資源簡介

3.3冪函數（教學設計）
一、教學內容
1.冪函數的概念與表示，的圖像與性質，以及冪函數性質的應用。
二、教學目標
1、通過生活實例抽象出五個冪函數，能從自變量、函數值及函數解析式的結構等角度歸納共性，抽象出冪函數的一般形式。
2、會畫出五個冪函數的圖像，能利用圖像和代數運算的方法得到它們的性質，體會研究一類函數的基本路徑與方法。
重難點：
通過生活實例抽象出五個冪函數，能從自變量、函數值及函數解析式的結構等角度歸納共性，抽象出冪函數的一般形式。
三、教學過程設計
活動一：創設情境，提出問題
問題1：看到“冪”這個字會想到什么？
師生活動：學生暢所欲言，教師展示ppt，給出冪的字典釋義，以及關于冪的數學史，激發學生的興趣。通過徐光啟先生對冪的描述引出冪的定義。
追問:我們知道冪是什么，也知道函數是什么，那冪函數是什么知道嗎？
師生活動：學生說不知道，教師一邊在黑板寫“冪函數”的標題，一邊說“今天我們就來認識并研究一下冪函數”。
問題2:數學來源于生活，那么生活中有沒有冪函數的身影？
師生活動：教師展示ppt，給出五個生活實例，學生回答出五個解析式。
追問1:這五個解析式有什么共同特征？
師生活動：學生討論并舉手回答。教師最后進行補充歸納，然后指出冪函數的定義，并進行板書。
定義：一般地，函數叫做冪函數，其中為自變量，為常數。
追問2:能否根據冪函數的概念各舉出一個冪函數的例子？
師生活動：學生回答，教師將學生回答的解析式寫到黑板上進行評價糾錯。尤其強調底數是x，指數是常數，系數是1。
接著給學生強調：冪的指數除了可以取整數外，還可以取其它實數，當取不同的實數時，冪的含義也不同，對于冪函數，高中階段我們只研究這五個函數的圖像與性質。
設計意圖：通過學生熟悉的實際問題引出冪函數的概念，通過追問引導學生抓住冪函數的形式特點，板書學生的例子，進一步辨析學生寫的解析式的結構。
活動二:探究冪函數的圖像與性質
問題3:我們應如何研究這五個函數？數學是從已知到未知的過程，這五個函數里面有沒有我們熟悉的函數？
師生活動：學生回答：我們很熟悉這三個函數。
追問：那我們一起來回顧一下這三個函數都有哪些性質？
師生活動：教師一邊呈現ppt，一邊讓學生依次回答出三個函數的定義域、值域、奇偶性和單調性。
問題4:我們之所以能迅速說出這三個函數的性質，是因為我們已經知道它們的圖像了。那么的圖像我們能不能畫出來？怎么畫？
師生活動：學生思考并回答可以用描點法畫。
追問：請在導學案上已經畫好的一次函數和二次函數的同一個坐標系中畫出的圖像，并填寫表格
師生活動：學生自主探究、作圖，教師巡堂，觀察學生的結果，對于學生錯誤的作圖及時糾正，教師最后依次展示的標準圖像，并同時讓學生回答它們的性質，然后填入導學案的表格中。最后教師呈現五個函數全部填完后的表格。
問題5:觀察表格，哪些是奇函數？哪些是偶函數？它們的指數分別有什么特點？
師生活動：學生回答：、是奇函數，它們的指數都是奇數。是偶函數，它的指數是偶數。
追問：我們能不能因此歸納出冪函數的一般性質？
師生活動：教師引導，當冪函數的指數為奇數時，這個冪函數就是？學生回答奇函數。教師引導，當冪函數的指數為偶數時，這個函數就是？學生回答偶函數。同時呈現出ppt。然后教師將該性質寫在黑板上，并讓學生填寫導學案。
問題6：觀察表格，五個函數的定義域有什么特點？
師生活動：學生回答，教師補充，五個函數都在上有定義。
追問1:那么五個函數在這個區間的單調性是怎樣的？
師生活動：學生回答，在區間內，都是增函數，只有是減函數。
追問1：它們的指數各自有什么特點？
師生活動：學生回答。
追問2:我們可以繼續歸納出冪函數的一般性質是？
師生活動：學生說，教師在黑板上寫：指數為正時，冪函數在為增函數，指數為負時，冪函數在為減函數。
問題7:我們已經通過分析每一個冪函數的性質得到了這個表格，并由這個表格總結出了冪函數的指數不同，單調性和奇偶性也不同。那我們現在把五個圖合并起來看一下，有沒有五個函數都具備的性質？
師生活動：教師呈現五個函數的標準圖像，讓學生觀察五個函數的共性。此時學生可以直觀的看到它們都過點（1,1）。教師繼續板書在黑板，同時呈現ppt。
設計意圖：讓學生通過自己親自畫圖觀察總結規律，讓后引導學生自己歸納出冪函數的一般性質，會讓學生對新知識掌握得更牢固，也更有參與感。
活動三：冪函數性質的應用
問題8：如何利用冪函數的性質，比較下列各題中兩個值的大小？
師生活動：讓學生先獨立做題，教師巡視課堂，觀察學生作業完成情況。上臺展示正確答案，并對巡視過程中發現的問題進行總結。
問題9: 我們已經通過畫圖直觀看到了的單調性，能否用代數法進行證明？
師生活動：讓學生獨立做題，抽學生回答證明思路。再用ppt展示正確答案。
四、課堂小結
1.所有的冪函數圖象都通過點(1,1)。
2.當α為奇數時，冪函數為奇函數；當α為偶數時，冪函數為偶函數。
3.在第一象限內：當α>0時，在上為增函數；當α<0時，在上為減函數。
五、布置作業
1.利用冪函數的性質，比較下列各題中兩個值的大小：（較易）
2.利用冪函數的性質，比較下列各題中兩個值的大小：（較難）
3.證明冪函數在上是減函數。（較易）
4.若，求的取值范圍。（較難）

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