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河北省邢臺(tái)市部分學(xué)校 2025 屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.|(2 )(1 3 )| =( )
A. 4√ 3 B. 5√ 2 C. 2√ 5 D. √ 6
3
2.已知單位向量 和 的夾角為 ，且 = ，則|2 | =( )
4
A. 1 B. √ 2 C. 2 D. 2√ 2
3.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為(0, √ 2)，(0, √ 2)，點(diǎn)( 1, √ 2)在該橢圓上，則該橢圓的離心率為( )
√ 2 √ 2 1 1
A. B. C. D.
2 4 2 4
√ 5 5
4.已知cos( ) = ，則sin( + 2 ) =( )
14 5 14
4 4 3 3
A. B. C. D.
5 5 5 5
5.已知 ， ， 是三條不同的直線(xiàn)， ， 是兩個(gè)不同的平面， ， ， ∩ = ， ⊥ ，則“ ⊥ ”
是“ ⊥ ”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
6.設(shè) 是等差數(shù)列{ }的前 項(xiàng)和，若 2 = 2， 8 6 = 6，則 8 =( )
A. 12 B. 16 C. 24 D. 32
7.運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，將甲、乙等5名志愿者安排到 ， ， 三個(gè)場(chǎng)地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個(gè)
場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場(chǎng)地，則不同的安排方法種數(shù)為
( )
A. 72 B. 96 C. 114 D. 124
8.已知函數(shù) ( )是定義在 上的減函數(shù)，且 ( 1) 2為奇函數(shù)，對(duì)任意的 ∈ [ 2,3]，不等式 ( ) +
( 2 1) ≤ 4恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
3 5
A. ( ∞, 3] B. ( ∞, ] C. [13, +∞) D. ( , +∞)
4 4
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
2
9.已知集合 = { |
2
= 1}恰有兩個(gè)子集，則 的值可能為( )

7 7
A. B. C. 4 D. 4
4 4

10.若過(guò)點(diǎn) ( , 0)恰好可作曲線(xiàn) = 的兩條切線(xiàn)，則 的值可以為( )

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A. B. 2 C. D. 2
11.在棱長(zhǎng)為6的正方體 1 1 1 1中， 為 的中點(diǎn)，點(diǎn) 滿(mǎn)足 = + 1， ∈ [0,1]， ∈
[0,1]，則下列說(shuō)法正確的是( )
1
A. 當(dāng) = 時(shí)， ⊥
2
B. 當(dāng) = 時(shí)，三棱錐 1 的體積為定值
1
C. 當(dāng) = 時(shí)， //平面 1 1 2
1
D. 當(dāng) = ， = 1時(shí)，三棱錐 1 外接球的表面積為86 2
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
2
12.某籃球運(yùn)動(dòng)員投球的命中率是 ，他投球4次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率為_(kāi)_____. (用數(shù)值作答)
3
1 1
13.已知數(shù)列{ }，{ }滿(mǎn)足 + = ， +1 = ，則 1 + 2 + 3 + + 100 = ______． +2
2
14.設(shè) ， 為雙曲線(xiàn) 2 = 1上兩點(diǎn)，線(xiàn)段 的中點(diǎn)為(4, 0)， 0 > 0，則 0的取值范圍為_(kāi)_____． 4
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
為了研究性別與感冒的關(guān)系，某醫(yī)學(xué)研究小組在11月感冒易發(fā)季節(jié)對(duì)某一社區(qū)男性和女性的感冒情況進(jìn)行
抽樣調(diào)研，得到如下2 × 2列聯(lián)表．
感冒情況 合計(jì)
性別
不感冒 感冒
男性 30 15 45
女性 45 10 55
合計(jì) 75 25 100
(1)請(qǐng)根據(jù)2 × 2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值 = 0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析能否認(rèn)為性別與感冒情況具有相關(guān)性；
(2)利用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中不感冒的人群中隨機(jī)抽取5人，再?gòu)倪@5人中選出2人分享發(fā)言，記分
享發(fā)言中女性的人數(shù)為 ，求隨機(jī)變量 的分布列及數(shù)學(xué)期望．
2
2 ( )附： = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
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0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小題15分)
記△ 的內(nèi)角 ， ， 的對(duì)邊分別為 ， ， ，已知sin2 + sin2 + cos2 + = 1．
(1)求角 ；
(2)若 為 上一點(diǎn)， ⊥ ， = 2 = 2，求△ 的面積．
17.(本小題15分)
如圖，在四棱錐 中，底面 為平行四邊形， = = √ 5， = 2 = 2， = √ 6，平
面 ⊥平面 ．
(1)證明： ⊥ ．

(2)若點(diǎn) 在線(xiàn)段 上，且平面 與平面 的夾角為 ，求 ．
4
18.(本小題17分)
已知 是拋物線(xiàn) ： 2 = 2 ( > 0)的焦點(diǎn)， 是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與 軸的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn) 與 相切于
點(diǎn) ，| | = 2．
(1)求拋物線(xiàn) 的方程．
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn)交 于 ， 兩點(diǎn)，直線(xiàn) 與 的另一個(gè)交點(diǎn)為 ，點(diǎn) 在 與 之間．
( )證明： 軸平分∠ ．
( )記△ 的面積為 1，△ 的面積為 2，求5 2 1的取值范圍．
19.(本小題17分)
定義： ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)( 1 < 2 < 3)是曲線(xiàn) = ( )上三個(gè)不同的點(diǎn)，直線(xiàn) 與曲線(xiàn) = ( )
在點(diǎn) 處的切線(xiàn)平行，若 1， 2， 3成等差數(shù)列，則稱(chēng) ( )為“等差函數(shù)”，若 1， 2， 3成等比數(shù)列，則
稱(chēng) ( )為“等比函數(shù)”．
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(1)若函數(shù) ( )是二次函數(shù)，證明： ( )是“等差函數(shù)”．
(2)判斷函數(shù) ( ) = 是否為“等差函數(shù)”，并說(shuō)明理由．
(3)判斷函數(shù) ( ) = 是否為“等比函數(shù)”，并說(shuō)明理由．
第 4 頁(yè)，共 9 頁(yè)
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
32
12.【答案】
81
100
13.【答案】
101
14.【答案】(0, √ 3) ∪ (2, +∞)
15.【答案】解：(1)零假設(shè)為 0：性別與感冒情況不具有相關(guān)性．
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
2
2 100×(30×10 45×15) 100計(jì)算 = = ≈ 3.030 < 3.841 =
75×25×45×55 33 0.05
，
根據(jù)小概率值 = 0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷 0不成立，
即認(rèn)為性別與感冒情況無(wú)關(guān)．
30
(2)根據(jù)分層隨機(jī)抽樣原理知，男性有5 × = 2(人)，女性有5 2 = 3(人)，
75
所以隨機(jī)變量 的所有可能取值為0，1，2；
2 1 1 1 3 2 3
計(jì)算 ( = 0) = 2 = ， ( = 1) = 3 2 = ， ( = 2) = 3 = ，
2 10 2 55 5
2 10
5
所以 的分布列為
0 1 2
1 3 3

10 5 10
1 3 3 6
所以數(shù)學(xué)期望為 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × = ．
10 5 10 5
第 5 頁(yè)，共 9 頁(yè)
16.【答案】解：(1)根據(jù)題意，可得sin2 + sin2 + = 1 cos2 = sin2 ，
所以sin2 + sin2 sin2 = ，結(jié)合正弦定理得 2 + 2 2 = ．
2
2+ 2 1 2 由余弦定理，可得 = = = ，結(jié)合 ∈ (0, )，可得 = ．
2 2 2 3
2
(2)因?yàn)? ⊥ ，所以∠ = = ．
3 2 6
1

由 = △ = 2 = 2，即 = 21 ，可得 = ． △ ∠
2 6
由(1)可知 2 + 2 2 = ，結(jié)合 = 3，解得 = = √ 3．
所以△ 的面積 1 3√ 3 = ∠ = ．
2 4
17.【答案】解：(1)證明：因?yàn)? = √ 5， = 1， = √ 6，
所以 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，
又因?yàn)槠矫? ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ．
又因?yàn)? 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)如圖，取 為 的中點(diǎn)，連接 ，
在平面 中，作 ⊥ ， 交 于點(diǎn) ，
因?yàn)? = = √ 5，所以 ⊥ ，
因?yàn)? 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又所以 平面 ，所以 ⊥ ，
以 為原點(diǎn)，以 ， ， 所在直線(xiàn)分別為 ， ， 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則 (0,1,0)， (0, 1,0)， (0,0,2)， (1,1,0)，
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設(shè) = (0 ≤ ≤ 1)，即 = (1,1, 2)，可得 ( , , 2 2 )，
所以 = (0,2,0)， = ( , 1,2 2 )，
設(shè)平面 的法向量為 = ( , , )，則 ⊥ ， ⊥ ，
= 2 = 0
所以{ ，
= + ( 1) + (2 2 ) = 0
令 = ，則 = 2 2， = 0，所以 = (2 2,0, )，
由題知，平面 的一個(gè)法向量為 = (0,0,1)，

因?yàn)槠矫? 與平面 的夾角為 ，
4
√ 2
所以|cos < , > | = | | = = cos =| || | 2 2 4 2 ， √ (2 2) +
2 2
整理得：3 2 8 + 4 = 0，解得 = 或 = 2(舍去)，所以 = ，
3 3
又因?yàn)? ，所以 2√ 6| | = √ 1 + 1 + 4 = √ 6 = ．
3

18.【答案】(1)解：由已知得 ( , 0)，設(shè) ( , )，由已知得直線(xiàn) 的斜率恒不為0， 2

故可設(shè) ： = ．
2
2 = 2
聯(lián)立{ ，得 2 2 + 2 = 0，
=
2
由 = 4 2 2 4 2 = 0，解得 = ±1，
2 2 2
則 = = ， =
= ．
2 2 2
∵ | | = 2，
2
∴ + = 2，解得 = 2，即拋物線(xiàn) 的方程為 2 = 4 ；
2 2
(2)( )證明：如圖，
由已知得直線(xiàn) 的斜率恒不為0，故設(shè) 的方程為 = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
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由(1)得 ( 1,0)．
2 = 4
聯(lián)立{ ，得 2 4 4 = 0，
= + 1
則 1 2 = 4， 1 + 2 = 4 ，
1 2 +2( + ) 8 +8 ∴ + = +
2 = 1 2 1 2 = = 0，
1+1 2+2 ( 1+2)( 2+2) ( 1+2)( 2+2)
故 軸平分∠ ；
( )解：由( )可知直線(xiàn) 與 關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn) ， 關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)，則 ( 2, 2).
不妨設(shè) 2 > 0，∵點(diǎn) 在 與 之間，∴ 2 > 1， 2 > 2，
1 3 1
1 = × 2 2 × (
2
2 1) = ( 2 1) 2 = 2， 2 = × 2 × 2 = 2 2
，
2 4
3 3則 3
2 3
5 2 1 = 6 2
2，令 ( ) = 6 ( > 2)，則 ′( ) = 6 = (8 2)，
4 4 4 4
令 ′( ) > 0，則8 2 > 0，解得2 < < 2√ 2；由 ′( ) < 0，則8 2 < 0，解得 > 2√ 2．
則 ( )在(2,2√ 2)上單調(diào)遞增，在(2√ 2, +∞)上單調(diào)遞減，可得 ( ) = (2√ 2) = 8√ 2，
故5 2 1的取值范圍為( ∞, 8√ 2]．
19.【答案】解：(1)證明：因?yàn)楹瘮?shù) ( )是二次函數(shù)，所以設(shè) ( ) = 2 + + ( ≠ 0)．
設(shè) ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)( 1 < 2 < 3)是曲線(xiàn) = ( )上三個(gè)不同的點(diǎn)．
3 1 (
2 23 1)+ ( 則直線(xiàn) 的斜率 = = 3
1)
= ( 3 + 1) + ， 3 1 3 1
又 ′( ) = 2 + ，所以 = ′( 2) = 2 2 + ，
根據(jù)題意可得 = ，
所以2 2 + = ( 3 + 1) + ，所以2 2 = 3 + 1，
所以 ( )是“等差函數(shù)”；
(2)假設(shè)函數(shù) ( ) = 為“等差函數(shù)”．
因?yàn)? < 1 < 2 < 3，且 1， 2， 3成等差數(shù)列，所以 1 + 3 = 2 2．
3
ln
直線(xiàn) 的斜率 =
3 1 = 3 1 = 1 ，
3 1 3 1 3 1
1 1 2
因?yàn)?′( ) = ，所以 = ′( 2) = = ， 2 3+ 1
3
+ +1
又 = ，所以2 =
3 1 ln 3 = 1 ln 3，
3

1 1 3 1 11

令 = 3 > 1，即( + 1) 2( 1) = 0，
1
令 ( ) = ( + 1) 2( 1)( > 1)，
第 8 頁(yè)，共 9 頁(yè)
+1 1
則 ′( ) = + 2 = + 1．

1 1 1 1
令 ( ) = + 1( > 1)，則 ′( ) = = > 0，
2 2
所以 ( )在(1, +∞)上單調(diào)遞增，
所以 ( ) > (1) = 0，所以 ′( ) > 0，
所以 ( )在(1, +∞)上單調(diào)遞增，
所以 ( ) > (1) = 0．
所以當(dāng) > 1時(shí)，( + 1) 2( 1) > 0，即( + 1) 2( 1) = 0無(wú)解，
所以函數(shù) ( ) = 不是“等差函數(shù)”．
(3)假設(shè)函數(shù) ( ) = 為“等比函數(shù)”．
因?yàn)? < 1 < 2 < 3，且 1， 2， 3成等比數(shù)列，設(shè)公比為 ( > 1)，
所以 2 = 1 ， =
2
3 1 ，
3 1 3 3 1
2
1 ( 1+2 ) 2
2
直線(xiàn) 的斜率 1 = = = 2 = 1 + 2 3 1 3 1 1 1
因?yàn)?′( ) = + 1，所以曲線(xiàn) = ( )在點(diǎn) 處的切線(xiàn)斜率 = ′( 2) = 2 + 1 = 1 + + 1，
2 1
則 = ，整理得 2 = 0． +1
2 2 2 1 1 4 ( 1)
令 ( ) = 2 ( > 1)，則 ′( ) = = ≥ 0， +1 2 2( 2+1) ( 2+1)
2 1
所以 ( ) = 2 在(1, +∞)上單調(diào)遞增，所以 ( ) > (1) = 0， +1
2 1
所以 2 = 0在 > 1時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)解，所以函數(shù) ( ) = 不是“等比函數(shù)”． +1
第 9 頁(yè)，共 9 頁(yè)

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