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天津市河西區2025屆高三上學期期末質量調查數學試卷
一、單選題：本大題共9小題，共45分。
1.已知全集，則( )
A. B. C. D.
2.已知曲線，則“”是“曲線表示橢圓”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
3.已知，則的大小關系為( )
A. B. C. D.
4.某中學組織高中學生參加數學知識競賽，現從中隨機抽取名學生成績的頻率分布直方圖如圖所示，則這組樣本數據的分位數為( )
A. B. C. D.
5.已知函數為奇函數，一個周期為，則 的 解析式可能為( )
A. B. C. D.
6.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法中正確的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
7.已知函數的定義域為是偶函數，是奇函數，則( )
A. B. C. D.
8.已知雙曲線的虛軸長為為上一點，過點向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，則雙曲線的方程為( )
A. B. C. D.
9.如圖，在體積為的三棱錐中，分別為棱上的點，且，記為平面的交點，記三棱錐的體積為，則( )
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共6小題，共30分。
10.是虛數單位，復數滿足，則 ．
11.展開式中的常數項為 ．
12.已知點在拋物線上，過點作圓的切線，若切線長為，則點到的準線的距離為 ．
13.甲袋中有個白球個黑球，乙袋中有個白球個黑球若從兩個袋中分別隨機各取出一個球，則取出的是兩個白球的概率是 ；若先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機取出一球，則取出的是白球的概率是 ．
14.在中，為的中點，是以為圓心，為半徑的圓上的兩個動點，線段過點，則可用表示為 ；的最小值為 ．
15.若函數在上恰有個零點，則符合條件的的個數為 ．
三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.在中，內角所對的邊分別為，已知．
求角的大小；
設．
求的值；
求的值．
17.如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是直角梯形，，點在平面上的投影為線段的中點分別是線段的中點．
求證：平面；
求直線與平面所成角的正弦值；
求點到平面的距離．
18.已知橢圓的左、右頂點分別為，左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且．
求橢圓的方程；
設斜率不為的直線過點，與橢圓交于兩點，點分別為直線與軸的交點，記的面積分別為，求的值．
19.已知公差不為零的等差數列的前項和為成等比數列，．
求數列的通項公式及；
設，求的最小值，并求取得最小值時的值；
設其中，求．
20.已知函數的導函數為，為自然對數的底數．
當時，求函數在點處的切線的斜率；
若且函數在上是單調遞增函數，求的取值范圍；
若滿足，證明：．
參考答案
1.
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8.
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10.
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13. ． ．
14. ． ．
15.
16.【小問】
在中，由及正弦定理，得，
即，則，
由，得，又，
所以．
【小問】
由及余弦定理，得，
整理得，而，解得，
所以．
由正弦定理，得，
由，得，則，
因此，
所以．

17.【小問】
證明：點在平面上的投影為線段的中點平面，
四邊形是直角梯形，，
，且，
如圖，以為原點，分別以方向為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標系，
由題意可得，，
所以，，
設平面的一個法向量，
則，則
令，故，
，
平面，
平面．
【小問】
由，，
設平面的一個法向量，
則，則
令，則，所以，
設直線與平面所成角為，
，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
【小問】
設點到平面的距離為，由，
則，
所以點到平面的距離為．

18.【小問】
由點在橢圓上，且，
得，即，于是，解得，
所以橢圓的方程為．
【小問】
由知，設直線，
由消去得，，
直線的方程為，令，得點的縱坐標，
同理得點的縱坐標，又，
所以
．

19.【小問】
設等差數列的公差為，
由題意得，解得
故數列的通項公式，．
【小問】
由得，
當且僅當，即時，等號成立，
，當時，；當時，，
所以當時，取得最小值．
【小問】
當時，，
當時，，可知數列是等差數列，
，
．

20.【小問】
當時，，
，
所以函數在點處的切線的斜率為．
【小問】
當時，，
因為在上是單調遞增函數，所以在上恒成立，
令，則，
當時，，
令，所以在上遞增，
即，所以在上恒成立，符合題意；
當時，，且在為單調遞增函數，
所以存在唯一使得，
所以當時，在遞減，
即，不符合題意；
綜上所述．
【小問】
證明：，
當時，由可知是增函數，所以，
設，
移項得，
由知，即，
所以，即，
設，
所以當時，，即，
所以當時，，即，
所以，
代入式中得到
即，所以，
即命題得證．

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