資源簡介

江西省十校協作體 2025屆高三第一次聯考數學試卷
一、選擇題：本題共 8小題，每小題 5分，共 40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是
符合題目要求的．
1.已知集合A= x|y= 2-x,y∈R ，B={x|x>-2,x∈Z}，則A∩B=
A. {-1,0,1,2} B. {-1,0,1} C. N+ D. N
3+ai
2.設 a∈R， Z= ，其中 i為虛數單位．則“a> 1”是“ Z > 10”的
i
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3.已知向量 a= 3,-4 ， b= -2,m ， c= 2,1 ，若 a+b ⊥ c，則m=
A. - 6 B. - 2 C. 2 D. 6
4.某學校高一年級在校人數為 600人，其中男生 350人，女生 250人，為了解學生身高發展情
況，按分層隨機抽樣的方法抽出的男生身高為一個樣本，其樣本平均數為 172 cm，抽出
的女生身高為一個樣本，其樣本平均數為 160cm，估計該校高一學生的平均身高為
A. 162cm B. 164cm C. 167cm D. 169cm
5.下列函數中最小值為 4的是
A. y= x2+ 2x+ 4 B. y= sinx + 4
sinx
C. y= 2x+ 22-x D. y= lnx+ 4
lnx
6.某次跳水比賽甲、乙、丙、丁、戊 5名跳水運動員進入跳水比賽決賽，現采用抽簽法決定
決賽跳水順序，在“運動員甲不是第一個出場，運動員乙不是最后一個出場”的前提下，
“運動員丙第一個出場”的概率為
A. 3 B. 1 C. 1 D. 4
13 5 4 13
x2- 2+ 2= - y
2
7.已知圓 x 2 y 1與雙曲線 = 1 a>0,b>0 的一條漸近線交于A，B兩點，
a2 b2
且 AB = 1，則該雙曲線的離心率為
A. 2 B. 13 C. 2 13 D. 4 13
13 13
8.已知函數 f x 滿足 f x+y = f x + f y - 2， f 1 = 4且當 x> 0時， f x > 2，若存在
x∈ 1,2 ，使得 f ax2-4x + f 2x = 1，則 a的取值范圍是
A. 0, 1 B. 1 , 2 C. 1 , 5 D. 5 , 2 2 2 3 2 8 8 3
第1頁，共4頁
二、多選題：本題共 3小題，每小題 6分，共 18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目
要求．全部選對的得 6分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0分．
9.設函數 f x = x3- x2+ ax- 1，則
A. 當 a=-1時， f x 的極大值大于 0
B. 當 a≥ 1 時， f x 無極值點
3
C. a∈R，使 f x 在R上是減函數
D. a∈R，曲線 y= f x 的對稱中心的橫坐標為定值
10.已知函數 f x =Asin ωx+φ A>0,ω>0,0<φ<π 的部分圖象如圖所示，則
A. f x 的單調遞增區間是 -5+8k,-1+8k ， k∈Z y
B. f x 的單調遞增區間是 -5π+8kπ,-π+8kπ ， k∈Z 2
C. f x 在 -2π,2π 上有 3個零點 1 3
O C x
D. 將函數圖象向左平移 3個單位長度得到的圖象所對應的函數為奇函數
-2
π
11.如圖，在正三棱臺ABC-DEF中，AB=AD= 2，∠BEF= ，點M在△DEF內運動
3
(包含邊界)，則下列結論正確的是 C
A. DC與BE 3所成角的余弦值是 A
6 B F
B. MC與平面ABED平行時，M點的軌跡長度是 2
M
C. MC 6與平面DEF所成角的余弦值最大值是
3 D
D. MC⊥MF M 2 3π
E
當 時， 點的軌跡長度是
9
三、填空題：本題共 3小題，每小題 5分，共 15分．把答案填在答題卡中的橫線上．
1- 2x12. x+y 6 的展開式中 x4y2的系數為 ．y
13.等比數列 an 共有 2n項，其和為 240，且奇數項的和比偶數項的和大 80，則公比 q =
．
14.若函數 y= loga 5a-2 x2-4ax+2 有最小值，則 a的取值范圍是 .
四、解答題：本題共 5小題，共 77分．
15. (13分)在△ABC中，內角A、 B、C的對邊分別為 a、 b、 c，且 b2+ c2- a2= bc．
(1)求 cosA的值；
(2)若△ABC是銳角三角形， a= 3，求 b+ c的取值范圍．
第2頁，共4頁
16. (15分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD， P
AD⊥DC 1，AB DC，AB= CD=AD= 1，M為棱 PC的中
2 M
點．
(1)證明：BM 平面PAD； D C
(2)若PC= 5，PD= 1，求二面角P-BM-D的余弦值； A B
2 2
17. (15分) y橢圓C x： + = 1 a>b>0 ， F1， F2分別是橢圓C的左、右焦點，P是橢圓
a2 b2
上任意一點，△PF1F2的周長為 4+ 2 3 3，橢圓C的離心率為 ．2
(1)求橢圓C的標準方程．
(2)過點Q -3,0 作直線 l與橢圓C交于M，N兩點．
6
1 若直線 l的斜率為 ，求ΔF2MN的面積；6
2 橢圓C的左、右頂點分別為A，B，連接AN與BM，求直線AN與BM交點的軌跡方
程．
第3頁，共4頁
18. (17分)已知函數 f x = x2- alnx- 1 a∈R ．
(1)若 f x 的圖象在 x= 1處的切線方程為 3x- y+ b= 0，求 a， b的值；
(2)討論 f x 的零點的個數；
(3)若 a= 2 1 x-1，證明： f x + - > 0.
e2 ex
19. (17分)甲乙兩人各有 n n∈N* 張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有
數字 1， 3， 5， ， 2n- 1，乙的卡片上分別標有數字 2， 4， 6， ， 2n．兩人進行 n輪
比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選擇一張，并比較所選卡片上的
數字大小，數字大的得 1分，數字小的得 0分，然后各自棄置此輪所選卡片 (棄置的卡片在
此后的輪次中不能使用)，設n輪比賽后甲的總得分為X．
(1)當n= 2， 3， 4， 5時，請寫出n輪比賽后X的分布列 (不需要計算過程，不需要列表)；
(2) a設數列 an 滿足： n! =P X=n-2 n≥2 ，且已知 a6= 57， a7= 120， a8= 247， an 9
= 502．
i 當n≥ 2時，請你直接獵想 an與 an+1的遞推關系式 (不要推理過程，直接給出答案)；
(ii)結合 (i)中的遞推關系，請你求出n輪比賽后甲的總得分X不低于n- 2的概率．
第4頁，共4頁江西省十校協作體 2025屆高三第一次聯考數學試卷
一、選擇題：本題共 8小題，每小題 5分，共 40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是
符合題目要求的．
1.已知集合A= x|y= 2-x,y∈R ，B={x|x>-2,x∈Z}，則A∩B=
A. {-1,0,1,2} B. {-1,0,1} C. N+ D. N
【答案】A
【解析】2- x≥ 0得 x≤ 2，故A={x ∣ x≤ 2}，進而A∩B={-1,0,1,2}，
a∈R Z= 3+ai2.設 ， ，其中 i為虛數單位．則“a> 1”是“ Z > 10”的
i
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因為 Z= 3+ai = 3i-a = a- 3i，所以 z = a2+9．
i i2
令 Z > 10，即 a2+9> 10，解得 a> 1或 a<-1，所以 a<-1推得出 Z > 10，故
充分性成立；
由 Z > 10推不出 a<-1，故必要性不成立；所以“a<-1”是“ Z > 10”的充分不必
要條件．
3.已知向量 a= 3,-4 ， b= -2,m ， c= 2,1 ，若 a+b ⊥ c，則m=
A. - 6 B. - 2 C. 2 D. 6
【答案】C
【解析】由題意可得 a+ b= 1,m-4 ，因為 a+b ⊥ c，所以 a+b c= 2+m- 4= 0，
解得m= 2
4.某學校高一年級在校人數為 600人，其中男生 350人，女生 250人，為了解學生身高發展情
況，按分層隨機抽樣的方法抽出的男生身高為一個樣本，其樣本平均數為 172 cm，抽出
的女生身高為一個樣本，其樣本平均數為 160cm，估計該校高一學生的平均身高為
A. 162cm B. 164cm C. 167cm D. 169cm
【答案】C
【解析】由題意可知， x = 172 y ， = 160，且M= 350，N= 250，
所以樣本平均數
w = M+ x
+ N+ y
= 350+ × 172+
250 × 160= 167 cm ，
M N M N 350 250 350+250
故該校高一學生的平均身高的估計值為 167 cm．
5.下列函數中最小值為 4的是
A. y= x2+ 2x+ 4 B. y= sinx 4 +
sinx
第1頁，共11頁
C. y= 2x+ 22-x D. y= lnx+ 4
lnx
【答案】C
【解析】對于A， y= x2+ 2x+ 4= x+1 2 + 3≥ 3，當且僅當 x=-1時取等號，所以其最小
值為 3，A不符合題意；
4
對于 B，因為 0< sinx ≤ 1， y= sinx + ≥ 2 4 = 4，當且僅當 sinx = 2時取等
sinx
號，等號取不到，所以其最小值不為 4，B不符合題意；
對于C，因為函數定義域為R，而 2x> 0， y= 2x+ 22-x= 2x+ 4 ≥ 2 4 = 4，當且僅當 2x
2x
= 2，即 x= 1時取等號，所以其最小值為 4，C符合題意；
對于D， y= lnx+ 4 ，函數定義域為 0,1 ∪ 1,+∞ ，而 lnx∈R且 lnx≠ 0，如當 lnx
lnx
=-1， y=-5，D不符合題意．
6.某次跳水比賽甲、乙、丙、丁、戊 5名跳水運動員進入跳水比賽決賽，現采用抽簽法決定
決賽跳水順序，在“運動員甲不是第一個出場，運動員乙不是最后一個出場”的前提下，
“運動員丙第一個出場”的概率為
A. 3 B. 1 C. 1 D. 4
13 5 4 13
【答案】A
【解析】“運動員甲不是第一個出場，運動員乙不是最后一個出場”可分為甲最后一個出場
或甲在中間出場，方法數為A44+C 1C 13 3 A33= 78，在“運動員甲不是第一個出場，運動員乙
不是最后一個出場”的前提下，“運動員丙第一個出場”，即“運動員丙第一個出場，運
18 3
動員乙不是最后一個出場”，方法數為C13 A33= 18，因此所求概率為P= = ．78 13
2 2
7.已知圓 x-2 2 +
y
y2= 1 x與雙曲線 - = 1 a>0,b>0 的一條漸近線交于A，B兩點，
a2 b2
且 AB = 1，則該雙曲線的離心率為
A. 2 B. 13 C. 2 13 D. 4 13
13 13
【答案】D
【解析】圓 x-2 2 + y2= 1的圓心為 (2,0)，半徑 r= 1，
x2 y2 b
雙曲線 - = 1 a>0,b>0 的漸近線方程為 y=± x，即 bx± ay= 0，
a2 b2 a
2 2b
因為 AB = 1，所以圓心 (2,0)到雙曲線的漸近線的距離 d= 12- 1 =
= 2b，
2 b2+a2 c
3 3
所以 b= c，即 b2= c2- a2= c2，
4 16
c = 4 13 4 13所以 ，即該雙曲線的離心率為 ．
a 13 13
8.已知函數 f x 滿足 f x+y = f x + f y - 2， f 1 = 4且當 x> 0時， f x > 2，若存在
x∈ 1,2 ，使得 f ax2-4x + f 2x = 1，則 a的取值范圍是
第2頁，共11頁
A. 0, 1 B. 1 , 2 C. 1 , 5 D. 5 , 2 2 2 3 2 8 8 3
【答案】B
【解析】任取 x1， x2，且 x1< x2，則 x2- x1> 0，
而當 x> 0時， f x > 2，于是 f x2-x1 > 2，
又 f x+y = f x + f y - 2，因此 f x2 = f x1+ x2-x1 = f x1 + f x2-x1 - 2> f x1 ，
則函數 f x 是增函數，
而 f ax2-4x + f 2x = f ax2-4x +2x + 2= f ax2-2x + 2= 1，
于是 f ax2-2x =-1，
令 x= y= 0，得 f 0 = 2；令 x= 1， y=-1，得 f -1 = 0，
令 x=-1， y=-1，得 f -2 =-2；令 x=-2， y=-1，得 f -3 =-4，
令 x= y=- 3 3，得 f - =-1，2 2
即有 f ax2-2x = f - 3 3，因此 ax2- 2x=- ，2 2
4x-3
原問題即 2a= 在 1,2 有解，
x2
t= 1 ∈ 1
2
令 ,1 ，則 2a=-3t2 + 4t=-3 t- 2 + 4 1在 t∈ ,1 時有解，x 2 3 3 2
從而 2a∈ 4 1 2 1, ， a∈ ,3 2 3 ，
所以 a 1 2的取值范圍是 , ．2 3
二、多選題：本題共 3小題，每小題 6分，共 18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目
要求．全部選對的得 6分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0分．
9.設函數 f x = x3- x2+ ax- 1，則
A. 當 a=-1時， f x 的極大值大于 0
B. 當 a≥ 1 時， f x 無極值點
3
C. a∈R，使 f x 在R上是減函數
D. a∈R，曲線 y= f x 的對稱中心的橫坐標為定值
【答案】BD
【解析】對于A，當 a=-1時， f x = x3- x2- x- 1，求導得 f x = 3x2- 2x- 1，
令 f x = 0得 x=- 1 或 x= 1，
3
f x > 0 x<- 1 x> 1 f x < 0 - 1由 ，得 或 ，由 ，得 < x< 1，
3 3
于是 f x 在 -∞,- 1 ， 1,+∞ 1 上單調遞增，在 - ,1 上單調遞減，3 3
f x
1 1 1 1 1
在 x=- 處取得極大值，極大值為 f - =- - + - 1< 0，A錯誤；3 3 27 9 3
1
對于B， f x = 3x2- 2x+ a，當 a≥ 時，Δ= 4- 12a≤ 0，即 f x ≥ 0恒成立，
3
函數 f x 在R上單調遞增， f x 無極值點，B正確；
第3頁，共11頁
對于C，要使 f x 在R上是減函數，則 f x = 3x2- 2x+ a≤ 0恒成立，
而不等式 3x2- 2x+ a≤ 0的解集不可能為R，C錯誤；
對于D，由
2 3 2f -x + f x = 2 -x - 2 -x + a 2 -x3 3 3 3 - 1+ x3- x2+ ax- 1=
2 a- 58 ，
3 27
得曲線 y= f x 1 a 29 的對稱中心的坐標為 , -3 3 27 ，D正確．
故選BD．
10.已知函數 f x =Asin ωx+φ A>0,ω>0,0<φ<π 的部分圖象如圖所示，則
A. f x 的單調遞增區間是 -5+8k,-1+8k ， k∈Z y
2
B. f x 的單調遞增區間是 -5π+8kπ,-π+8kπ ， k∈Z
1 3
C. f x 在 -2π,2π 上有 3個零點 O C x
D. 將函數圖象向左平移 3個單位長度得到的圖象所對應的函數為奇函數 -2
【答案】AC
【解析】由圖象得A= 2，周期T= 8 2π， = 8 ω= π，得 ，
ω 4
π π
所以 f x = 2sin x+φ ， f 1 = 2sin +φ = 0．4 4
∵ 0< φ< π，∴ φ= 3 π，∴ f x = 2sin
4
π x+ 3 π ．4 4
令- π + 2kπ≤ π x+ 3 π≤ π + 2kπ， k∈Z，解得-5+ 8k≤ x≤-1+ 8k， k∈Z，
2 4 4 2
故單調遞增區間為 -5+8k,-1+8k ， k∈Z．A正確，B錯誤；
π x+ 3令 π= kπ， k∈Z，解得 x= 4k- 3，
4 4
-2π≤ 4k- 3≤ 2π 3-2π ≤ k≤ 3+2π令 得 ， k∈Z，
4 4
解得 k= 0， 1， 2，可知C選項正確；
函數圖象關于直線 x= 3對稱，向左平移 3個單位長度，圖象關于 y軸對稱，得到的函數為
偶函數，故D錯誤．
11.如圖，在正三棱臺ABC-DEF中，AB=AD= 2，∠BEF= π ，點M在△DEF內運動
3
(包含邊界)，則下列結論正確的是
C
A. DC與BE 3所成角的余弦值是 A
6 B F
B. MC與平面ABED平行時，M點的軌跡長度是 2
M
D
C. MC與平面DEF 6所成角的余弦值最大值是
3 E
D. 當MC⊥MF時，M 2 3π點的軌跡長度是
9
【答案】ABD
【解析】
第4頁，共11頁
C C C C
O
A A A A
F B F
T F
B B
F B
H
M JM M M
J
G G G G
D D D D
K
E E E E
A選項 B選項 C選項 D選項
A選項，取EF的中點G，連接CG、DG，DC，CG平行且等于BE，在三棱臺中，易得
DC=DG= 2 3，CG= 2 3，易得∠DCG的余弦值為 ，A正確；
6
B選項，取 EF的中點G、取DF的中點H，連接 CG、 CH、HG，易得 CG平行且等于
BE，易得 CH平行且等于 AD，所得面 CHG平行面 ABED，面 CHG與面 FDE相交與
HG，HG為三角形FDE的中位線，HG= 2，B正確；
C選項，過C作CJ垂直面DEF于 J，取DE的中點為K，連接FK，點 J在FK上，CJ為
定值，在面 DEF內的動點M到 E點時， EJ的距離最長，此時 ∠CEJ的正切值最小，
∠CEJ的余弦值最大
∠CFJ 2 CF= 2 CJ= 2 2 2的正弦值為 ， ，所以 ， FJ= ，在三角形DEF中， FK=
3 3 3
2 3，KJ= 4 ，又因為KE= 2 2 7，所以 JE= ，所以CE= 2 3，∠CEJ的余弦值是
3 3
7
，C錯誤；
3
D選項，過C作CJ DEF J C CJ= 2 2 FJ= 2垂直面 于 ，由 選項可知， ， ，此時M點
3 3
運動到點 J時，MC⊥MF。以CF為直徑的球與面DEF的交線，就是M點的軌跡。取 0
為CF的中點，T為 JF的中點，點M在以T為圓心，TJ為半徑的圓弧上運動，這段圓弧
對的圓心角為 120° TJ= 1 2 3π， ，這段圓弧的長度為 .
3 9
三、填空題：本題共 3小題，每小題 5分，共 15分．把答案填在答題卡中的橫線上．
12. 1- 2x x+y 6 的展開式中 x4y2的系數為 ．y
【答案】-25
【解析】當 1- 2x 取 1， x+y t 取 xty2， xty2的系數為C24= 15；y
1- 2x當 2x取- ， x+y t 取 x3y3時，得 x3y3的系數為：-2C34=-40．y y
所以 x4y2的系數為： 15- 40=-25．
13.等比數列 an 共有 2n項，其和為 240，且奇數項的和比偶數項的和大 80，則公比 q =
．
【答案】0.5
【解析】設等比數列 an 的奇數項的和、偶數項的和分別為S奇，S偶．
第5頁，共11頁
S奇+S偶=240, S奇=160，
由題意可得 解得 S奇-S偶=80, S偶=80，
a 2 n 2 n
∵S = 2
1- q a= 1
1- q
偶 - ，S1 q 奇 1-q
a 1- q2 n2
S
∴ 偶 = 1-q = a2 = q
S 2 n奇 a1 1- q a1
1-q
S
所以 q= 偶 = 1 ．故答案為： 0.5．
S奇 2
14.若函數 y= loga 5a-2 x2-4ax+2 有最小值，則 a的取值范圍是 .
0, 2【答案】 ∪ 1,2 5
【解析】當 0< a< 1時，外層函數 y= logau為減函數，
要使函數有最小值，對于內層函數u= 5a-2 x2- 4ax+ 2有最大值，
5a-2<0 2 2
所以 a< ，又 0< a< 1，所以 0< a< ；Δ=16a2-8 5a-2 >0 5 5
當 a> 1時，外層函數 y= logau為增函數，
要使函數有最小值，對于內層函數u= 5a-2 x2- 4ax+ 2有最小值，
5a-2>0 1有 ，解得 < a< 2，又 a> 1，所以 1< a< 2，Δ=16a2-8 5a-2 <0 2
綜上所述，實數 a 0, 2的取值范圍是 ∪ 1,2 5
四、解答題：本題共 5小題，共 77分．
15. (13分)在△ABC中，內角A、 B、C的對邊分別為 a、 b、 c，且 b2+ c2- a2= bc．
(1)求 cosA的值；
(2)若△ABC是銳角三角形， a= 3，求 b+ c的取值范圍．
1
【答案】 1 ； 2 3,2 3
2
【解析】(1)因為 b2+ c2- a2= bc，
b2+c2-a2
由余弦定理可得 cosA= = bc = 1 ． 5分
2bc 2bc 2
(2)因為 cosA= 1 ，A∈ 0,π π ，則A= ，
2 3
b = c = a由正弦定理可得 = 2，
sinB sinC sinA
所以， b+ c= 2sinB+ 2sinC= 2sinB+ 2sin A+B = 2sinB+ 2sin B+ π3
= 2sinB+ sinB+ 3cosB= 3sinB+ 3cosB= 2 3sin B+ π ， 9分6
0π
ΔABC 2 π 0π 6 2
3 2
第6頁，共11頁
π
所以， 故 b+ c= 2 3sin B+ π ∈ 3,2 3 ．6
即 b+ c的取值范圍是 3,2 3 ． 13分
16. ( 15 分 ) 如圖，在四棱錐 P - ABCD 中，平面 PDC ⊥ 平面 ABCD， AD ⊥ DC，
AB DC AB= 1， CD=AD= 1，M為棱PC的中點． P
2
(1)證明：BM 平面PAD； M
(2)若PC= 5，PD= 1，求二面角P-BM-D的余弦值； D C
2
【答案】 1 證明見解析； 2 A B
3
【解析】(1)取PD的中點N，連接AN，MN，如圖所示：
∵M為棱PC的中點，
P
∴MN CD MN= 1， CD 1，∵AB CD，AB= CD，
2 2 M
∴AB MN，AB= NMN，
D C
∴四邊形ABMN是平行四邊形，∴BM AN，
A
又BM B平面PAD，MN 平面PAD，
∴BM 平面PAD； 6分
(2) ∵PC= 5，PD= 1，CD= 2，
∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，
PD 平面PDC，
∴PD⊥平面ABCD，
又AD，CD 平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD，由AD⊥DC， 8分
∴以點D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為 x， y， z軸建立空間直角坐標系，
如圖：則P 0,0,1 ，D 0,0,0 ，A 1,0,0 ， z
1 PC 0,2,0 ，M 0,1, ，B 1,1,0 ，2 M

故DM = 0,1, 1 ，DB= 1,1,0 D C2 A y
設平面BDM的一個法向量為n= x,y,z ， x B
n

DM=y+
1 z=0
則 2 ，令 z= 2，則 y=-1， x= 1

，∴n= 1,-1,2 ， 10分
n DB=x+y=0
平面PBM的一個法向量為m= a,b,c ，

PM = 0,1,- 1 ，PB= 1,1,-1 2

m PM=b-
1 c=0
則 2 ，令 c= 2，則 b= 1， a= 1，故m= 1,1,2 ， 12分m PB=a+b-c=0
第7頁，共11頁
∴ cos n,m = n m = 4 = 2 ，
n m 6× 6 3
由于二面角P-BM-D的平面角為銳角，故二面角P-BM-D 2的余弦值為 ； 15分
3
x2 2
17. (15分) y橢圓C： + = 1 a>b>0 ， F1， F2分別是橢圓C的左、右焦點，P是橢圓
a2 b2
3
上任意一點，△PF1F2的周長為 4+ 2 3，橢圓C的離心率為 ．2
(1)求橢圓C的標準方程．
(2)過點Q -3,0 作直線 l與橢圓C交于M，N兩點．
6
1 若直線 l的斜率為 ，求ΔF2MN的面積；6
2 橢圓C的左、右頂點分別為A，B，連接AN與BM，求直線AN與BM交點的軌跡方
程．
2
【答案】(1) x + y2= 1 3+ 3 4； 2 1 ； 2 x=-
4 5 3
2a+2c=4+2 3,
【解析】(1)由題意知 c 3a = 2 ,
a2-b2=c2
解得 a= 2， c= 3， b= 1，
x2∴橢圓C的方程為 + y2= 1． 5分
4
(2)如圖，設M x1,y1 ，N x2,y2 ，
F2 3,
y
0 ，A -2,0 ，B 2,0 ． N
x
2
+y2=1, M
設 l： x= ty- 3，聯立 4 Q A F1 O F2 B xx-ty+3=0,
得 4+t2 y- 6ty+ 5= 0 6t，∴ y1+ y2= ， y1y2= 5 ． 6分
4+t2 4+t2
①S 1 3+ 3△F2MN=S△QF N-S△QFM= QF2 y2 - y1 = y2-y1 y1y2>0 ，2 2 2 2
2
∴ y1-y2 = y1+y 22 -4y1y = 16t -802 ．
4+t2
∵ t= 6，
∴S = 3+ 3△MF N ； 10分2 5
l y= y2 + yx 2 l y= 1②設 AN： + ， ：x BM2 2 x1-
x-2 ，
2
∴ y2 + = y1 y x -2 y x -2y+ x 2 - x-2
x-2
+ =
2 1 2 1 2
+ × = + ， 12分x2 2 x1 2 x 2 x2 2 y1 x2y1 2y1
∵ y2x1-2y2
y2 ty1-3 -2y= 2 = ty1y2-5y2 ，
x2y1+2y1 y1 ty2-3 +2y1 ty1y2-y1
y2y1 = 5由 ，得 ty y = 5 y +y ，
y2+y1 6t 1 2 6 1 2
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5 y - 25x-2 6 1 6 y2∴ = =-5 ∴ x=- 4， ．
x+2 5 y - 1 y 36 2 6 1
4
故交點的軌跡方程為 x=- ． 15分
3
18. (17分)已知函數 f x = x2- alnx- 1 a∈R ．
(1)若 f x 的圖象在 x= 1處的切線方程為 3x- y+ b= 0，求 a， b的值；
(2)討論 f x 的零點的個數；
(3) a= 2 f x + 1 - x-1若 ，證明： > 0.
e2 ex
【答案】 1 a=-1， b=-3；
2 當 a≤ 0或 a= 2時， f x 僅有一個零點；當 0< a< 2或 a> 2時， f x 有兩個零點；
3 證明見解析.
【解析】(1) a由題意得 f x = 2x- ，
x
又 f x 的圖象在 x= 1處的切線方程為 3x- y+ b= 0，
所以 f 1 = 2- a = 3，解得 a=-1，
1
所以 f x = x2+ lnx- 1，所以 f 1 = 0，即 3+ b= 0，解得 b=-3． 5分
(2)由題意得 f x 的定義域為 0,+∞ ， f a x = 2x- ，
x
當 a≤ 0時， f x > 0， f x 在 0,+∞ 上單調遞增，
又 f 1 = 0，所以 f x 有且僅有一個零點； 6分
當 0< a< 2時，令 f x = 0，解得 x= a < 1，2
易知在 0, a 上， f x < 0，則 f x 在 0, a 上單調遞減，2 2
在 a ,+∞ 上， f x > 0，則 f x 在 a ,+∞ 上單調遞增，2 2
a - 1 - 2又 f < f 1 = 0， f2 e a = e a > 0，
所以 f x 在 0, a 上有一個零點， f x 在 a ,+∞ 上有一個零點，2 2
所以 f x 在 0, a ， a ,+∞ 上各有一個零點； 8分2 2
當 a= 2時，令 f x = 0，解得 x= 1，
易知在 (0,1)上， f x < 0，則 f x 在 (0,1)上單調遞減，
在 1,+∞ 上， f x > 0，則 f x 在 1,+∞ 上單調遞增，
故 f x 的最小值為 f 1 = 0，故 f x 僅有一個零點； 9分
當 a> 2時，令 f x = 0，解得 x= a > 1，2
易知在 0, a 上， f x < 0，則 f x 在 0, a 上單調遞減，且 f2 2 1 = 0，
所以 f x 在 0, a 上有一個零點，2
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在 a ,+∞ 上， f x > 0，則 f2 x 在
a ,+∞ 上單調遞增，2
又 f a2 < f 1 = 0， f ea = ea
2 - 1- a2> a+1 2 - 1- a2= 2a> 0，
所以 f x 在 a ,+∞ 上有一個零點，2
故 f x 在 0, a ， a ,+∞ 上各有一個零點．2 2
綜上，當 a≤ 0或 a= 2時， f x 僅有一個零點；
當 0< a< 2或 a> 2時， f x 有兩個零點． 12分
(2)證明：若 a= 2，則 f x = x2- 2lnx- 1，
2 2 x-1= - =
x+1
所以 f x 2x ，
x x
令 f x > 0，解得 x> 1，令 f x < 0，解得 0< x< 1，
所以 f x 在 (0,1)上單調遞減，在 1,+∞ 上單調遞增，
所以 f x min= f 1 = 0，所以 f x ≥ 0， 14分
當且僅當 x= 1時，等號成立；
x-1 1 ex- x-1 ex
令 g x = - ， x> 0，所以 g x = = 2-x ，
ex e2 ex 2 ex
令 g x > 0，解得 0< x< 2，令 g x < 0，解得 x> 2，
所以 g x 在 (0,2)上單調遞增，在 2,+∞ 上單調遞減，
所以 g x max= g 2 = 0，所以 g x ≤ 0，當且僅當 x= 2時，等號成立，
1 x-1
所以 f x > g x ，即 f x + - > 0． 17分
e2 ex
19. (17分)甲乙兩人各有 n n∈N* 張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有
數字 1， 3， 5， ， 2n- 1，乙的卡片上分別標有數字 2， 4， 6， ， 2n．兩人進行 n輪
比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選擇一張，并比較所選卡片上的
數字大小，數字大的得 1分，數字小的得 0分，然后各自棄置此輪所選卡片 (棄置的卡片在
此后的輪次中不能使用)，設n輪比賽后甲的總得分為X．
(1)當n= 2， 3， 4， 5時，請寫出n輪比賽后X的分布列 (不需要計算過程，不需要列表)；
(2) a設數列 a nn 滿足： ! =P X=n-2 n≥2 ，且已知 a6= 57， a7= 120， a8= 247， an 9
= 502．
i 當n≥ 2時，請你直接獵想 an與 an+1的遞推關系式 (不要推理過程，直接給出答案)；
(ii)結合 (i)中的遞推關系，請你求出n輪比賽后甲的總得分X不低于n- 2的概率．
【答案】(1)見解析；
n
2 (i)an+1= 2an+n n≥2,n∈N* 2 -n ii P X≥n-2 = ! n≥2,n∈N
*
n
【解析】(1)n= 2時，P X=0 = 1 !，P X=1 =
1
! 2分2 2
n= 3 P 1 4 1時 X=0 = !，P X=1 = !，P X=2 = !； 4分3 3 3
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n= 4 P 1 11 11 1時 X=0 = !，P X=1 = ! ，P X=2 = ! ，P X=3 = ! 6分4 4 4 4
n= 5時P X=0 = 1 26 66 26!，P X=1 = ，P X=2 = ，P X=3 = ，5 5! 5! 5!
P X=4 = 1 ! (8分)5
i 規律從 n= 1開始每一類情況下所有概率的分子以“三角形”的形式列出來，剛好得到
了一個“歐拉三角” (與楊輝三角形類似)
(歐拉三角不影響得分，僅供找規律參考)
當n≥ 2時， a2= 1， a3= 4， a4= 11， a5= 26， a6= 57， a7= 120， a8= 247， a9= 502
猜想 an+1= 2an+n n≥2,n∈N* 13分
ii 當n≥ 2時P X=n-1 = 1!；遞推關系 an+1= 2an+nn
變形為 an+1+n+ 2= 2 an+n+1 ，
于是數列 an+n+1 從第二項起成等比數列，
所以 an+n+ 1= 2n， a = 2nn -n- 1 n≥2,n∈N * ，
n
因此P X=n-2 = 2 -n-1 ! ，n
n
于是P X≥n-2 = 2 -n! n≥2,n∈N
* 17分
n
第11頁，共11頁

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