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第1章 解直角三角形 綜合提升練習 含解析

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第1章 解直角三角形 綜合提升練習 含解析

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第1章 解直角三角形 綜合提升練習
1.如圖,中,,點D在上,.若,,則的長度為( )
A. B. C. D.4
2.在中,,若,則的值為(  )
A. B. C. D.
3.如圖,的三個頂點都在正方形網格的格點上,那么的正切值是( )
A. B. C. D.2
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4.的值為( )
A. B. C. D.
5.如圖,在矩形中,,在上取一點E,使,則度數為( )
A. B. C. D.不能確定
6.如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖.其中分別表示一樓、二樓地面的水平線,的長是,則乘電梯從點到點上升的高度是( )

A. B. C. D.
7.如圖,在矩形中,點是邊的中點,,垂足為,則的值是( )
A. B. C. D.
8.如圖在菱形中,,則的值( )
A. B.2 C. D.
9.小紅沿坡比為的斜坡上走了120米,則她實際上升了 米
10.比較大小: (填“>”或“=”或“<”).
11.在直角三角形中,,且,則 .
12.在中,,則 .
13.如圖,方格紙中每個小正方形的邊長都為1,點A、B、C都是格點,則的值為 .

14.計算:.
15.如圖,在中,,,于點,,求的值.
16.防火門是消防中的必備設備,作為隔絕煙火的關鍵屏障,被廣泛應用于公共建筑的封閉樓梯間、安全通道、地下室、消防控制室等.圖1是某棟樓層的雙開防火門實物圖,將其左門抽象成俯視示意圖如圖2和圖3所示.已知墻面,門寬.(參考數據:,,,)
(1)如圖2,當左門繞點逆時針完全打開貼到墻時,點落在點處,此時,求的長
(2)如圖3,當左門繞點逆時針打開時,點落在點處,求此時點到墻面的距離.
17.已知,如圖,點在上,;
(1)求的度數,
(2)若,,求的長,
(3)若,求.
參考答案
1.如圖,中,,點D在上,.若,,則的長度為( )
A. B. C. D.4
【答案】C
【分析】在中,由銳角三角函數求得,再由勾股定理求得,最后在中由銳角三角函數求得.本題主要考查了勾股定理,解直角三角形的應用,關鍵是解直角三角形.
【詳解】解:,,,





故選:C.
2.在中,,若,則的值為(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本題考查了解直角三角形.根據銳角三角函數的定義得出,設,,根據,即可得出答案.
【詳解】解:,
設,,

故選:C.
3.如圖,的三個頂點都在正方形網格的格點上,那么的正切值是( )
A. B. C. D.2
【答案】C
【分析】本題考查了求一角的正切,網格中證明三角形是直角三角形,勾股定理以及勾股定理的逆定理的應用,根據網格的特點,找到點所在網格的頂點,連接,通過勾股定理的逆定理判斷是直角三角形,進而根據正切的定義求得的值.
【詳解】解:如圖,連接,
根據網格的特點可知:


是直角三角形,


故選:C.
4.的值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本題考查特殊角的三角函數的混合運算.熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵.把特殊角的三角函數值代入計算即可.
【詳解】解:

故選:B.
5.如圖,在矩形中,,在上取一點E,使,則度數為( )
A. B. C. D.不能確定
【答案】B
【分析】本題主要考查了矩形的性質,等邊對等角,三角形內角和定理,解直角三角形,先由矩形的性質
和已知條件證明,然后解直角三角形推出,據此可求出的度數,最后求出的度數即可得到答案.
【詳解】解:∵四邊形是矩形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故選:B.
6.如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖.其中分別表示一樓、二樓地面的水平線,的長是,則乘電梯從點到點上升的高度是( )

A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本題考查了解直角三角形的應用,過點作于,求出,根據正弦求出即可求解,正確作出輔助線是解題的關鍵.
【詳解】解:過點作于,

則,,
∵,
∴,
∴,
故選:.
7.如圖,在矩形中,點是邊的中點,,垂足為,則的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質,矩形的性質,三角函數,熟練掌握矩形的性質,證明三角形相似是解決問題的關鍵.證明,得出,,由矩形的對稱性得:,得出,設,則,由勾股定理求出再由三角函數定義即可得出答案.
【詳解】∵四邊形是矩形,
∴,
∵點E是邊的中點,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵點E是邊的中點,
∴由矩形的對稱性得:,
∴,
設,則,
∴,
又∵,
∴,
故選:A.
8.如圖在菱形中,,則的值( )
A. B.2 C. D.
【答案】B
【分析】本題考查了菱形的性質,以及三角函數的應用,要熟練掌握好邊角之間的關系,菱形四邊相等.首先設菱形邊長為,則,根據三角函數定義可得,再解即可得到的值,然后利用勾股定理計算出的長,然后在根據正切定義可得的值.
【詳解】解:設菱形邊長為,









故選:B.
9.小紅沿坡比為的斜坡上走了120米,則她實際上升了 米
【答案】60
【分析】此題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題,靈活運用勾股定理是解本題的關鍵.根據題意設鉛直距離為,則水平距離為,根據勾股定理求出的值,即可得到結果.
【詳解】解:設鉛直距離為,則水平距離為,
根據題意得:,
解得:,
則她實際上升了60米,
故答案為:60
10.比較大小: (填“>”或“=”或“<”).
【答案】=
【分析】本題考查互余兩角三角函數的關系,根據任意銳角的正弦值等于余角的余弦值,任意銳角的余弦值等于余角的正弦值解答即可,這也是解題關鍵.
【詳解】解:∵,
∴.
故答案為:=.
11.在直角三角形中,,且,則 .
【答案】
【分析】本題考查了互余兩角三角函數的關系,熟練掌握互余兩角三角函數的關系是解題的關鍵.根據三角函數的性質,一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值,由此即可解答.
【詳解】解:,



故答案為:.
12.在中,,則 .
【答案】
【分析】本題主要考查解直角三角形,熟練掌握解直角三角形是解題的關鍵;由題意易得是等腰直角三角形,且,然后根據余弦的定義可進行求解.
【詳解】解:由題意得:是等腰直角三角形,且,
∴,
∴;
故答案為:.
13.如圖,方格紙中每個小正方形的邊長都為1,點A、B、C都是格點,則的值為 .

【答案】/
【分析】本題考查求角的余弦值,勾股定理,連接,根據勾股定理的逆定理判定,再根據余弦函數的定義求解.
【詳解】解:如圖,連接,

由格點及勾股定理知:,,,




故答案為:.
14.計算:.
【答案】
【分析】考查了實數的運算,解題關鍵是先算乘方、開方,再算乘除,最后算加減,有括號的要先算括號里面的,同級運算按從左到右的順序進行.
利用二次根式的性質和特殊角的三角函數值、零指數冪的性質、絕對值的性質分別化簡,再相加減即可.
【詳解】解:.
15.如圖,在中,,,于點,,求的值.
【答案】
【分析】本題考查了平行四邊形是性質,等腰三角形的判定及性質,三角函數,勾股定理等;過作交的延長線于,由平行四邊形的性質得 ,,由平行線之間的距離處處相等得,由余弦函數得,由勾股定理得, 由等腰三角形的性質得,由正切函數即可求解; 平行四邊形是性質,等腰三角形的判定及性質,三角函數,勾股定理,并能熟練利用勾股定理及三角函數求解是解題的關鍵.
【詳解】解:過作交的延長線于,
四邊形是平行四邊形,




在中,








在中,


16.防火門是消防中的必備設備,作為隔絕煙火的關鍵屏障,被廣泛應用于公共建筑的封閉樓梯間、安全通道、地下室、消防控制室等.圖1是某棟樓層的雙開防火門實物圖,將其左門抽象成俯視示意圖如圖2和圖3所示.已知墻面,門寬.(參考數據:,,,)
(1)如圖2,當左門繞點逆時針完全打開貼到墻時,點落在點處,此時,求的長
(2)如圖3,當左門繞點逆時針打開時,點落在點處,求此時點到墻面的距離.
【答案】(1)
(2)點到墻面的距離約為
【分析】本題考查解直角三角形實際應用.
(1)由題意得,利用在中,求出;
(2)過點作于點,中利用三角函數求出.
【詳解】(1)解:由題意得,
在中,,,,
則;
(2)解:如圖,過點作于點,
由題意得,
在中,,,,
則.
答:點到墻面的距離約為.
17.已知,如圖,點在上,;
(1)求的度數,
(2)若,,求的長,
(3)若,求.
【答案】(1);
(2);
(3).
【分析】(1)由三角形全等的性質得到,,再進一步得到,得出,再由即可求解;
(2)先證明,得到,再由,即可求解;
(3)根據,設,,得到,再得到,由,得到,即可求解.
【詳解】(1)解:∵,,
,,
,,
∵,,

∴,
在中,,
∴,

(2)解:∵,,
∴,
∴,
在中, ,
又∵,

∴;
(3)解:,設,,



∴,


∵,
∴,

【點睛】本題考查了全等三角形的性質,相似三角形的判定與性質,勾股定理,銳角三角形函數等知識,掌握相關知識是解題的關鍵.

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