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2025高考數學三輪沖刺-“8+3+3”小題速練(9)
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．在一組樣本數據、、、、、、、不全相等）的散點圖中，若所有的樣本點都在直線上，則這組樣本數據的相關系數為（ ）
A. B. C. D.
2．若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（ ）
A. 6 B. 或 C. D. 或
3．最早的測雨器記載見于南宋數學家秦九韶所著的《數書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.如圖“竹器驗雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數據如圖（注意：單位），則平地降雪厚度的近似值為（ ）
A. B. C. D.
4．設，若，則（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5．某校高三年級800名學生在高三的一次考試中數學成績近似服從正態分布，若某學生數學成績為102分，則該學生數學成績的年級排名大約是（ ）
（附：，，）
A. 第18名 B. 第127名 C. 第245名 D. 第546名
6．聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復合音．若一個復合音的數學模型是函數，則下列結論正確的是（ ）
A. 的一個周期為 B. 的最大值為
C. 的圖象關于直線對稱 D. 在區間上有3個零點
7．已知球的直徑為是球面上兩點，且，則三棱錐的體積（ ）
A. B. C. D.
8．幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大．”如圖，其結論是：點為過兩點且和射線相切的圓與射線的切點．根據以上結論解決以下問題：在平面直角坐標系xoy中，給定兩點，點在軸上移動，當取最大值時，點的橫坐標是（ ）
A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 1或3
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知復數，，，則（ ）
A. B. 的實部依次成等比數列
C. D. 的虛部依次成等差數列
10．已知為坐標原點，點為拋物線：焦點，點，直線：交拋物線于，兩點（不與點重合），則以下說法正確的是（ ）
A.
B. 存在實數，使得
C. 若，則
D. 若直線與的傾斜角互補，則
11．已知函數定義域為R，滿足，當時， .若函數的圖象與函數的圖象的交點為，，，(其中表示不超過的最大整數)，則（ ）
是偶函數 B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．設集合，，則___________.
13.函數，若，則的最小值為___________.
14.已知反比例函數圖象上三點的坐標分別，與，過B作直線的垂線，垂足為Q.若恒成立，則a的取值范圍為___________
參考答案與詳細解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．【答案】C
【解析】因為所有樣本點都在直線上，所以相關系數滿足.
又因為，所以，所以.
故選：C.
2．【答案】D
【解析】當焦點在軸時，由，解得，符合題意，此時橢圓的長軸長為；
當焦點在軸時，由，解得，符合題意，此時橢圓的長軸長為．
故選：D．
3．【答案】C
【解析】如圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為，
所以平地降雪厚度的近似值為.
故選：C
4．【答案】A
【解析】展開式第項，
∵，∴，
∴.
故選：A.
5．【答案】B
【解析】因為成績近似服從正態分布,，則，
且，
所以，
因此該校數學成績不低于102分的人數即年級排名大約是．
故選：B．
6．【答案】D
【解析】A.，故A錯誤；
B.，當，時，取得最大值1，，當，時，即，時，取得最大值，所以兩個函數不可能同時取得最大值，所以的最大值不是，故B錯誤；
C.，所以函數的圖象不關于直線對稱，故C錯誤；
D.，即，，
即或，解得：，
所以函數在區間上有3個零點，故D正確.
故選：D
7．【答案】C
【解析】由題意可知為正三角形，設其外接圓圓心為M，半徑為r，
則，且平面，
所以，故C到平面的距離為，
所以三棱錐的體積為.
故選：C
8．【答案】A
【解析】由題意知，點為過，兩點且和軸相切的圓與軸的切點，
已知，則線段的中點坐標為，直線斜率為，
線段的垂直平分線方程為，即.
所以以線段為弦的圓的圓心在直線上，
所以可設圓心坐標為，
又因為圓與軸相切，所以圓的半徑，又因為，
所以，解得或，
即切點分別為和，兩圓半徑分別為.
由于圓上以線段（定長）為弦所對的圓周角會隨著半徑增大而圓周角角度減小，
且過點的圓的半徑比過的圓的半徑大，
所以，故點為所求，
所以當取最大值時，點的橫坐標是.
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．【答案】ABC
【解析】因為，，所以，所以，故A正確；
因為，，的實部分別為1，3，9，所以，，的實部依次成等比數列，故B正確；
因為，，的虛部分別為，，1，所以，，的虛部依次不成等差數列，故D錯誤；
，故C正確.
故選：ABC.
10．【答案】ACD
【解析】由已知，拋物線：，∴，，焦點，
不妨設為，，設，到準線的距離分別為，，
對于A，∵由標準方程知，拋物線頂點在原點，開口向右，，
∴由拋物線的定義，故選項A正確；
對于B，消去，化簡得（），
則，，∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
∴不存在實數，使得，選項B錯誤；
對于C，，，
∵，∴，∴
又∵由選項B判斷過程知，，
∴解得，，或，，，
∴若，則，選項C正確；
對于D，由題意，，，，，
直線與的傾斜角互補時，斜率均存在，且，
∴，代入，，化簡得，
由選項B的判斷知，，
∴，∴，故選項D正確.
故選：ACD.
11．【答案】BC
【解析】函數，顯然，而，即，因此不是偶函數，A錯誤；
函數定義域為，滿足，當時，，
當時，，，
當時，，，
當時，，，
當時，，，
因此當時，函數在上遞減，
在上遞增，當時，取得最大值，
當時，，，
當時，，，
當時，，，
因此當時，函數，
在同一坐標平面內作出函數的部分圖象，如圖，
當時，函數的圖象有唯一公共點，
因為，因此，，而滿足的整數有個，即，B正確；
顯然，
所以，C正確；
，數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，D錯誤.
故選：BC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．【答案】
【解析】在中，由得，即，
又由可得：，解得：，即，
故.
故答案為：
13.【答案】
【解析】因為的定義域為，
，所以在為增函數，
，所以，
又，在為增函數，所以，即，
因為，，當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：
14.【答案】
【解析】由題意得：反比例函數為，因為點P在反比例函數圖象上，所以，，所以
，
記，由題意得：恒成立，
當，則，解得：，由于，故；
下面證明當時，恒成立，即
因為是開口向上的二次函數，
所以
；
②，
令，則，開口向下，對稱軸為，故在上單調遞減，故.
所以當時，恒成立，故a的取值范圍是
故答案為：

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