查了特殊角的三角函數值，熟記特殊角的三角函數值是解答本題的關鍵，根據特殊角的三角函數值即可求出的大小，即可得出結論．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
是等腰三角形
故選：A．
【變式6-1】在中，，都是銳角，且，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】本題考查特殊角三角函數，三角形內角和，三角形分類．熟練掌握特殊角三角函數是解題的關鍵．
由特殊角三角函數值計算出和的角度來即可確定．
【詳解】解：，
，，
即，，
，
即為直角三角形，
故選：D．
【變式6-2】在中，若，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】本題考查根據特殊角的三角函數值求角度，絕對值的非負性，牢記特殊角的三角函數值是解題的關鍵．
【詳解】解：∵
∴，，
解得：，，
∴，
∴是鈍角三角形，
故選B．
【變式6-3】在中，若，，都是銳角，則的形狀是 ．
【答案】鈍角三角形
【分析】由題意易得，則有，然后問題可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的形狀是鈍角三角形；
故答案為鈍角三角形．
【點睛】本題主要考查特殊三角函數值，熟練掌握特殊三角函數值是解題的關鍵．
【考點題型七】特殊角三角函數的混合運算
【例7】計算：
【答案】
【分析】本題考查特殊角的三角函數值，絕對值，乘方，根據特殊角的三角函數值代入，分別計算即可．
【詳解】解：
．
【變式7-1】計算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了特殊角的三角函數值的混合運算和實數的運算，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數值，零指數冪，屬于基礎題．
（1）將特殊角的三角函數值代入計算即可；
（2）將特殊角的三角函數值代入，然后根據0次冪和絕對值的意義化簡計算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【變式7-2】計算
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了特殊角三角函數的混合運算，二次根式的混合運算，熟記特殊角三角函數是解題的關鍵．
（1）求出特殊角的三角函數值，再根據二次根式混合運算法則即可求解．
（2）把特殊角的三角函數值代入，然后化簡二次根式計算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【考點題型八】解直角三角形
【例8】如圖，在矩形中，，，為對角線，的平分線交于點E，連接交于點F．則下列結論中錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查矩形的性質，解直角三角形，勾股定理和相似三角形的判定和性質，先根據勾股定理求出，然后利用三角函數得到即可判斷A選項，然后利用角平分線和30°的直角三角形的性質判斷B選項；利用面積求出判斷C選項；再根據勾股定理判斷D選項即可解題．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
，
，
∵
∴， 故A正確，不符合題意；
，
∵是的角平分線，
，
故B正確，不符合題意；
，故C錯誤，符合題意；
，
，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，故D正確，不符合題意；
故選： C．
【變式8-1】如圖，在中，，，的垂直平分線交于點D，連接，若，則的長為（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】本題考查線段垂直平分線的性質、勾股定理、銳角三角函數的應用，熟練掌握相關知識是解題關鍵．先設，則，根據垂直平分線的性質可得到，然后根據長求出x的值，再利用勾股定理解題即可．
【詳解】解：∵，，
∴設，則，
又∵的垂直平分線交于點D，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴．
故選：A．
【變式8-2】如圖，在中，已知，，為上一點，，．
(1)求的長；
(2)求的面積．
【答案】(1)15
(2)
【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理，銳角三角函數定義，熟練掌握銳角三角函數定義是解本題的關鍵．
（1）由已知得為等腰直角三角形，所以，又因為已知的正弦值，即可求出的長．
（2）利用勾股定理求得的長，利用三角形面積公式即可解答．
【詳解】（1）解： ，，
為等腰直角三角形，
，
又，
，
（2）在中，，，由勾股定理，得
，
，
即：，
，
．
【變式8-3】如圖，在中，，是斜邊上的中線，過點A作，分別與，相交于點E，F，如果，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了直角三角形斜邊中線的性質，等腰三角形的性質和判定，解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
先求出，再根據同角的余角相等推出，然后利用銳角三角函數的定義即可求解．
【詳解】解：∵，是斜邊上的中線，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，設，則，
在中，，
∴，
故選：C．
【考點題型九】解非直角三角形
【例9】如圖，在中，，求和的長．
【答案】，
【分析】如圖，作邊上的高．,，分別使用勾股定理，計算即可，本題考查了化斜為直解直角三角形，熟練掌握作高是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，作邊上的高．
在中，
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴，
∴．
∴，．
∴．
【變式9-1】如圖，在中，．
(1)求的值．
(2)求的面積（結果保留根號）
【答案】(1)
(2)的面積為
【分析】本題考查了解三角形，解題關鍵是構造出直角三角形．
（1）過點作于點，構造出兩個直角三角形，再根據所給條件直接求解即可；
（2）利用勾股定理及三角形面積求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，過點作于點．
在中，，，
，
，
在中，
，
；
（2）解：由（1）知：在中，，，
，
．
【變式9-2】如圖，是的中線，

求：
(1)的長；
(2)的正弦值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本題考查解直角三角形的應用、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是：
（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解決問題；
（2）在中，求出，即可解決問題．
【詳解】（1）解：如圖，作于．

在中，，，
，，
在中，，
，
．
（2），
，，，
在中，．
的正弦值為．
【考點題型十】解直角三角形的應用
【例10】為了踐行“綠水清山就是金山銀山”的重要理念，我省某森林保護區開展了尋找古樹的活動．如圖，古樹直立于水平面，為測量古樹的高度，小明從古樹底端B點出發，沿水平方向行走了30米到達點C，然后沿斜坡前進，到達坡頂D點處，，在點D處放置測角儀，測角儀支架的高度為0.8米．在點E處測得古樹頂端A點的仰角為（點A、B、C、D、E在同一平面內），斜坡的坡度．（參考數據：，，）
(1)求斜坡的高；
(2)求古樹的高．（結果保留一位小數）
【答案】(1)米
(2)米
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
（1）過點作與點， 延長交于，根據斜坡的坡度可設，則，利用勾股定理求出x的值，進而可得出與的長，故可得出結論；
（2）由矩形的判定定理得出四邊形是矩形，故可得出，，再由銳角三角函數的定義求出的長，進而可得出結論．
【詳解】（1）解：過點作與點， 延長交于，
∵斜坡的坡度米，
∴設米， 則米，
在中，
，即，
解得，
米， 米，
答：斜坡的高為米；
（2）解：，
∴四邊形是矩形，
米，米，
米，米，
在中，
，
米，
米，
答： 古樹的高AB約為米．
【變式10-1】學科實踐：風力發電是一種利用風能轉化為電能的技術，它通過風力發電機將風的動能轉換為機械能，進而通過發電機將機械能轉換為電能．某校實踐活動小組到當地的電力部門安裝的一批風力發電機場地進行實地調研，并對其中一架風力發電機的塔桿高度進行了測量．
數據采集：如圖1是要測量的風力發電機，圖2為測量示意圖，已知斜坡長為，斜坡的坡角為，在斜坡頂部處測得風力發電機塔桿頂端點的仰角為，坡底與塔桿底的距離．
數據應用：已知圖中點，，，均在同一平面內，．請根據上述數據，求該風力發電機塔桿的高度．（結果精確到；參考數據：，，，）
【答案】該風力發電機塔桿的高度為
【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解直角三角形的應用-坡度坡角問題，過點作于點，作于點，由題意得：，，根據三角函數的定義得到，，根據矩形的性質得到，求得，根據三角函數的定義即可得到結論．
【詳解】解：過點作于點，作于點，
由題意得：，，
在中，∵，，
∴，．
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴．
答：該風力發電機塔桿的高度為．
【變式10-2】如圖，一艘輪船在海面上航行，準備要停靠到碼頭，當輪船航行到處時，測得碼頭在北偏東方向上，此時收到北偏東方向處的一發生故障漁船的求助信號，這艘輪船調整航向，沿著方向繼續航行海里到達處對漁船進行了救助，又沿著南偏東方向航行到達碼頭．
(1)求的度數；
(2)求輪船從處到碼頭距離．（結果精確到海里．參考數據：，，，）
【答案】(1)
(2)輪船從處到碼頭距離約為海里
【分析】本題考查了解直角三角形的應用—方向角問題、平行線的性質、三角形的內角和等知識點，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
（1）如圖，過點作，交于點，先求解，，再利用三角形的內角和定理可得答案；
（2）如圖，過點作于，在中，求出，然后在中，求出，進而即可求解的長．
【詳解】（1）解：如圖，過點作，交于點，
則，
，
，
，
；
（2）如圖，過點作于，
在中，，，
，
，
在中，，
，
（海里），
答：輪船從處到碼頭距離約為海里．
【變式10-3】隨著移動互聯網的普及，外賣已經成為了人們日常生活中不可或缺的一部分，某天，小明在位于點處的家中購買了位于點處某商家的外賣食品，外賣騎手收到商家派單后，立即趕往點處取餐，然后進行配送．根據導航顯示，點在點北偏西方向，點在點北偏東方向，；點
在點正東方向，；點在點正南方向，且在商家正東方向，．（參考數據： ，，，）
(1)求的長度；（結果精確到個位）
(2)騎手在收到派單后立即趕往點處取餐并開始配送，騎手有兩條送餐路線可選擇：①；②．請通過計算說明，在速度相間的情況下，騎手選擇哪條送餐路線才能更快地將外賣送到小明家？（結果精確到個位）
【答案】(1)的長度約為米
(2)騎手選擇線路①才能更快地將外賣送到小明家
【分析】本題考查解直角三角形的應用—方向角問題；
（1）過點作，交的延長線于點，交的延長線于點，在中，求出，進而求出，在中，即可求出；
（2）在中，求出，在中，求出，進而求出，再根據線路①路程為：，線路②路程為，求出兩條線路長，比較即可作出判斷．
【詳解】（1）解：由題意，知，過點作，交的延長線于點，交的延長線于點，如圖，
則四邊形是矩形，，，
在中，
，，
（米）
（米）
（米）
在中，
由題意，知，
（米）
答：的長度約為米
（2）在中，
（米）
在中，
（米）
（米），
線路①路程為：（米），
線路②路程為：（米），
＜，
線路①較近．
【變式10-4】某校組織初三學生到張家界國家森林公園開展研學旅行，同學們來到入口A觀測到山頂D在仰角的地方（學生身高忽略不計），然后水平前行了27米，到達一個岔路口B處，從這里上山有兩條路線．路線一：沿著一個坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一條長500米，且與水平線夾角為的索道上山；路線二：繼續沿水平路線前行到山腳E，然后乘坐山體電梯直達山頂D（山體電梯與水平地面垂直）．（參考數據：，，，，）
(1)求山頂D離水平地面的高度為多少米？（結果精確到1米）
(2)若師生的步行速度為50米分，索道的運行速度為70米分，山體電梯的運行速度為180米分．張老師帶領部分同學選擇路線一，李老師帶領另一部分同學選擇路線二，兩隊從B點一起出發，請問哪個隊伍先到山頂？（結果精確到個位）
【答案】(1)
(2)張老師所帶隊伍先到山頂
【分析】（1）設過點的水平線交于點，過點作于點，易證得四邊形為矩形，故可設米，則米，在中，可求得米，米，進而可得米，米，米，由，可得，進而可得，由等角對等邊可得，即，解方程即可求得的長，然后根據即可求出山頂離水平地面的高度；
（2）由（1）可知米，進而可得米，米，米，再列式求出路線一所需時間和路線二所需時間，比較即可得出結論．
【詳解】（1）解：如圖，設過點的水平線交于點，過點作于點，
則四邊形為矩形，
；
設米，
，
（米），
在中，
（米），
（米），
米，
米，
米，
米，
，，
，
，
，
即：，
解得：（米），
（米），
答：山頂離水平地面的高度約為米；
（2）解：由（1）可知：米，
米，
（米），
（米），
路線一所需時間（分鐘），
路線二所需時間（分鐘），
，
選擇線路一的隊伍先到山頂，
答：張老師帶領部分同學選擇路線一先到山頂．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用（坡度坡比問題），解直角三角形的應用（仰角俯角問題），矩形的判定與性質，熟練掌握解直角三角形的相關計算是解題的關鍵．
【考點題型十一】三角函數綜合
【例11】如圖，四邊形內接于為直徑，上存在點，滿足，連結并延長交的延長線于點與交于點．
(1)設，請用含的代數式表示．
(2)若，求證：．
(3)在（2）的條件下，若，則的值為_______．（直接寫出答案）
【答案】(1)
(2)詳見解析
(3)
【分析】（1）根據得；根據為直徑得；結合即可求解；
（2）連接，可推出；結合，可得；證即可求解；
（3）設，則，可推出，；設，可推出，即，；根據得，，即可求解；
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵為直徑，
∴，
∴
（2）證明：連接，如圖所示：
∵為直徑，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
由（1）得：，
設，則，
∵，
∴；
∴；
設，
∵，
∴
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案為：
【點睛】本題考查了圓與幾何綜合問題，涉及了圓周角定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質、三角函數等知識點，掌握相關幾何結論是解題關鍵．
【變式11-1】如圖1，在中，，平分交于點D，點E是線段上一點，連接、．
(1)求證：；
(2)過點D作于點F，取的中點H，過點H作，交于點G，交于點M，
①如圖2，若，求證：；
②如圖3，若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)①證明見解析
②9
【分析】（1）利用等腰三角形三線合一的性質得到，平分，故是的垂直平分線，進而通過垂直平分線的性質即可證得．
（2）①根據題目中的提示構造三角形中位線：連接，再通過等角的三角函數值相等得到三角形邊的比例關系，進而化比例式為等積式即可得證．
②連接，．先利用等腰三角形的性質及平行線的性質定理等證得，利用在直角三角形中邊的比例關系得到，根據勾股定理構建關于的方程進而求得的值，再根據在直角三角形中邊的比例關系得到，根據勾股定理構建關于的方程，即可求得的值．
【詳解】（1）證明：，平分，
且是的中點，
直線是線段的垂直平分線，
．
（2）①證明：連接，如圖2．
，是的中點，
中位線，
，
．
，，
，．
，
，
，
．
②解：連接，如圖3．
，
，
．
，
．
，H是的中點，
．
，
，
，
，
．
連結．
，H是的中點，
．
．
．
．
．
．
，
．
．
【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質，垂直平分線的性質，三角函數等，能夠根據題目構造輔助線，綜合利用多個知識點，通過線段之間的比例及勾股定理建立方程求解是本題的關鍵．
【變式11-2】定義：如果一個四邊形的一組對角互余，那么我們稱這個四邊形為“對角互余四邊形”．
(1)如圖1，在對角互余四邊形中，，且．若，求四邊形的面積和周長．
(2)如圖2，在四邊形中，連接，點O是外接圓的圓心，連接，求證：四邊形是“對角互余四邊形”；
(3)在（2）的條件下，如圖3，已知，，，連接，求線段的長．
【答案】(1)四邊形的面積為，周長為；
(2)見解析；
(3)線段的長是．
【分析】（1）由四邊形是對角互余四邊形，，得，則，可求得， ，于是可求得，；
（2）延長交于點E，連接，由是的直徑，得，而，則，即可證明四邊形是“對角互余四邊形”；
（3）作于點F，使點F與點A在直線的異側，由，根據勾股定理得，可證明，得，，所以，由，得，而，則，因為，所以，連接，證明，可求得．
【詳解】（1）解：如圖1，
∵四邊形是對角互余四邊形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形的面積為，周長為；
（2）證明：如圖2，延長交于點E，連接，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是“對角互余四邊形”；
（3）解：如圖3，作于點F，使點F與點A在直線的異側，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
連接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴線段的長是．
【點睛】此題重點考查圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數與解直角三角形、相似三角形的判定與性質、新定義問題的求解等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．解直角三角形 題型強化訓練
【考點題型一】正弦、余弦、正切的概念
【例1】在中，，，，所對的邊分別為a，b，c.下列式子一定能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】在中，，a，b，c分別為的對邊，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】如圖，在中，，為邊上一點，過點作，垂足為，則下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】如圖，在中，，，則的值為（ ）

A． B． C． D．
中小學教育資源及組卷應用平臺
【考點題型二】求正弦、余弦、正切
【例2】在菱形中，若對角線，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】在中，已知，那么的值為（　　）
A． B． C． D．
【變式2-2】在中，，、、的對邊分別為a、b、c，則（）．
A． B． C． D．
【變式2-3】如圖，點均在正方形網格的格點上，則（ ）
A． B． C． D．
【考點題型三】已知正弦、余弦、正切求邊長
【例3】在中，，，，則的值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【變式3-1】在中，，則 ．
【變式3-2】已知在中，，則的長為 ．
【考點題型四】特殊角的三角函數值
【例4】已知，則的值是（ ）
A． B． C． D．1
【變式4-1】如圖，在中，，，．求的值．
【變式4-2】計算： ．
【考點題型五】根據三角函數值判斷角的度數
【例5】王明同學遇到了這樣一道題，，則銳角的度數為 ．
【變式5-1】關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則銳角α的余角等于（）
A． B． C． D．
【變式5-2】在中，若，則 度；
【考點題型六】根據特殊角的三角函數值判斷三角形的形狀
【例6】在中， ，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【變式6-1】在中，，都是銳角，且，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形
【變式6-2】在中，若，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【變式6-3】在中，若，，都是銳角，則的形狀是 ．
【考點題型七】特殊角三角函數的混合運算
【例7】計算：
【變式7-1】計算
(1)；
(2)．
【變式7-2】計算
(1)．
(2)．
【考點題型八】解直角三角形
【例8】如圖，在矩形中，，，為對角線，的平分線交于點E，連接交于點F．則下列結論中錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】如圖，在中，，，的垂直平分線交于點D，連接，若，則的長為（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【變式8-2】如圖，在中，已知，，為上一點，，．
(1)求的長；
(2)求的面積．
【變式8-3】如圖，在中，，是斜邊上的中線，過點A作，分別與，相交于點E，F，如果，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【考點題型九】解非直角三角形
【例9】如圖，在中，，求和的長．
【變式9-1】如圖，在中，．
(1)求的值．
(2)求的面積（結果保留根號）
【變式9-2】如圖，是的中線，

求：
(1)的長；
(2)的正弦值．
【考點題型十】解直角三角形的應用
【例10】為了踐行“綠水清山就是金山銀山”的重要理念，我省某森林保護區開展了尋找古樹的活動．如圖，古樹直立于水平面，為測量古樹的高度，小明從古樹底端B點出發，沿水平方向行走了30米到達點C，然后沿斜坡前進，到達坡頂D點處，，在點D處放置測角儀，測角儀支架的高度
為0.8米．在點E處測得古樹頂端A點的仰角為（點A、B、C、D、E在同一平面內），斜坡的坡度．（參考數據：，，）
(1)求斜坡的高；
(2)求古樹的高．（結果保留一位小數）
【變式10-1】學科實踐：風力發電是一種利用風能轉化為電能的技術，它通過風力發電機將風的動能轉換為機械能，進而通過發電機將機械能轉換為電能．某校實踐活動小組到當地的電力部門安裝的一批風力發電機場地進行實地調研，并對其中一架風力發電機的塔桿高度進行了測量．
數據采集：如圖1是要測量的風力發電機，圖2為測量示意圖，已知斜坡長為，斜坡的坡角為，在斜坡頂部處測得風力發電機塔桿頂端點的仰角為，坡底與塔桿底的距離．
數據應用：已知圖中點，，，均在同一平面內，．請根據上述數據，求該風力發電機塔桿的高度．（結果精確到；參考數據：，，，）
【變式10-2】如圖，一艘輪船在海面上航行，準備要停靠到碼頭，當輪船航行到處時，測得碼頭在北偏東方向上，此時收到北偏東方向處的一發生故障漁船的求助信號，這艘輪船調整航向，沿著方向繼續航行海里到達處對漁船進行了救助，又沿著南偏東方向航行到達碼頭．
(1)求的度數；
(2)求輪船從處到碼頭距離．（結果精確到海里．參考數據：，，，）
【變式10-3】隨著移動互聯網的普及，外賣已經成為了人們日常生活中不可或缺的一部分，某天，小明在位于點處的家中購買了位于點處某商家的外賣食品，外賣騎手收到商家派單后，立即趕往點處取餐，然后進行配送．根據導航顯示，點在點北偏西方向，點在點北偏東方向，；點在點正東方向，；點在點正南方向，且在商家正東方向，．（參考數據： ，，，）
(1)求的長度；（結果精確到個位）
(2)騎手在收到派單后立即趕往點處取餐并開始配送，騎手有兩條送餐路線可選擇：①；②．請通過計算說明，在速度相間的情況下，騎手選擇哪條送餐路線才能更快地將外賣送到小明家？（結果精確到個位）
【變式10-4】某校組織初三學生到張家界國家森林公園開展研學旅行，同學們來到入口A觀測到山頂D在仰角的地方（學生身高忽略不計），然后水平前行了27米，到達一個岔路口B處，從這里上山有兩條路線．路線一：沿著一個坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一條長500米，且與水平線夾角為的索道上山；路線二：繼續沿水平路線前行到山腳E，然后乘坐山體電梯直達山頂D（山體電梯與水平地面垂直）．（參考數據：，，，，）
(1)求山頂D離水平地面的高度為多少米？（結果精確到1米）
(2)若師生的步行速度為50米分，索道的運行速度為70米分，山體電梯的運行速度為180米分．張老師帶領部分同學選擇路線一，李老師帶領另一部分同學選擇路線二，兩隊從B點一起出發，請問哪個隊伍
先到山頂？（結果精確到個位）
【考點題型十一】三角函數綜合
【例11】如圖，四邊形內接于為直徑，上存在點，滿足，連結并延長交的延長線于點與交于點．
(1)設，請用含的代數式表示．
(2)若，求證：．
(3)在（2）的條件下，若，則的值為_______．（直接寫出答案）
【變式11-1】如圖1，在中，，平分交于點D，點E是線段上一點，連接、．
(1)求證：；
(2)過點D作于點F，取的中點H，過點H作，交于點G，交于點M，
①如圖2，若，求證：；
②如圖3，若，，求的長．
【變式11-2】定義：如果一個四邊形的一組對角互余，那么我們稱這個四邊形為“對角互余四邊形”．
(1)如圖1，在對角互余四邊形中，，且．若，求四邊形的面積和周長．
(2)如圖2，在四邊形中，連接，點O是外接圓的圓心，連接，求證：四邊形是“對角互余四邊形”；
(3)在（2）的條件下，如圖3，已知，，，連接，求線段的長．

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