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2025高考數(shù)學三輪沖刺-“8+3+3”小題速練(8)
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．某地有8個快遞收件點，在某天接收到的快遞個數(shù)分別為360，284，290，300，188，240，260，288，則這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為75的快遞個數(shù)為（ ）
A. 290 B. 295 C. 300 D. 330
2．若集合，，則（ ）
A. B. C. D.
3．設(shè)函數(shù)，數(shù)列，滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
4．拋物線的焦點為F，且拋物線C與橢圓在第一象限的交點為A，若軸，則（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
5．某單位計劃從5人中選4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排兩人，則安排方法數(shù)為（ ）
A. 30 B. 60 C. 120 D. 180
6．已知是的重心，是空間中的一點，滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
7．已知，，則（ ）
A. B. C. D.
8．已知O為坐標原點，雙曲線C:的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，點是C的右支上異于頂點的一點，過F2作的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點T滿足，則點T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．下列命題正確的是（ ）
A. 若兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較強
B. 若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8
C. 已知互不相同的30個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)
D. 某人解答5個問題，答對題數(shù)為，若，則
10．設(shè)復數(shù)的共軛復數(shù)為，為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則的最小值是
11．設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在，使得，則稱是函數(shù)的二階不動點.下列各函數(shù)中，有且僅有一個二階不動點的函數(shù)是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
13.已知四面體，其中，，，為的中點，則直線與所成角的余弦值為__________；四面體外接球的表面積為__________．
14.如圖，對于曲線G所在平面內(nèi)的點O，若存在以O(shè)為頂點的角，使得對于曲線G上的任意兩個不同的點恒有成立，則稱角為曲線G的相對于點O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對于點O的“確界角”.已知曲線C：（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），點O為坐標原點，曲線C的相對于點O的“確界角”為，則____________.
參考答案與詳細解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．【答案】B
【解析】將數(shù)據(jù)從小到大排序為：188，240，260，284，288， 290，300，360，
，所以分位數(shù)為.
故選：B
2．【答案】D
【解析】因為，所以定義域為，
所以，即，
所以.
故選：D.
3．【答案】B
【解析】因為，所以，
又因為，所以，
令，解得，
故選：B.
4．【答案】C
【解析】由題設(shè)，且在第一象限，軸，則，
又在橢圓上，故，而，故.
故選：C
5．【解析】先從5人中選出4人值班，
再從4人中選出2人值第三天，剩余2人分別值第一、二天，
所以安排方法數(shù)為.
故選：B.
6．【答案】C
【解析】由題意知是的重心，則，即
所以，
又因為，
所以.
故選：C.
7．【答案】A
【解析】，.
，
，，
，，
又因為，所以，
則，所以
.
.
故選：A
8．【答案】A
【解析】
設(shè)半焦距為c，延長交于點N，由于PM是的平分線，，
所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中點.
根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點，
所以MO是的中位線，所以，
又雙曲線的離心率為，所以，，所以雙曲線C的方程為.
所以，，雙曲線C的漸近線方程為，
設(shè)，T到兩漸近線的距離之和為S，則，
由，即，
又T在上，則，即，解得，，
由，故，即距離之和為.
故選：A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．【答案】BCD
【解析】對于A，因為，即組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較弱，故A錯誤；
對于B，若樣本數(shù)據(jù)方差為，則數(shù)據(jù)的方差為，故B正確；
對于C，將這原來的30個數(shù)從小大大排列為，則，所以原來的22%分位數(shù)為，
若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，剩下28個數(shù)據(jù)為，則，所以剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為，
由于互不相同，所以C正確；
對于D，某人解答5個問題，答對題數(shù)為，若，則，故D正確.
故選：BCD.
10．【答案】ABD
【解析】設(shè)，
對于選項A：，所以，所以，故選項A正確；
對于選項B：，所以，即，故選項B正確；
對于選項C：，則，故選項C不正確；
對于選項D：即表示點到點
和到點的距離相等，所以復數(shù)對應(yīng)的點的軌跡為線段的垂直平分線，
因為中點為，，
所以的中垂線為，整理可得：，
所以表示點到的距離，
所以，故選項D正確，
故選：ABD.
11．【答案】ACD
【解析】若，稱為一階不動點，
顯然若，則滿足，故一階不動點顯然也是二階不動點，
若，則有，即都在函數(shù)的圖象上，
即上存在兩點關(guān)于對稱，此時這兩點的橫坐標也為二階不動點，
下證：當單調(diào)遞增時，一階不動點和二階不動點等價，
因為，若，因為單調(diào)遞增，所以，
即，矛盾，
若，因為單調(diào)遞增，所以，即，矛盾，
綜上：當單調(diào)遞增時，一階不動點和二階不動點等價；
由題意得：只需與直線的交點個數(shù)為1，
A選項，，解得：，有且僅有1個根，
畫出與的圖象，如下：
顯然上不存在兩點關(guān)于對稱，
綜上：有且僅有一個二階不動點，滿足要求，A正確；
B選項，令，定義域為，
顯然，
則均為的二階不動點，不滿足要求，B錯誤；
C選項，定義域為R，單調(diào)遞增，只需尋找一階不動點即可，
令，整理得：，
令，則，單調(diào)遞減，
再同一坐標系總畫出兩函數(shù)與圖象，如下：
兩函數(shù)只有1個交點，滿足要求，C正確；
D選項，令，
作出函數(shù)的圖象，
由圖可知，點與點關(guān)于直線對稱，
故函數(shù)滿足題意，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．【答案】
【解析】，
二項式通項公式為，
其中的展開式中無含項，含的項為，
∴中含的項為，則．解得．
故答案為：
13.【答案】 ①. ## ②.
【解析】在四面體中，，，，
將四面體補成長方體，
則，解得，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、，
所以，，，
則，
所以，直線與所成角的余弦值為，
長方體的體對角線長為，
所以，四面體外接球半徑為，故四面體外接球的表面積為.
故答案為：；.
14.【答案】1
【解析】函數(shù)，
因為，
所以該函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
過原點作的切線，設(shè)切點，
由，則切線的斜率為，
直線過，
∴，∴，
即，由函數(shù)與的圖象在有且只有一個交點，
且當時滿足方程，故方程有唯一解，則；
過原點作的切線，設(shè)切點，
由，得切線的斜率，
則切線過原點，
則有，∴，
則，則有，
∴兩切線垂直，曲線C相對于點O的“確界角”為，
則，.
故答案為：1.

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