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天津市河?xùn)|區(qū)2025屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本大題共9小題，共45分。
1.設(shè)集合，則( )
A. B. C. D.
2.若，則“”是“”成立的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既非充分又非必要條件
3.函數(shù)的圖象大致為( )
A. B.
C. D.
4.某校根據(jù)學(xué)生情況將物理考試成績進行賦分，目的是為了更好地對新高考改革中不同選科學(xué)生的考試成績進行橫向?qū)Ρ?，?jīng)過對全校名學(xué)生的成績統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這些同學(xué)物理成績大于等于分的人數(shù)為( )
A. B. C. D.
5.已知，，，則這三個數(shù)的大小順序是( )
A. B. C. D.
6.如圖，正三棱柱的底面邊長為，高為，已知為棱的中點，分別在棱上，，記四棱錐，三棱錐與三棱錐的體積分別為，則( )
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)，則下列說法中，正確的是( )
A. 的最小值為
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 的最小正周期為
D. 的圖象可由的圖象向右平移個單位得到
8.拋物線：的焦點是雙曲線：的右焦點，點是曲線，的交點，點在拋物線的準(zhǔn)線上，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為．
A. B. C. D.
9.已知且，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共6小題，共30分。
10.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為
11.在的展開式中，的系數(shù)是 ．
12.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點，且，則的值為 ．
13.某廠產(chǎn)品有的產(chǎn)品不需要調(diào)試就可以出廠上市，另的產(chǎn)品經(jīng)過調(diào)試以后有能出廠，則該廠產(chǎn)品能出廠的概率 ；任取一出廠產(chǎn)品，求未經(jīng)調(diào)試的概率 ．
14.在等腰梯形中，，是腰的中點，則的值為 ；若是腰上的動點，則的最小值為 ．
15.已知函數(shù)，若有三個不等零點，則實數(shù)的取值范圍是 ．
三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.的內(nèi)角的對邊分別為，已知，．
求；
若，求．
17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為中點，點在線段上，且．
求證：平面；
求直線與平面所成角的正弦值；
求平面與平面所成角的正弦值．
18.已知橢圓一個頂點，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．
求橢圓的方程；
過點的直線斜率為，與橢圓交于不同的兩點，，直線，分別與直線交交于點，，當(dāng)時，求的取值范圍．
19.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，．
求和的通項公式；
設(shè)數(shù)列的前項和記，求；
求．
20.已知函數(shù)與為函數(shù)的極值點．
求的值；
求在點處的切線方程；
若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.或
11.
12.
13.

14.

15.
16.解：
因為，由余弦定理有：，所以；
因為，由正弦定理得：，所以，
所以．
因為，所以，
，
．

17.解：
證明：如圖，以為原點，分別以，為軸，軸，過作平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，得，，，
所以，，即，，又，所以平面；
解：由可是，
由，可得，所以，
設(shè)為平面的法向量，
則不妨設(shè)，則，故，
設(shè)直線與平面所成角為，所以，
則直線與平面所成角的正弦值為；
解：因為為平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，
所以，所以則二面角的正弦值為．

18.解：
因為橢圓過，故，
因為四個頂點圍成的四邊形的面積為，故，即，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
設(shè)，
因為直線的斜率存在，故，
故直線，令，則，同理．
直線，由可得，
故，解得或．
又，故，所以
又
故即，
綜上，或．
19.解：
設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，公比大于，其前項和為．
已知，所以，解得，則，
由于，所以，，解得，則．
由知：，所以，
所以．
【小問詳解】
由得，設(shè)，
所以，，
得：，
整理得．

20.解：
由題意可為，的定義域為
因為在處取得極值，所以，解，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，
經(jīng)檢驗，符合題意，
所以．
所以切線方程為．
．
若恒成立，則，
由，
因為，所以，
令，則，
令，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因為，，
所以存在唯一，使得，
即，即
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為，則，，由，
則，所以，
當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，
則，
所以實數(shù)的取值范圍為

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