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2024-2025學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本大題共10小題，共40分。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù)( )
A. B. C. D.
3.設(shè)，為非零向量，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則( )
A. B. C. D.
5.下列函數(shù)中，滿(mǎn)足“，”的是( )
A. B.
C. D.
6.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)在該單位圓上按逆時(shí)針?lè)较蜃鰣A周運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)若經(jīng)過(guò)的圓弧的長(zhǎng)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
7.如圖，在三棱錐中，與都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且，則點(diǎn)到平面的距離為( )
A. B. C. D.
8.溶液酸堿度是通過(guò)計(jì)量的，的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度單位：室溫下，溶液中氫離子和氫氧根離子的濃度之積為常數(shù)，即，其中表示溶液中氫氧根離子的濃度單位：室溫下，某溶液的值為，若加水稀釋后，該溶液的值變?yōu)椋瑒t稀釋后溶液中氫氧根離子的濃度與稀釋前溶液中氫氧根離子的濃度的比值為( )
A. B. C. D.
9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，的最小值為( )
A. B. C. D.
10.各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，，，，，，，為遞增數(shù)列從該數(shù)列中任取項(xiàng)構(gòu)成的遞增數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，則有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共5小題，共25分。
11.設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為 ．
12.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 用數(shù)字作答
13.在中，，．
若，則 ；
面積的最大值為 ．
14.已知函數(shù)，，，，則 ；方程的所有實(shí)數(shù)解的和為 ．
15.已知曲線(xiàn)、為常數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
曲線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)；
設(shè)、為曲線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則存在，，使得有最大值；
記曲線(xiàn)在第一象限的部分與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為，則對(duì)任意，存在，使得．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為 ．
三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
16.如圖，在三棱柱中，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)．
求證：平面；
求平面與平面夾角的余弦值．
17.已知函數(shù)，再?gòu)臈l件、條件、條件這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使唯一確定，求：
的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；
在區(qū)間上的最大值和最小值．
條件：函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心間的距離為；
條件：函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象平移得到；
條件：直線(xiàn)為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸．
注：如果選擇的條件不符合要求，得分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
18.為弘揚(yáng)社會(huì)主義核心價(jià)值觀，加強(qiáng)校園誠(chéng)信文化建設(shè)，提升中小學(xué)生的信息技術(shù)素養(yǎng)，某市開(kāi)展了“中小學(xué)誠(chéng)信主題短視頻征集展示活動(dòng)”，入圍短視頻在某公共平臺(tái)展播其中，，，，，，這個(gè)入圍短視頻展播前天的累計(jì)播放量如下表：
短視頻
前天累計(jì)播放量萬(wàn)次
從這個(gè)入圍短視頻中隨機(jī)選取個(gè)，求該短視頻前天的累計(jì)播放量超過(guò)萬(wàn)次的概率；
某學(xué)生從這個(gè)入圍短視頻中隨機(jī)選取個(gè)觀看，記為選取的個(gè)短視頻中前天的累計(jì)播放量超過(guò)萬(wàn)次的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
若這個(gè)入圍短視頻第天的單日播放量如下表：
短視頻
第天單日播放量萬(wàn)次
記這個(gè)入圍短視頻展播前天的累計(jì)播放量的方差為，前天的累計(jì)播放量的方差為，試比較與的大小關(guān)系結(jié)論不要求證明
19.已知橢圓的上頂點(diǎn)為，離心率為．
求橢圓的方程；
設(shè)為橢圓的下頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于與，不重合，直線(xiàn)與棈圓的另一個(gè)交點(diǎn)為記直線(xiàn)，的斜率分別為，，問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．
20.已知函數(shù)．
求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
求的極值；
設(shè)函數(shù)，求證：的最小值大于．
21.給定數(shù)列：，，，和序列：，，，，其中滿(mǎn)足：；對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下次變換：將的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)分別加，，，后得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)分別加，，，后得到的數(shù)列記作；；以此類(lèi)推，得到數(shù)列，簡(jiǎn)記為．
已知數(shù)列：，，，，寫(xiě)出一個(gè)序列：，，使得為，，，；
對(duì)數(shù)列：，，，，是否存在序列：，，，，使得中恰有三項(xiàng)相等？若存在，寫(xiě)出一個(gè)序列，若不存在，說(shuō)明理由；
對(duì)數(shù)列：，，，，若存在序列：，，，，使得中恰有三項(xiàng)相等，求的所有取值．
參考答案
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16.取的中點(diǎn)，連接，．
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，．
又因?yàn)椋裕遥?br/>所以四邊形是平行四邊形所以．
又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>又因?yàn)椋匀鐖D建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，所以，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則即
令，則于是．
不妨取平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)平面與平面夾角為，則．
所以平面與平面夾角的余弦值為．

17.．
選擇條件：
因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心間的距離為，所以，故．
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋睿?br/>即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
選擇條件：
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象平移得到，
所以函數(shù)與函數(shù)的周期相同，故．
因?yàn)椋运裕?br/>以下解答過(guò)程同選擇條件．
選擇條件：因?yàn)闉閳D象的對(duì)稱(chēng)軸，
所以，即，
故，其中，此時(shí)不唯一，故不選．
選擇條件或時(shí)，
因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)，即時(shí)，取最大值，最大值為；
當(dāng)，即時(shí)，取最小值，最小值為．

18.這個(gè)入圍短視頻中，前天的累計(jì)播放量超過(guò)萬(wàn)次的有個(gè)．
設(shè)事件“從這個(gè)入圍短視頻中隨機(jī)選取個(gè)，該短視頻前天的累計(jì)播放量超過(guò)萬(wàn)次”，
則．
的所有可能取值為，，，，
，，
，，
所以的分布列為：
．
前天累計(jì)播放量的平均數(shù)為：，
所以．
前天累計(jì)播放量的平均數(shù)為：
前天累計(jì)播放量的平均數(shù)為：
所以
所以．

19.由題意得解得，．
所以橢圓的方程為．
因?yàn)闉闄E圓的下頂點(diǎn)，所以．
設(shè)且，則直線(xiàn)的斜率．
由點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，
所以直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直．
由題意得直線(xiàn)的斜率，
所以直線(xiàn)的斜率所以．
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
故，所以，
所以存在，使得恒成立．

20.因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋郧€(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．
函數(shù)的定義域?yàn)榱睿獾茫?br/>當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
單調(diào)遞減 單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為；無(wú)極大值．
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)楹瘮?shù)和在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增．
又，，
所以存在，使得
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
單調(diào)遞減 單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，取到最小值，最小值為．
由得，所以設(shè)．
因?yàn)椋趨^(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即所以函數(shù)的最小值大于．

21.，．
或，
不存在．
由條件可得，，，，四個(gè)數(shù)中恰有三個(gè)和一個(gè)，即都是奇數(shù)．
因此得到結(jié)論：對(duì)數(shù)列進(jìn)行一次變換，新數(shù)列的每項(xiàng)與原數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)奇偶不同．
假設(shè)對(duì)數(shù)列：，，，，存在序列：，，，，
使得中恰有三項(xiàng)相等．
由于數(shù)列：，，，中，，，三項(xiàng)是偶數(shù)，是奇數(shù)，
由結(jié)論可得，只能，，這三項(xiàng)經(jīng)過(guò)一系列變換后相等．
若在次變換中，經(jīng)過(guò)次“”的變換和次“”的變換后，
結(jié)果為；
經(jīng)過(guò)次“”的變換和次“”的變換后，結(jié)果為．
所以，即，偶數(shù)等于奇數(shù)，矛盾．
所以不存在序列：，，，使得中恰有三項(xiàng)相等．
數(shù)列：，，，中，，兩項(xiàng)是奇數(shù)，是偶數(shù)，
由中的結(jié)論可得，，，這三項(xiàng)經(jīng)過(guò)次變換后相等．
設(shè)在次變換中，經(jīng)過(guò)次“”的變換和次“”的變換后，
結(jié)果為；
經(jīng)過(guò)次“”的變換和次“”的變換后，結(jié)果為；
經(jīng)過(guò)次“”的變換和次“”的變換后，結(jié)果為；
所以且，
即且．
令，則，．
當(dāng)時(shí)，于是；
當(dāng)時(shí)，于是；
當(dāng)時(shí)，于是；
當(dāng)時(shí)，于是；
當(dāng)時(shí)，于是；
當(dāng)時(shí)，，且，于是，
即，與矛盾．
綜上，，且

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