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2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本大題共10小題，共40分。
1.已知全集，集合，則( )
A. B. C. D.
2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知拋物線若其焦點到準(zhǔn)線的距離為，則拋物線的焦點坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
4.函數(shù)的圖象的一個對稱中心是( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
6.已知圓，過點的直線與圓交于兩點．當(dāng)取最小值時，直線的方程為( )
A. B. C. D.
7.沙漏是一種古代計時儀器．如圖，某沙漏由上下兩個相同圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的，則這些細沙的體積為( )
A. B. C. D.
8.若函數(shù)，恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
9.“三分損益法“是古代中國發(fā)明制定音律時所用的方法，現(xiàn)有一古琴是以一根確定長度的琴弦為基準(zhǔn)，第二根琴弦的長度是第一根琴弦長度的，第三根琴弦的長度是第二根琴弦長度的，第四根琴弦的長度是第三根琴弦長度的，第五根琴弦的長度是第四根琴弦長度的琴弦越短，發(fā)出的聲音音調(diào)越高，這五根琴弦發(fā)出的聲音按音調(diào)由低到高分別稱為“宮，商，角，徵，羽“，則“宮“與“角“所對琴弦長度之比為( )
A. B. C. D.
10.設(shè)是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)使得對任意，均有，則稱是間隔遞減數(shù)列，其中稱為數(shù)列的間隔數(shù)．給出下列三個結(jié)論：
若，則是間隔遞減數(shù)列；
若，則是間隔遞減數(shù)列；
若，則是間隔遞減數(shù)列且的間隔數(shù)的最小值是．
其中所有正確結(jié)論的序號是( )
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共5小題，共25分。
11.在的展開式中，的系數(shù)為 用數(shù)字作答
12.雙曲線的漸近線方程是 ；設(shè)是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，且，則 ．
13.使不等式成立的一個的值是 ．
14.已知為所在平面內(nèi)一點，滿足，且，，設(shè)為向量的夾角，則 ； ．
15.在棱長為的正方體中，點在線段上不與重合，于于，以下四個結(jié)論：
平面；
線段與線段的長度之和為定值；
面積的最大值為；
線段長度的最小值為．
其中所有正確的結(jié)論的序號是 ．
三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.在中，．
求；
若，再從條件，條件，條件這三個條件中選擇一個作為已知，使存在，求的面積．
條件：；條件：；條件：
注：如果選擇的條件不符合要求，第問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
17.隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融人我們的日常生活．在教育領(lǐng)域，的賦能潛力巨大為了解教師對大模型使用情況，現(xiàn)從某地區(qū)隨機抽取了名教師，對使用、、、四種大模型的情況統(tǒng)計如下：
使用大模型的種數(shù)性別
男
女
在上述樣本所有使用種大模型的人中，統(tǒng)計使用、、、的大模型人次如下：
大模型種類
人次
用頻率估計概率．
從該地區(qū)教師中隨機選取一人，估計至少使用兩種大模型、、、中的概率；
從該地區(qū)使用種大模型、、、中的教師中，隨機選出人，記使用的有人，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
從該地區(qū)男，女教師中各隨機選一人，記他們使用大模型、、、中的種數(shù)分別為，比較的數(shù)學(xué)期望的大小．結(jié)論不要求證明
18.如圖，在五面體中，平面，，，，，，分別為的中點，連接．
求證：平面；
求直線與平面所成角的正弦值；
線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
19.已知函數(shù)，其中是常數(shù)，．
當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
求的極值．
20.已知橢圓的離心率為，右頂點為．
求橢圓的方程；
過原點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點．已知點，直線與橢圓的另一個交點分別為證明：直線過定點．
21.已知無窮數(shù)列，給定正整數(shù)，若數(shù)列滿足以下兩個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：；
已知和分別為數(shù)列和數(shù)列，且，求和；
已知正整數(shù)數(shù)列是數(shù)列．
無窮數(shù)列滿足且為奇數(shù)，其中，證明：對于任意的，；
求滿足條件的，并寫出與對應(yīng)的所有可能取值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

13.答案不唯一
14.

15.
16.因為，
所以．
由正弦定理得．
又，所以．
又，所以．
選條件：
根據(jù)余弦定理有，則．
又，則．
兩式相減，解得可得或
所以．
選條件：
由知，則，
所以，不符合題意；
選條件：
因為且，所以．
由正弦定理可知．
又．
所以．

17.記事件為“從該地區(qū)教師中隨機選取一人，至少使用兩種大模型”，
則估計．
記事件為“從該地區(qū)使用種大模型的名教師中隨機選人，該人使用模型”，
根據(jù)題中數(shù)據(jù)，．
的可能取值為，
，
，
．
．
的分布列為
．
由題意可得該地區(qū)男，女教師人數(shù)分別為：和，
則易求，
，故．

18.因為平面平面，所以．
又因為，平面，所以平面．
又平面，所以．
又因為為線段的中點，所以．
因為，所以．
因為分別為線段的中點，所以．
又，所以即四點共面．
又平面平面，
所以平面．
因為平面，所以．
又，所以兩兩垂直．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
于是．
可得
由可得平面．
所以平面的一個法向量為．
設(shè)直線與平面所成角為，則有
．
則直線與平面所成角的正弦值為．
設(shè)是線段上的一點，則存在，使．
，從而．
由點的坐標(biāo)可得．
設(shè)平面的法向量為
則有，即
令，則法向量為
令，即，解得．
此時，又顯然有平面，從而平面．
所以，線段上存在點，使得平面，此時．

19.當(dāng)時，，所以．
所以，又，
所以曲線在點處的切線方程為
，即．
依題意，．
當(dāng)時，由可知，，
所以在上單調(diào)遞減，無極值．
當(dāng)時，．
當(dāng)時．
，所以在上單調(diào)遞減，無極值．
時．
時．在上單調(diào)遞增，
時，在上單調(diào)遞減．
所以時，取極大值，無極小值．
綜上，當(dāng)時，無極值；
當(dāng)時有極大值，無極小值．

20.由題意可得，解得
所以橢圓的方程為．
設(shè)點，則，且．
直線，即．
由，得．
所以，則．
所以．
所以同理．
依題意，所以．
所以直線的方程為，整理得．
所以直線過定點．

21.根據(jù)數(shù)列的定義可知：，
則；
根據(jù)數(shù)列的定義可知：，
則．
假設(shè)結(jié)論不成立，不妨設(shè)為滿足且使得取最小的某個整數(shù)．
由，可知，因為是奇數(shù)，
從而，且，這與最小性矛盾，
所以對于任意的，．
假設(shè)及的取值已使得為數(shù)列且每一個項均為整數(shù)．
由中所定義出的構(gòu)成數(shù)列，
首先證明滿足對任意的，有．
若，則，從而；
若，則．
分三種情況討論
若，則故；
若，則故；
若，則．
又因為為奇數(shù)，所以也為奇數(shù)，從而有；
綜上所述，對任意的，有．
又根據(jù)的結(jié)論可知必存在某個，使得對于任意的，均有；
由于當(dāng)時，總有，于是，數(shù)列中存在無窮多項小于，
從而，可取某個，使得．
由前面的證明可知只有當(dāng)且時，
才可使得及同時成立，所以．
又因為對任意的，有，所以對任意，有，
進而對任意均為的次冪．
由，依次得，
因此也為的次冪．顯然，只有當(dāng)時才成立．
因此，只能為．
對，若，則數(shù)列的各項為，滿足要求．
當(dāng)時，數(shù)列的各項為，也符合題意．
若，則，不滿足要求．
綜上，，且此時的全部可能取值為．

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