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山東省濟寧市2025屆度高三上學期1月期末質量檢測
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知復數滿足，則在復平面內對應的點位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
4.已知函數的值域為，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5.已知函數且，若將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，再將函數的圖象向下平移個單位長度，所得圖象與的圖象重合，則實數( )
A. B. C. D.
6.若，且，則的最小值為( )
A. B. C. D.
7.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過且斜率為的直線交的右支于點，且，則的離心率等于( )
A. B. C. D.
8.已知函數的定義域為，且，為奇函數，，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是( )
A.
B. 在上單調遞增
C. 在上有兩個極值點
D. 點是曲線的一個對稱中心
10.已知，記數列的前項和為，且，則下列說法正確的是( )
A. B. C. D.
11.已知正方體的棱長為，為棱的中點，則( )
A. 直線與所成的角為
B. 平面
C. 過點且與垂直的平面截正方體所得截面的面積為
D. 以為球心，為半徑的球面與側面的交線的長度為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知點在拋物線：上，則點到拋物線的準線的距離是 ．
13.已知，則 ．
14.已知點，點在曲線上，則其中為坐標原點的最大值是 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在中，角，，的對邊分別為，，，已知．
求證：；
若，，求的面積．
16.本小題分
已知數列滿足，，記．
證明：數列是等差數列；
記，求數列的前項和．
17.本小題分
如圖，在正三棱柱中，為棱的中點，．
證明：平面；
若直線到平面的距離等于，求平面與平面夾角的余弦值．
18.本小題分
已知函數，．
討論函數零點的個數；
若，求的最大值．
19.本小題分
在平面直角坐標系中，對于給定的點集，，若中的每個點在中都存在點使得兩點間的距離最小，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為已知橢圓：的離心率為，其短軸上的點的集合記為，橢圓上的點的集合記為，且．
求橢圓的方程；
已知直線與橢圓相切，且與圓：交于，兩點，線段上的點的集合記為，圓上的點的集合記為．
若點為圓上的一個動點，當的面積最大時，求；
求的值．
參考答案
1.
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8.
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10.
11.
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13.
14.
15.【小問詳解】
在中，由余弦定理得，
即，整理得，
由正弦定理得，整理得，
所以．
【小問詳解】
由知，，
由余弦定理得，即，解得，，
所以的面積為．

16.【小問詳解】
因為
，
所以數列是以為公差的等差數列．
【小問詳解】
因為，所以，
所以，
所以，
所以
．

17.【小問詳解】
證明：連接交于點，則為的中點，連接
為棱的中點
又平面，平面，
所以平面
【小問詳解】
方法一為棱的中點，
直線到平面的距離即為點到平面的距離，
點到平面的距離等于
設，則，，，
，
過點作，則平面，
如圖所示，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，，
所以，，，
設平面的法向量為
則，即
令，則，，
所以平面的一個法向量，
設平面的法向量為，
則，即
令，則，，
所以平面的一個法向量，
所以
所以平面與平面夾角的余弦值為
方法二過點作，則平面，如圖所示，
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
設，則，
所以，，，，
所以，，，，，
設平面的法向量為，
則，即
令，則，，
所以平面 的 一個法向量，
所以點到平面的距離，
平面的一個法向量
設平面的法向量為，
則，即
令，則，，
所以平面的一個法向量，
所以，
所以，平面與平面夾角的余弦值為

18.【小問詳解】
因為，，
當時，，所以的零點個數為；
當時，由得，
令，則，
當或時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
當時，；當時，，，，
作出的大致圖象，如圖，
所以當，即時，與的圖象沒有交點；
當，即時，與的圖象有個交點；
當，即時，與的圖象有個交點；
當，即時，與的圖象有個交點；
綜上，當時，函數有個零點；當時，函數有個零點；
當時，函數有個零點；當時，函數有個零點．
【小問詳解】
因為，所以，
因為，則，
令，則，
當時，由與的性質可知，
當時，，，
所以不恒成立，不符合題意；
當時，，只需，所以；
當時，則當時，，此時單調遞增；
當時，，此時單調遞減，
所以，即，
所以，
令，，則，
易知當時，，此時單調遞增，
當時，，此時單調遞減，
所以，所以，
當且僅當，時，，
所以的最大值為．

19.【小問詳解】
由題目條件，可得，
又因為離心率為，所以，
所以，，
所以橢圓的方程為．
【小問詳解】
設圓心到直線的距離為．
當直線的斜率存在時，設的方程為，
聯立消去得，
由直線與橢圓相切，得，
整理得，
則，
，，，即
則的面積為
，
設，
則，
當時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減；
因此當時，取得最大值，此時的最大值為，
當直線的斜率不存在時，
由可知，直線的方程為，
聯立，可求得，
，
由于，所以的面積最大時，．
對于線段上任意點，連接并延長與圓交于點，
則是圓上與最近的點，
當為線段的中點時，取得最大值，所以．
對于線段上任意點，連接并延長與圓交于點，
則是圓上與距離最近的點，
當為線段的中點時，取得最大值，所以，
對于圓上任意點，由向線段引垂線，垂足為，
當在線段上時，則是線段上與距離最近的點，
當不在線段上時，則線段上的點與點距離最近的點的距離小于，
所以當經過圓心時，取得最大值，
所以；
所以．

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