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第二十九章投影與視圖
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、單選題
1．一個(gè)幾何體由若干個(gè)相同的正方體組成，其主視圖和俯視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體中正方體的個(gè)數(shù)最多是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
2．有一正方體，六個(gè)面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6，有三個(gè)人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示．如果記6的對(duì)面的數(shù)字為a，2的對(duì)面的數(shù)字為b，那么的值為（ ）
A．3 B．7 C．8 D．11
3．下列幾何體中，其俯視圖與左視圖完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
4．如圖是幾何體的俯視圖，所表示數(shù)字為該位置小正方體的個(gè)數(shù)，則該幾何體的正視圖是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖所示的圓柱的左視圖是（ ）
A． B． C． D．
6．圖3中是從三個(gè)方向看得到的圖，它對(duì)應(yīng)的幾何體是（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，空心圓柱的左視圖是（ ）
A． B． C． D．
8．由6個(gè)相同的正方體組成的立體圖形如圖所示，它的左視圖是（ ）
A． B． C． D．
9．如圖所示的幾何體，它的左視圖正確的是（ ）
A． B． C． D．
10．如圖是用相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置所對(duì)應(yīng)的小正方體的個(gè)數(shù)，由此可知，該幾何體的左視圖是（ ）

A． B． C． D．
11．由5個(gè)大小相同的小正方體拼成的幾何體如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A．主視圖的面積最小 B．左視圖的面積最小
C．俯視圖的面積最小 D．三個(gè)視圖的面積相等
12．如圖表示一個(gè)由相同小立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上小立方塊的個(gè)數(shù)，那么該幾何體的主視圖為（　　）
A． B． C． D．
二、填空題
13．如圖所示是某種型號(hào)的正六角螺母毛坯的三視圖，則它的側(cè)面積為 ．
14．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體是 ．
15．物體的主視圖實(shí)際上是該物體在某一 光線下的投影．
16．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的側(cè)面積為 （結(jié)果保留）
17．下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，已知它的正視圖與左視圖都是邊長為2的等邊三角形，則這個(gè)幾何體的全面積為 ．
三、解答題
18．如圖所示的是一個(gè)包裝盒的表面展開圖，其底面為正六邊形．
(1)請(qǐng)寫出這個(gè)包裝盒的幾何體的名稱
(2)請(qǐng)根據(jù)圖中所標(biāo)的尺寸計(jì)算這個(gè)幾何體的側(cè)面積
19．如圖，畫出該物體的三視圖
20．如圖，添線補(bǔ)全下列幾何體的三視圖．
21．某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用太陽光線下物體的影子和標(biāo)桿測(cè)量旗桿的高度．如圖，在某一時(shí)刻，旗桿的影子為，與此同時(shí)在處立一根標(biāo)桿，標(biāo)桿的影子為，，．

(1)求的長；
(2)從條件、條件這兩個(gè)條件中選擇-一個(gè)作為已知，求旗桿的高度．
條件：；條件：從處看旗桿頂部的仰角為．
注：如果選擇條件和條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．參考數(shù)據(jù)：，，．
22．如圖，晚上小麗由路燈走向路燈，當(dāng)她行至點(diǎn)處時(shí)，發(fā)現(xiàn)她在路燈下的影長為，且影子的頂端恰好在點(diǎn)，接著她又走了至點(diǎn)處，此時(shí)她在路燈下的影子的頂端恰好在點(diǎn)，已知小麗的身高為，路燈的高度為小麗與路燈，在同一平面內(nèi)

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出路燈在位置燈下的影子；
(2)計(jì)算路燈的高度．
23．操作與研究：如圖，被平行于的光線照射，于D，在投影面上.
(1)指出圖中線段的投影是______，線段的投影是______.
(2)問題情景：如圖1，中，，，我們可以利用與相似證明，這個(gè)結(jié)論我們稱之為射影定理，請(qǐng)證明這個(gè)定理.
(3)拓展運(yùn)用：如圖2，正方形的邊長為15，點(diǎn)O是對(duì)角線、的交點(diǎn)，點(diǎn)E在上，過點(diǎn)C作，垂足為F，連接；試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明；
24．操作與研究：如圖，被平行于的光線照射，于D，在投影面上．
(1)指出圖中線段的投影是______，線段的投影是______．
(2)問題情景：如圖1，中，，，我們可以利用與相似證明，這個(gè)結(jié)論我們稱之為射影定理，請(qǐng)證明這個(gè)定理．
(3)【結(jié)論運(yùn)用】如圖2，正方形的邊長為15，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E在上，過點(diǎn)C作，垂足為F，連接，
①試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明；
②若，求的長．
《第二十九章投影與視圖》參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C B B D C C B A
題號(hào) 11 12
答案 B C
1．C
【分析】易得這個(gè)幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層立方體的個(gè)數(shù)，由主視圖可得第二層立方體的可能的個(gè)數(shù)，相加即可．
【詳解】結(jié)合主視圖和俯視圖可知，左邊上層最多有2個(gè)，左邊下層最多有2個(gè)，右邊只有一層，且只有1個(gè)．
所以圖中的小正方體最多5塊．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖判斷幾何體，掌握口訣“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”是解題的關(guān)鍵.
2．B
【分析】由圖一和圖二可看出1的對(duì)面的數(shù)字是5；再由圖二和圖三可看出3的對(duì)面的數(shù)字是6，從而2的對(duì)面的數(shù)字是4．
【詳解】解：從3個(gè)小立方體上的數(shù)可知，
與寫有數(shù)字1的面相鄰的面上數(shù)字是2，3，4，6，
所以數(shù)字1面對(duì)數(shù)字5，
同理，立方體面上數(shù)字3對(duì)6．
故立方體面上數(shù)字2對(duì)4．
則a＝3，b＝4，
那么a＋b＝3＋4＝7．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查靈活運(yùn)用正方體的相對(duì)面解答問題，立意新穎，是一道不錯(cuò)的題．解題的關(guān)鍵是按照相鄰和所給圖形得到相對(duì)面的數(shù)字．
3．C
【分析】根據(jù)各個(gè)幾何體的俯視圖、左視圖的形狀進(jìn)行判斷即可．
【詳解】圓錐的俯視圖是圓形，左視圖是等腰三角形，因此選項(xiàng)A不符合題意；
圓柱的俯視圖是圓形，左視圖是矩形，因此選項(xiàng)B不符合題意；
正方體的俯視圖，左視圖都是正方形，因此選項(xiàng)C符合題意；
三棱柱的俯視圖是三角形，左視圖是長方形，因此選項(xiàng)D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，理解視圖的定義，掌握簡單幾何體的三視圖的形狀是正確判斷的前提．
4．B
【分析】根據(jù)俯視圖中每列正方形的個(gè)數(shù)，再畫出從正面看得到的圖形即可．
【詳解】解：主視圖，如圖所示：
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖判斷幾何體；簡單組合體的三視圖．用到的知識(shí)點(diǎn)為：主視圖是從物體的正面看得到的圖形；看到的正方體的個(gè)數(shù)為該方向最多的正方體的個(gè)數(shù)．
5．B
【分析】本題考查了簡單幾何體的三視圖，根據(jù)左視圖是從左邊看得到的圖形，可得答案．
【詳解】解：從左邊看，得到的圖形是：
．
故選：B．
6．D
【分析】根據(jù)三視圖進(jìn)行判斷即可．
【詳解】∵從三個(gè)方向看得到的圖是：
∴這個(gè)立體圖形是：
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖確定幾何體的形狀，三視圖分別為主視圖、左視圖、俯視圖，是分別從幾何體正面、左面和上面看所得到的平面圖形，主要考查學(xué)生空間想象能力．
7．C
【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的棱都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中．
【詳解】解：圓柱的左視圖是矩形，里面有兩條用虛線表示的看不到的棱，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，熟練掌握基本幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵．
8．C
【分析】本題考查了三視圖的知識(shí)，左視圖是從物體的左面看得到的視圖．找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中．
【詳解】
解：左視圖有2列，每列小正方形數(shù)目分別為3，1，即為，
故選：C．
9．B
【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中．
【詳解】解：根據(jù)題意，
從左面看易得上面有2列，第1列兩個(gè)正方形，第2列1個(gè)正方形；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，左視圖是從物體的左面看得到的視圖．
10．A
【分析】根據(jù)俯視圖中每列正方形的個(gè)數(shù)，再畫出從左面看得到的圖形即可．
【詳解】解：該幾何體的左視圖從左到右看到的正方體分別是3，4，1，
所以該幾何體的左視圖是：
．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了畫幾何體的三視圖；用到的知識(shí)點(diǎn)為：主視圖，左視圖分別是從物體的正面，左面看得到的圖形；看到的正方體的個(gè)數(shù)為該方向最多的正方體的個(gè)數(shù)．
11．B
【分析】求出主視圖、俯視圖以及左視圖的面積，即可求解．
【詳解】解：主視圖、左視圖，俯視圖分別為：

面積分別為4，3，4
所以，左視圖面積最小，B選項(xiàng)正確，符合題意，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了簡單幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是正確求出幾何體的三視圖．
12．C
【分析】從正面看可看到每列正方體的最多個(gè)數(shù)分別為2，2，1，表示為平面圖形
【詳解】解：俯視圖中的每個(gè)數(shù)字是該位置小立方體的個(gè)數(shù)，分析其中的數(shù)字，
得主視圖有3列，從左到右的列數(shù)分別是2，2，1．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題靈活考查了三種視圖之間的關(guān)系以及視圖和實(shí)物之間的關(guān)系，同時(shí)還考查了對(duì)圖形的想象力．
13．36
【分析】正六角螺母?jìng)?cè)面為6個(gè)相同的長方形，求出每個(gè)長方形的面積，即可得出它的側(cè)面積．
【詳解】2×3=6cm2，
6×6=36cm2．
故答案為：36．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正六棱柱的三視圖，將三視圖上邊的長度轉(zhuǎn)化為正六棱柱對(duì)應(yīng)邊的長度是解題關(guān)鍵．
14．棱長為2的正方體.
【分析】根據(jù)三視圖的形狀和所標(biāo)的長度即可判斷.
【詳解】解：由三視圖可知：該幾何體為棱長為2的正方體.
故答案為：棱長為2的正方體.
【點(diǎn)睛】此題考查的是根據(jù)三視圖，判斷幾何體的形狀，掌握常見幾何體的三視圖特征是解決此題的關(guān)鍵.
15．平行
【分析】從正面看到的圖叫做主視圖，正面看實(shí)際上就是平行于物體看．
【詳解】根據(jù)主視圖的定義可得：物體的主視圖實(shí)際上是該物體在某一平行光線下的投影．故答案為平行．
【點(diǎn)睛】本題考查了主視圖的定義．掌握主視圖的定義是解題的關(guān)鍵．
16．
【分析】由三視圖可知，該幾何體為底面半徑為1，高為3的圓柱，根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖為長方形，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由三視圖可知，該幾何體為底面半徑為1，高為3的圓柱，圓柱的側(cè)面展開圖為長方形，且長、寬分別為，3，
∴側(cè)面積為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖以及圓柱的側(cè)面積．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)三視圖確定幾何體．
17．3π
【分析】分析可知圖為圓錐的三視圖，從而根據(jù)三視圖的特點(diǎn)得知底面圓的直徑，代入全面積公式求解．
【詳解】解：該幾何體是一個(gè)底面直徑為2的圓錐，
其側(cè)面積為：π×2×1＝2π，
底面積為：π 12＝π，
全面積為：2π+π＝3π．
故答案為3π
【點(diǎn)睛】本題考查了有三視圖判斷幾何體以及圓錐的計(jì)算，由該三視圖中的數(shù)據(jù)確定圓錐的底面圓的直徑是解本題的關(guān)鍵；本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
18．(1)正六棱柱
(2)
【分析】（1）由平面圖形的折疊及常見立體圖形的展開圖，即可解答；
（2）側(cè)面積為6個(gè)長方形的面積之和，即可解答．
【詳解】（1）這個(gè)包裝盒為正六棱柱．
（2）．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開圖，解決本題的關(guān)鍵是熟悉由平面圖形的折疊及常見立體圖形的展開圖．
19．見詳解
【分析】根據(jù)三視圖的畫法要求結(jié)合所給的幾何體畫出對(duì)應(yīng)的視圖即可．
【詳解】解：三視圖如下：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖的畫法，要注意主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等，三視圖位置規(guī)定：主視圖在左上方，它的下方是俯視圖，左視圖坐落在右邊．
20．見解析
【分析】本題主要考查畫幾何體的三視圖，主視圖是從正面看到的圖形，俯視圖是從上面看到的圖形，左視圖是從左面看到的圖形，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：如圖所示，即為所求；
21．(1)；
(2)．
【分析】（）根據(jù)題意即可求解；
（）若選擇條件：根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長成正比進(jìn)行計(jì)算即可求解；若選擇條件：過點(diǎn)作，垂足為，則，，解可得，再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解；
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，投影的性質(zhì)，掌握投影的性質(zhì)及解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴的長為；
（2）若選擇條件：由同一時(shí)刻物高與影長成正比得，，
∴，
∴，
∴旗桿的高度為；
若選擇條件：過點(diǎn)作，垂足為，

則，，
在中，，
∴，
∴，
∴旗桿的高度約為．
22．(1)見解析
(2)路燈的高度為
【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．中心投影；
（1）連接并延長，交過點(diǎn)且垂直于的直線于，即為所求；
（2）由題意知，，，，，證明，則，求，，證明，則，求即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；

（2）解：由題意知，，，，，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
，即，
解得，
路燈的高度為．
23．(1)，
(2)詳見解析
(3)詳見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，即可得到答案；
（2）證明，得到，即可證明定理；
（3）利用射影定理，得到，，進(jìn)而得到，即可證明．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，圖中線段的投影是，線段的投影是，
故答案為：，；
（2）證明：如圖，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴，
∴；
（3）證明：如圖，

∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，而，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、射影定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，理解射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．
24．(1)，
(2)見解析；
(3)①見解析；②．
【分析】（1）根據(jù)題意，即可解答；
（2）通過證明得到，然后利用比例性質(zhì)即可得到；
（3）①根據(jù)射影定理得，，則，即，加上，于是可根據(jù)相似三角形的判定得到結(jié)論；
（2）②先計(jì)算出，，，再利用（1）中結(jié)論得到，代入數(shù)據(jù)即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，圖中線段的投影是，線段的投影是．
故答案為：，；
（2）證明：如圖，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴，
∴；
（3）①證明：如圖，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
而，
∴；
②∵，
而，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．也考查了射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．

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