資源簡介

2024-2025 學年湖南省長沙市雅禮中學高三（上）1 月綜合自主測試數(shù)
學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.對一組數(shù)據(jù)3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一個數(shù)據(jù)，剩余數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量一定會發(fā)生變
化的為( )
A. 中位數(shù) B. 眾數(shù) C. 平均數(shù) D. 方差
2.已知集合 = { 5, 1,1,5}， = { | < < + 3}，若 ∩ 中有2個元素，則實數(shù) 的取值范圍是( )
A. ( 2, 1) B. [ 2, 1] C. ( 2,2] D. [ 5, 1)
3.已知數(shù)列{ }是等差數(shù)列，若 、 、 ∈
，則“2 = + ”是“2 = + ”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
4.函數(shù) ( ) = cos ln(2 +2 )在區(qū)間[ 3 , 3 ]上的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
5.米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉、糧棧、米行等的用具，有著吉祥的寓意，是豐饒富足的象征，帶
有濃郁的民間文化韻味．某居民家中收藏了一個木質(zhì)的米斗，如圖所示，該米斗的容積為1斗，其形狀可近
似看成一個正四棱臺，且該正四棱臺的下底面邊長是上底面邊長的2倍，若該米斗中剛好裝了半斗米(米均
勻分布在米斗中)，則該米斗中米的深度與米斗高度的比值為( )
3 9 3√ √7 2√ 3 √ 14A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
2 2 3 2
3
6.已知函數(shù) ( ) = sin + 2 2 ( > 0)在區(qū)間( , )上單調(diào)遞增，則 的取值范圍是( )
2 2 4
2 8 5 1 5
A. (0,4] B. (0, ] ∪ [ , 4] C. [ , 3] D. (0, ] ∪ [ , 3]
3 3 2 3 2
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7.已知數(shù)列{

}滿足 1 = 1,

+1 = ( ∈ N ).記數(shù)列{ }的前 項和為 ，則( ) 1+√
3 9 9
A. < 100 < 3 B. 3 < 100 < 4 C. 4 < 2 100
< D. < < 5
2 2 100
8.已知 ， ， ， 是半徑為2的圓 上的四個動點，若 = = 2，則 的最大值為( )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 32
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數(shù) 1， 2， 3，下列說法正確的有( )
A. 若 1 1 = 2 2，則|
2
1| = | 2| B. 若 1 +
2
2 = 0，則 1 = 2 = 0
C. 若 1 2 = 1 3，則 1 = 0或 2 = 3 D. 若| 1 2| = | 1 + 2|，則 1 2 = 0

1
10.已知二項式( 2 + ) (其中 ∈ )的展開式中存在常數(shù)項，且展開式的項數(shù)不超過9，則下列說法正確

的是( )
A. 的所有取值組成的集合中有且僅有3個元素
B. 若當 取最大值時常數(shù)項為30，則 = ±√ 2

1
C. 若當 取最小值時函數(shù) ( ) = ( 2 + ) 的圖象在點(
1
1, (1))處的切線與 軸平行，則 =
2
D. 若二項展開式中的所有項的系數(shù)和為0，則 = 1

11.對于 ∈ [0,1], ( )滿足 ( ) + (1 ) = 1, ( ) = 2 ( )，且對于0 1 2 1.恒有 ( 1) ( 2).則3
( )
A. ∑100 =1 (
) 101 1 1= B. ( ) = 2 ( )
100 2 6 24
( 1 ) 1 1 1C. = D. ≤ ( )
1
≤
80 80 32 160 16
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12.設(shè) , 是空間中兩個不同的平面， ， ， 是空間中三條不同的直線， // , , , ⊥ , ⊥ ，
給出下列五個結(jié)論，請寫出一個一定正確結(jié)論的序號 .① // ；② , 是異面直線；③ , 沒有公共點；
④ 與 沒有公共點；⑤ ⊥ ．
2 2
13.已知雙曲線 : 2 = 1(2 > 0, > 0)的左焦點為 ，過 的直線 交圓
2 + 2 = 2于 ， 兩點，交 的

右支于點 ，若| | = | | = | |，則 的離心率為 ．
14.數(shù)學家高斯在各個領(lǐng)域中都取得了重大的成就.在研究一類二次型數(shù)論問題時，他在他的著作《算術(shù)研究
》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理論在噪音工程學、密碼學以及大數(shù)分解等各個領(lǐng)域都有廣泛的
應用.已知對于正整數(shù) ， ( ≥ 2)，若存在一個整數(shù) ，使得 整除 2 ，則稱 是 的一個二次剩余，否則
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為二次非剩余.從1到20這20個整數(shù)中隨機抽取一個整數(shù) ，記事件 =“ 與12互質(zhì)”， =“ 是12的二次
非剩余”，則 ( ) = . ; ( | ) = ．
四、解答題：本題共 5 小題，共 60 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知函數(shù) ( ) = + + 2，曲線 = ( )在點(1, (1))處的切線與 軸平行．
(1)求實數(shù) 的值；
(2)若對于任意 ∈ [ ,+∞), ( ) ≤ 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍．
16.(本小題12分)
“九子游戲”是一種傳統(tǒng)的兒童游戲，它包括打彈子、滾圈子、踢毽子、頂核子、造房子、拉扯鈴子、刮
片子、摜結(jié)子、抽陀子九種不同的游戲項目，某小學為豐富同學們的課外活動，舉辦了“九子游戲”比賽，
所有的比賽項目均采用2 1( 2, ∈ )局 勝的單敗淘汰制，即先贏下 局比賽者獲勝.造房子游戲是同
學們喜愛的項目之一，經(jīng)過多輪淘汰后，甲、乙二人進入造房子游戲的決賽，已知每局比賽甲獲勝的概率
為 (0 < < 1)，乙獲勝的概率為1 ．
2
(1)若 = 2， = ，設(shè)比賽結(jié)束時比賽的局數(shù)為 ，求 的分布列與數(shù)學期望；
3
(2)設(shè)采用3局2勝制時乙獲勝的概率為 2，采用5局3勝制時乙獲勝的概率為 3，若 3 > 2，求 的取值范圍．
17.(本小題12分)
如圖，在底面為正方形的四棱錐 中，∠ = 60 ，∠ = 45 ， = 2 = 2．
(1)求證： ⊥平面 ．
(2)若 = ( > 0)，且三棱錐 的 體積是四棱錐 體積的一半．
①求點 到平面 的距離；
②求平面 與平面 所成二面角的正弦值．
18.(本小題12分)
已知拋物線 : 2 = 2 ( > 0)的焦點為 ，直線 過點 交 于 ， 兩點， 在 ， 兩點的切線相交于點 ，
的中點為 ，且 交 于點 .當 的斜率為1時，| | = 8．
(1)求 的方程;
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(2)若點 的橫坐標為2，求| |;
(3)設(shè) 在點 處的切線與 ， 分別交于點 ， ，求四邊形 面積的最小值．
19.(本小題12分)
定義兩個 維向量 = ( ,1 , ,2 ,… , , )， = ( ,1 , ,2 ,… , , )的數(shù)量積 = ,1 ,1 + ,2 ,2 + +
2
, , ( , ∈ +)， = ，記 ， 為 的第 個分量( ≤ 且 ∈ +).如三維向量 1 = (2,1,5)，其中 1
的第2分量 1 ,2 = 1.若由 維向量組成的集合 滿足以下三個條件：①集合中含有 個 維向量作為元素；②集
2 2
合中每個元素的所有分量取0或1；③集合中任意兩個元素 ， ，滿足 = = ( 為常數(shù))且 = 1.
則稱 為 的完美 維向量集．
(1)求2的完美3維向量集；
(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；
(3)若存在 為 的完美 維向量集，求證： 的所有元素的第 分量和 = ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】③(或④)
√ 97
13.【答案】
5
7 5
14.【答案】 ；
20 7
15.【答案】解：(1)因為函數(shù) ( ) = + +2，
可得 ′( ) = + 1，
所以 ′(1) = + 1，即曲線 = ( )在點(1, (1))處的切線的斜率為 = + 1，
因為曲線 = ( )在點(1, (1))處的切線與 軸平行，
1
所以 + 1 = 0，解得 = ，

1
故實數(shù) 的值為 ；

(2)由(1)知 ( ) = 1 + +2，
因為 ≥ ，所以由 1 + + 2 ≤ ，
1 2
即 ≥ + +1，

1 2
設(shè) ( ) = + + 1( ≥ )，

1 1 2
則 ′( ) =
2 2
1(1 ) 2
= 2 < 0在[ ,+∞)上恒成立，
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所以函數(shù) ( )在[ , +∞)上單調(diào)遞減，
所以 ( ) 2
2
max = ( ) = + +1，
所以 ≥ 2
2
+ + 1，

2
即實數(shù) 的取值范圍是[ 2 + + 1,+∞)．

16.【答案】解：(1)因為 = 2，所以比賽采用3局2勝制， 的所有可能取值為2，3，
2 1 5
( = 2) = ( )2 + ( )2 = ，
3 3 9
2 1 2 1 4
( = 3) = 1 × ( )22 × +
1 2
3 3 2
× × ( ) = ，
3 3 9
故 的分布列為
2 3
54

99
5 4 22
所以 ( ) = 2× +3 × = ．
9 9 9
(2)由題意知 = (1 )2 + 12 2 (1 )
2 = (1 )2(1+ 2 )，
3 = (1 )
3 + 2(1 )3 + 2(1 )3 23 4
= (1 )2( 6 3 + 3 2 + 2 +1)．
由 > 得(1 )2( 6 33 2 + 3
2 + 2 +1) > (1 )2(1+ 2 )，
且0 < < 1，則(1 )2 > 0，
可得 6 3 + 3 2 +2 + 1 > 1 +2 ，
1
整理得1 2 > 0，解得0 < < ，
2
1
所以 的取值范圍為(0, )．
2
17.【答案】解：(1)
解法一：因為四棱錐 的底面為正方形，所以 ⊥ ，
因為∠ = 60 ， = 2 = 2，
所以在 中，根據(jù)余弦定理得：
2 = 2 + 2 2 cos∠ = 22 + 12 2 × 2 × 1 × cos60 = 3，
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所以 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
2
解法二：因為 = ( + ) = + ，
2 1
= + | | | |cos60 = 1 + 1 × 2 × = 0，
2
所以 ⊥ ，所以 ⊥ ，
因為四棱錐 的底面為正方形，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
(2)
①在底面為正方形的四棱錐 中，
以 為坐標原點， ， 分別為 ， 軸，
過 且垂直于平面 的直線為 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則 (0,0,0)， (1,0,0)， (1,1,0)， (0,1,0)，
設(shè) ( , , )( > 0)，則 = (0,1,0)， = ( 1, , )， = ( 1,0,0)，
所以 = ， = 1 ，
因為∠ = 60 ，∠ = 45 ，
所以 = | | | | cos∠ = 1 × 2 × cos60 = 1，所以 = 1，
因為 = | || |cos∠ = 2 × 1 × cos45 = √ 2，
所以1 = √ 2，解得 = 1 √ 2，
所以 = ( √ 2, 1, )，
2
則| | = √ ( √ 2) + 12 + 2 = 2，
又 > 0，所以 = 1，
所以 = ( √ 2, 1,1)， (1 √ 2, 1,1)，
連接 ，因為三棱錐 的體積是四棱錐 體積的一半，
1 1
所以 = = × 2 2 2 = = ，
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又 = ( > 0)， ⊥平面 ，
所以 // ，且 = = 1，
所以 = (0,1,0)， (1 √ 2, 2,1)，
設(shè)平面 的法向量為 = ( 1, 1 , 1)，

則{
= 0 { √ 2 1 + 1 + 1 = 0，得 ，取 = 1，則 = (1,0, √ 2)，

1
= 0 1 = 0
設(shè)點 到平面 的距離為 ，
| |
因為 = (
1 √ 3
1,1,0)，所以 = = = ，
| | √ 2 3 12+02+(√ 2)
√ 3
即點 到平面 的距離為 ．
3
②由①知，平面 的一個法向量為 = (1,0, √ 2)，
設(shè)平面 的法向量為 = ( 2, 2 , 2)，
易知 = ( 1,0,0)， = ( √ 2, 1,1)，
= 0 2 = 0由{ ，得{ ，取 2 = 1，則 = (0,1, 1)， = 0 √ 2 2 + 2 + 2 = 0
√ 2 √ 3
所以cos , = = = ，
| || | √ 3×√ 2 3
設(shè)平面 與平面 所成二面角為 ，
2
√ 3 √ 6
則sin = √ 1 2 = √ 1 2 , = √ 1 ( ) = ，
3 3
√ 6
所以平面 與平面 所成二面角的正弦值為 ．
3
18.【答案】解：(1)由題意，直線 的斜率必存在．

設(shè)直線 的方程為 = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)， 2
> 0,
= + ,
聯(lián)立{ 2 得 2 2 2 = 0，( )，所以{ 1 + 2 = 2 ,
2 = 2 , 21 2 = .
當 = 1時， 1 + 2 = 2 ，

此時| | = 1 + 2 + = ( 1 + )+ ( 2 + ) + = ( 1 + 2)+ 2 = 8， 2 2
所以4 = 8，即 = 2．
所以 的方程為 2 = 4 ．
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(2)由(1)知， 中點 (2 , 2 2 +1)．

因為 2 = 4 ，所以 ′ = ，
2
1 1 1
則直線 方程為 1 = ( 1)，即 = 1
2
1， 2 2 4
1 1
同理，直線 方程為 = 2，
2 2 4 2
1 1
2 2
所以 = 4
1 4 2 1+ 2
1 = = 2 ，
( 1 ) 22 2
1( 1+ )
2
2
= 1
1 2
= = 1，所以 (2 , 1)． 4 4 4
因為 = 2，2 = 2，即 = 1，此時 (2,3)， (2, 1)，
所以直線 的方程為 = 2，
代入 2 = 4 ，得 = 1，所以 (2,1)，
所以| | = 2．
(3)由(2)知 (2 , 2 2 + 1)， (2 , 1)，
所以直線 方程為 = 2 ，
代入 2 = 4 ，得 = 2 2，所以 (2 , 2 2)，所以 為 的中點．
1
因為 在 處的切線斜率 ′ = × 2 = ，
2
所以 在 處的切線平行于 ，
又因為 為 的中點，所以
由(1)中( )式得 2 4 4 = 0，所以 1 + 2 = 4 ，
因為直線 方程為 = + 1，
所以| | = 1 + 2 + = ( 1 +1) + (
2
2 + 1) + 2 = ( 1 + 2)+ 4 = 4 + 4．
2
|2 +2| 2
又 (2 , 1)到直線 的距離 = = 2√ + 12 ， √ +1
3
所以 1 1 2 2 2△ = | | = (4 + 4) 2√ + 1 = 4( + 1)2 ≥ 4， 2 2
(當且僅當 = 0時取“=”)
所以 ，
所以四邊形 的面積的最小值為3．
19.【答案】解：(1)依題意得，集合 中含有3個元素 ( = 1,2,3)，且每個元素中含有三個分量，
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2 2 2
∵ 1 = 2 = 3 = 2，
∴每個元素中的三個分量中有兩個取1，一個取0，
所以每個元素可以是(1,1,0)、(1,0,1)或(0,1,1)，
又 1 2 = 1 3 = 2 3 = 1，所以每個元素各不相同，
所以2的完美3維向量集為 = {(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}．
(2)依題意知，完美4維向量集 含有4個元素 ( = 1,2,3,4)，且每個元素中含有四個分量，
∈ {0,1,2,3,4}．
( )當 = 0時， ∈ {(0,0,0,0)}，不滿足條件③，舍去，
( )當 = 1時， ∈ {(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)}，不滿足條件③，舍去，
(ⅲ)當 = 2時， ∈ {(1,1,0,0)，(1,0,1,0)，(1,0,0,1)，(0,1,1,0)，(0,1,0,1)，(0,0,1,1)}，
因為(1,1,0,0) (0,0,1,1) = 0，故(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一個在集合 中；
同理(1,0,1,0)和(0,1,0,1)及(1,0,0,1)和(0,1,1,0)也至多一個在集合 中，故集合 中的元素個數(shù)小于4，不滿足
條件①，舍去，
( )當 = 3時， ∈ {(1,1,1,0)，(1,1,0,1)，(1,0,1,1)，(0,1,1,1)}，不滿足條件③，舍去，
( )當 = 4時， ∈ {(1,1,1,1)}，不滿足條件③，舍去，
綜上所述，不存在完美4維向量集．
(3)依題意得， 的完美 維向量集 含有 個元素 ( = 1,2, , )，且每個元素中含有 個分量，
2
∵ = ，∴每個元素中有 個分量為1，其余分量為0，∴ 1 + 2 + + = ( )，
由(2)分析知 ≠ 0，1， ，故2 ≤ < ，
假設(shè)存在 ，使得 +1 ≤ ≤ ，不妨設(shè) + 1 ≤ 1 ≤ ，
( )當 1 = 時，如圖1，由條件 ③知 = 0或 = 1( ≠ 1)，
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此時 1 + 2 + + ≤ + ( 1) = 2 1 < 2 ≤ ，與式( )矛盾，不合題意．
( )當 + 1 ≤ 1 < 時，如圖2所示，
記 = 1, + 2, + + , ( = 1,2, ， )，
不妨設(shè) 1,1 = 2,1 = = +1,1 = 1， ,1 = 0， ,2 = = , +1 = 1．
下面研究 1 ， 2 ， ， + 1 的前 + 1個分量中所有含1的個數(shù)．
一方面，考慮 1 ， 2 ， ， + 1 中任意兩個向量的數(shù)量積為1，
故 1, ， 2, ， ， +1, ( = 2,3, ， +1)中至多有1個1，
故 1 ， 2 ， ， + 1 的前 + 1個分量中，所有含1的個數(shù)至多有( + 1) + = 2 +1個1( )．
另一方面，考慮 = 1( = 1,2, ， + 1)，故 1 ， 2 ， ， + 1 的前 + 1個分量中，
含有( + 1) + ( + 1) = 2 +2個1，與式( )矛盾，不合題意，
故對任意 ≤ 且 ∈ +， ≤ ，由( )得 = ．
第 11 頁，共 11 頁

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