資源簡介

2023北京育才學(xué)校初三（上）期末
數(shù) 學(xué)
一、選擇題（本題共 16分，每小題 2分）第 1~8題均有四個選項，符合題意的選項只有一
個．
( ) mm 2 x 2x = 3
1. 若方程 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 m 的值為（ ）．
A. 2 B. 2 C. 2 D. 不存在
2. 不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個，除顏色外兩個小球無其他差別，從中隨機(jī)摸出一個小球，放回
并搖勻，再從中隨機(jī)摸出一個小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是（ ）
1 1 1 3
A. B. C. D.
4 3 2 4
3. 關(guān)于二次函數(shù) y=-（x -2）2＋3，以下說法正確的是（ ）
A. 當(dāng) x＞-2 時，y 隨 x 增大而減小 B. 當(dāng) x＞-2 時，y 隨 x 增大而增大
C. 當(dāng) x＞2 時，y 隨 x 增大而減小 D. 當(dāng) x＞2 時，y 隨 x 增大而增大
4. 如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于 O ，若四邊形 ABCO 是菱形，則 D 的度數(shù)為（ ）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
5. 如圖， AC 是 O 的直徑， B，D是圓上兩點，連接 AB，BC，BD，AD ．若 CAB = 55 ，則
ADB 的度數(shù)為（ ）．
A. 55 B. 45 C. 35 D. 25
6. 如圖，AB 是⊙O 的一條弦，OD⊥AB 于點 C，交⊙O 于點 D，連接 OA．若 AB=4，CD=1，則⊙O 的半
徑為（ ）
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5
A. 5 B. 5 C. 3 D.
2
7. 拋物線 y=（x﹣1）2+t 與 x 軸的兩個交點之間的距離為 4，則 t 的值是（ ）
A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. ﹣4
拋物線 y = ax28. + bx + c的頂點為 A(2,m)，且經(jīng)過點 B (5,0)，其部分圖象如圖所示.對于此拋物線有如
下四個結(jié)論：① ac 0；② a b + c 0；③m + 9a = 0；④若此拋物線經(jīng)過點C (t,n)，則 t + 4一定是
方程 ax2 + bx + c = n 的一個根．其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④
二、填空題（本大題共 8小題，共 16分）
2
9. 若二次函數(shù) y = x 2x + k 的圖象與 x 軸只有一個公共點，則 k = __________．
10. 如圖，PA ， PB 是 O 的兩條切線，切點分別為A ， B ，連接OA，OB ，OP ， AB ．若OA =1，
APB = 60 ，則 PAB 的周長為_____________．
11. 如圖， PA，PB 分別切 O 于點 A，B，Q 是優(yōu)弧 AB 上一點，若 P = 40 ，則 Q 的度數(shù)是
________．
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12. 如圖 1 所示的鋁合金窗簾軌道可以直接彎曲制作成弧形．若制作一個圓心角為 160°的圓弧形窗簾軌道
（如圖 2）需用此材料800 mm，則此圓弧所在圓的半徑為________mm．
13. 如圖，圓錐的底面半徑OB = 6，高OC = 8，則圓錐的側(cè)面積等于_______．
14. 如圖，在 ABC 中， BAC = 65 ，將 ABC 繞點A 逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ AB C ，連接C C ．若
C 'C∥ AB，則 BAB = ______ ．
15. 考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一塊古代圓形陶器殘片如圖所示，為了修復(fù)這塊陶器殘片，需要找出圓心．
（1）請利用尺規(guī)作圖確定這塊殘片的圓心 O；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）寫出作圖的主要依據(jù)： ．
16. 社團(tuán)課上，同學(xué)們進(jìn)行了“摸球游戲”：在一個不透明的盒子里，裝有 20 個除顏色不同外其余均相同
的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)
上述過程．整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象，如圖所示，經(jīng)分析
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可以推斷“摸出黑球”的概率約為_______．
三、解答題（共 68分，17題 6分，18-23題，每題 5分，24-26題，每題 6分，27，28題，
每題 7分）
17. 解方程：
（1） x2 4x +1= 0
2
（2）50(1+ x) = 98
2
18. 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x + (k + 2) x + 2k = 0
（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若該方程有一個根是正數(shù)，求 k 的取值范圍．
19. 已知：如圖所示， ABC 繞點 A，順時針旋轉(zhuǎn) 50°，得到 ADE ，當(dāng) E 在 BC 邊上時：
（1）求證： BED = EAC ；
（2）連接 BD，當(dāng) BD ⊥ BC 時，求 ABC 的度數(shù)．
20. 已知二次函數(shù) y = x2 + 2x + 3．
（1）補(bǔ)全表格，并在平面直角坐標(biāo)系中用描點法畫出該函數(shù)圖象；
x … 1 0 1 2 3 …
y … 0 3 …
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（2）根據(jù)圖象回答， y 0 時，x 的取值范圍是____________；
（3）根據(jù)圖象回答：當(dāng) 1 x 2時，y 的取值范圍____________．
21. 一張長為 30cm，寬 20cm 的矩形紙片，如圖 1 所示，將這張紙片的四個角各剪去一個邊長相同的正方形
后，把剩余部分折成一個無蓋的長方體紙盒，如圖 1 所示，如果折成的長方體紙盒的底面積為 264cm2，求
剪掉的正方形紙片的邊長．
22. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， OAB的頂點坐標(biāo)分別為O (0,0)， A(5,0)， B (4,-3)，將
OAB繞點O 順時針旋轉(zhuǎn)90 得到△OA B ，點A 旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為 A ．
（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA B ，并寫出點 A 的坐標(biāo)；
（2）求點 B 經(jīng)過的路徑 BB 的長（結(jié)果保留 π）．
23. 2022 年 11 月 29 日，神舟十五號成功發(fā)射，作為中國空間站建造階段最后一次飛行任務(wù)，標(biāo)志著我國
載人航天踏上新征程，某學(xué)校舉辦航天知識講座，需要兩名引導(dǎo)員，決定從 A、B、C、D 四名志愿者中，
通過抽簽的方式確定兩人．抽簽規(guī)則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同且不透明卡片的正面，
把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的三張卡片中
隨機(jī)抽取第二張，記下名字．
（1）“A 志愿者被選中”是______事件（填“隨機(jī)”或“不可能”或“必然”）；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法求出 A、B 兩名志愿者同時被選中的概率．
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24. 如圖，△ABC 內(nèi)接于⊙O，直徑 DE⊥AB 于點 F，交 BC 于點 M，DE 的延長線與 AC 的延長線交于點
N，連接 AM．
（1）求證：AM＝BM；
（2）若 AM⊥BM，DE＝8，∠N＝15°，求 BC 的長．
25. “化圓為方”是古希臘尺規(guī)作圖難題之一，即：求作一個正方形，使其面積等于給定圓的面積．這個
問題困擾了人類上千年，直到 19 世紀(jì)，該問題被證明僅用直尺和圓規(guī)是無法完成的．如果借用一個圓形
紙片，我們就可以化圓為方，方法如下：
已知：⊙O（紙片），其半徑為 r ．
求作：一個正方形，使其面積等于⊙O 的面積．
作法：①如圖 1，取⊙O 的直徑 AB ，作射線 BA ，過點A 作 AB 的垂線 l ；
②如圖 2，以點A 為圓心，OA為半徑畫弧交直線 l 于點C ；
③將紙片⊙O 沿著直線 l 向右無滑動地滾動半周，使點A ， B 分別落在對應(yīng)的 A ， B 處；
④取CB 的中點M ，以點M 為圓心，MC 為半徑畫半圓，交射線 BA 于點 E ；
⑤以 AE 為邊作正方形 AEFG ．
正方形 AEFG 即為所求．
根據(jù)上述作圖步驟，完成下列填空：
（1）由①可知，直線 l 為⊙O 的切線，其依據(jù)是________________________________．
（2）由②③可知， AC = r ， AB = r ，則MC = _____________，MA = ____________（用含 r 的代數(shù)式
表示）．
（3）連接ME ，在 Rt△AME 中，根據(jù) AM 2 + AE2 2= EM 2 ，可計算得 AE = _________（用含 r 的代數(shù)式
表示）．由此可得 S正方形 = SAEFG o ．
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26. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 y=-x2+mx+n 與 x 軸交于點 A，B（A 在 B 的左側(cè)）．
（1）拋物線的對稱軸為直線 x=-3，AB=4．求拋物線的表達(dá)式；
（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點 O，且與 x 正半軸交于點 C，記平移后的拋物線頂
點為 P，若△OCP 是等腰直角三角形，求點 P 的坐標(biāo)；
（3）當(dāng) m=4 時，拋物線上有兩點 M（x1，y1）和 N（x2，y2），若 x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，試判斷 y1與
y2的大小，并說明理由．
27. 在 ABC 中， BAC = 45 ，CD ⊥ AB 于點 D， AE ⊥ BC 于點 E，連接 DE ．
（1）如圖 1，當(dāng) ABC 為銳角三角形時，
①依題意補(bǔ)全圖形，猜想 BAE 與 BCD 之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
②用等式表示線段 AE ，CE ， DE 的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）如圖 2，當(dāng) ABC 為鈍角時，直接寫出線段 AE ，CE ， DE 的數(shù)量關(guān)系．
28. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，給出如下定義：
對于⊙C 及⊙C 外一點 P，M，N 是⊙C 上兩點，當(dāng)∠MPN 最大，稱∠MPN 為點．P．關(guān)于⊙C 的“視角”．直
線 l 與⊙C 相離，點 Q 在直線 l 上運動，當(dāng)點 Q 關(guān)于⊙C 的“視角”最大時，則稱這個最大的“視角”為直．線．．l
關(guān)于⊙C 的“視角”．
（1）如圖，⊙O 的半徑為 1，
①已知點 A（1，1），直接寫出點 A 關(guān)于⊙O 的“視角”；已知直線 y = 2，直接寫出直線 y = 2 關(guān)于⊙O 的“視
角”；
②若點 B 關(guān)于⊙O 的“視角”為 60°，直接寫出一個符合條件的 B 點坐標(biāo)；
（2）⊙C 的半徑為 1，
①C 的坐標(biāo)為（1，2），直線 l: y=kx + b（k > 0）經(jīng)過點 D（ 2 3 +1，0），若直線 l 關(guān)于⊙C 的“視角”為
60°，求 k 的值；
②圓心 C 在 x 軸正半軸上運動，若直線 y = 3 x + 3 關(guān)于⊙C 的“視角”大于 120°，直接寫出圓心 C 的橫坐
標(biāo) xC的取值范圍．
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參考答案
一、選擇題（本題共 16分，每小題 2分）第 1~8題均有四個選項，符合題意的選項只有一
個．
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C B C D D B
二、填空題（本大題共 8小題，共 16分）
9 10 11 12 13 14 15 16
1 3 3 70° 900 60 50 （1）作圖略；（2）線段垂直平分線上的點與線段兩個端點的距離相等；不在同一 0.2
直線上的三個點確定一個圓．
三、解答題（共 68分，17題 6分，18-23題，每題 5分，24-26題，每題 6分，27，28題，
每題 7分）
17.（1） x1 = 2+ 3，x = 2 3 2
2 12
（2） x1 = ，x2 =
5 5
18.（1）略 （2） k 0
19.（1）略 （2） ABC = 25 ．
20.（1）略；
（2） 1 x 3；
（3）0 y 4．
21.4cm
22.（1）略，點 A 的坐標(biāo)為 (0, 5)；
5
（2） l =
BB 2
1
23.（1）隨機(jī) （2）
6
24.（1）略；（2）2 2 +2 6
( +1) r ( 1) r
25.（1）經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；（2） ， ；（3） r 2
2 2
26.（1）y=-x2-6x-5．（2）點 P 的坐標(biāo)（1，1）．（3）y1＞y2．
27.（1）①圖形略；猜想： BAE = BCD ，；②略；
（2）線段 AE ，CE ， DE 的數(shù)量關(guān)系：CE 2DE = AE ．
2 3 1
28.（1）① 90 ，60 ；②本題答案不唯一，如：B (0，2)；（3） 1+ x . C
3 3
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