資源簡介

基本不等式
一、教材分析
本節(jié)課內(nèi)容為“基本不等式 ”，選自人民教育出版社 A 版普通高中數(shù)學教科書必修第一 冊第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》第 2 節(jié)。“基本不等式 ”重點研究基本不等式的 證明，并且將之應(yīng)用于證明、最值問題，是理論數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學結(jié)合的良好典范，體現(xiàn)了新 課標所要求的培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神及數(shù)學應(yīng)用的意識。本節(jié)內(nèi)容一定程度上是不等關(guān)系與相等 關(guān)系的運用，也是系統(tǒng)學習不等式證明的基礎(chǔ)，基本不等式在證明其他不等式的過程中起到 了重要的橋梁作用。
二、學情分析
學生已經(jīng)學習了不等式及不等式的性質(zhì)，能夠進行簡單的數(shù)與式的比較，對于基本不 等式的學習是比較容易的；但是，要真正地理解基本不等式，并能夠結(jié)合幾何中的實例，學 會分析問題、解決問題是學生需要突破的一個難點。
三、教學目標
（1）通過生活實例、代數(shù)證明、幾何意義等環(huán)節(jié)，感知基本不等式的形成過程；讓學 生經(jīng)歷基本不等式的發(fā)現(xiàn)、探究與證明的過程，培養(yǎng)觀察、分析、歸納、推理能力。
（2）理解基本不等式的形式及其等號成立的條件，從幾何角度對基本不等式進行探究， 理解、建立基本不等式求最值的模型。
（3）掌握基本不等式求最值的基本原理，感受數(shù)學公式的簡潔美，體會數(shù)學的應(yīng)用價 值，培養(yǎng)學生的邏輯推理、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)。
四、教學重點、難點
重點：經(jīng)歷基本不等式的證明過程，理解與運用基本不等式。
難點：理解基本不等式的形成過程。
五、課型課時、教學準備
1. 課型：新授課；
2. 課時：1 課時
3. 教學準備：多媒體、實物投影、展臺等.
六、教學流程圖
(
創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)問題
)
↓
合作交流，生成新知
↓
(
師生共探，證明新知
)
↓
運用新知，解決問題
(
↓
)
當堂檢測，鞏固新知
↓
(
反思小結(jié)，觀點提煉
)
2 分鐘
8 分鐘
10 分鐘
15 分鐘
5 分鐘
5 分鐘
七、教學內(nèi)容及過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)新知
【地主分地的故事】地主家有兩個兒子，為了分家產(chǎn)，他分給大兒子一塊長方形的地，分給 小兒子一塊正方形的地，這兩塊地的周長相同。問：這樣分家公平嗎？
設(shè)計意圖：通過生動有趣的小故事，渲染課堂氣氛，調(diào)動學生學習的積極性，同時引出課 題。
（二）合作交流，生成新知
問題 1. 上一節(jié)我們通過趙爽的弦圖得出了一個 重要不等式：a2 + b2 ≥ 2ab(a ,b ∈ R) ，當且僅當 a = b 時，等號成立。那么，當 a>0,b>0 時，我們
用 · 、 ·分別代替上式中的 a ，b ，上述不等關(guān)系變?yōu)槭裁矗?br/>師生活動：老師提出問題 1 讓學生思考，學生演算后讓學生口頭回答，老師再給出基本不等
式的概念，接著老師引導學生分析基本不等式的結(jié)構(gòu)特征，給出算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的 概念。
追問 1. 如何用一句話概括基本不等式表達的意義？
學生：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 追問 2. 為何規(guī)定 a>0，b>0 ？
師生活動：學生小組討論后回答，老師予以補充說明。 追問 3. 等號在什么情況下成立？
學生：當且僅當a=b 時等號成立。
追問 4. 如何理解“當且僅當 ”的意義？
師生活動：學生口頭回答后，老師予以補充說明。
設(shè)計意圖：通過對基本不等式結(jié)構(gòu)特征的解讀，讓學生加深對基本不等式的記憶和理解， 同時強調(diào)基本不等式應(yīng)用的前提及等號成立的條件，為后續(xù)應(yīng)用基本不等式求最值做鋪墊。
（三）師生共探，證明新知
問題 2. 我們從趙爽弦圖得到了重要不等式，又通過代換得到了基本不等式。數(shù)學講究嚴謹 性，請同學們想一想，可以用什么方法證明基本不等式呢？
追問 1. 基本不等式實質(zhì)上就是比較大小，以前學習的比較大小的方法都有哪些 你會用這些 方法證明基本不等式嗎？
師生活動：
學生：作差法
教師：請大家拿出演草紙，嘗試用作差法證明。
學生：在紙上演算。
教師：PPT 展示答案。
學生：在學案上整理證明過程。
追問 2. 除了以上的方法，你還能用其它的方法證明嗎？ 學生：作商法
教師：很好。關(guān)于作商法證明，請大家在課后嘗試一下，看看這道題用作商法證明方便 嗎？下面，我給出一種證明方法。我們可以從要證明的結(jié)論出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)，逐步 尋找使得結(jié)論成立的條件。（PPT 展示證明過程）
教師：我們把這種證明方法稱為分析法。
追問 3. 分析法事實上就是尋找結(jié)論成立的什么條件？
學生：充分條件。
教師：不錯！分析法的實質(zhì)就是從結(jié)論出發(fā)，逐步探尋使得結(jié)論成立的充分條件，因此分析 法也稱為執(zhí)果索因法。
問題 3. 以上的方法都是從代數(shù)的角度證明的，你能從幾何的角度解釋基本不等式嗎？ 師生活動：
教師：因為這個問題稍微困難些，我給大家提示一下（PPT 展示如下：）
學生：先獨立思考，然后小組交流合作，討論。
教師：現(xiàn)在請一個組同學來回答一下你們組的討論結(jié)果。 學生：上講臺展示小組討論的結(jié)果。
教師：非常不錯！給他掌聲。
追問 1. 在什么情況下OD 與 CD 的長相等？ 學生：當 O 點與 C 點重合時。
追問 2. O 點與 C 點重合也即a 和 b 滿足什么條件時等號成立？
學生：當 a=b 時。 教師：非常不錯！
設(shè)計意圖：通過圓的半徑和半弦長之間的關(guān)系，讓學生理解基本不等式的幾何意義，加深 對知識的理解和掌握， 同時進一步強調(diào)了等號成立的條件，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng) 學生直觀想象的核心素養(yǎng)。
（四）運用新知，解決問題
問題 4. 同學們有沒有思考一下，我們?yōu)楹我獙W習基本不等式？它能幫助我們解決哪些問 題？
師生活動：
教師：首先，請大家看到學案上的例 1 ，請同學們拿出紙筆，嘗試解決。
例 1. 已知 x > 0 ，求 x + 的最小值，此時 x 等于多少？
學生：在紙上演算。
教師：投影展示學生答卷，并進行點評。 學生：在學案上整理解答過程。
追問 1. 怎么理解 5 就是 x + 的最小值？能否說 3 也是 x + 的最小值？
師生活動：
學生：獨立思考后口頭回答。
教師：對學生的回答進行補充說明。
設(shè)計意圖： 學生還未系統(tǒng)學習最大最小值的定義，如何讓學生明確 5 即是 x + 的最
小值是個難點， 因此老師需要下功夫突破這個難點，在知識應(yīng)用的同時，又創(chuàng)設(shè)出新的問 題情境，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識。這樣的設(shè)計，使得整個教學環(huán)環(huán)相扣，既 使得學生的思維得到不間斷的螺旋式上升，又提高了課堂效率。 同時也是培養(yǎng)學生數(shù)學抽 象，邏輯推理核心素養(yǎng)的一個很好的機會。
教師：接下來再請大家看到學案上的變式 1 ，先獨立思考，然后小組合作討論。
變式 1 ： 已知 x < 0 ，求 x + 的最大值，此時 x 等于多少？
學生：在紙上演算，碰到問題再討論。
教師：下面我們一塊來看一下這道題。（老師板演，給出規(guī)范的解答過程）
學生：在學案上整理解答過程。
追問 2. 通過例 1 和變式 1 ，大家想想基本不等式的主要作用是啥？使用時需要注意什么？
設(shè)計意圖：強調(diào)基本不等式求最值的要點：一正二定三相等。
追問 3. 請同學們繼續(xù)完成學案上的變式 2 ，有疑問的可以小組交流一下。
變式 2 ：已知x > 3 ， x + 4 有最小值嗎？請說明理由。
x
師生活動：
學生：在學案上演算。
教師：請一個同學口頭回答，并進行點評。
設(shè)計意圖：進一步強調(diào)等號成立的條件，加深學生印象。
教師：請同學們繼續(xù)做學案上的例 2 ，并歸納出一個一般性的結(jié)論。 例 2. 已知 x, y 都是正數(shù)，求證：
（1） 如果積 xy 等于定值P ，那么當 x = y 時，和 x + y 有最小值 2 ·P ；
（2） 如果和 x + y 等于定值 S ，那么當 x = y 時，積 xy 有最大值S2
師生活動：
學生：在學案上演算。
教師：投影展示學生答卷，并進行點評。
追問 1. 通過例 2 ，你能歸納出一個一般性的結(jié)論嗎？ 師生活動：
學生： 口頭回答。
教師：PPT 展示結(jié)論。
設(shè)計意圖：通過例 2 ，讓學生明確“和定積最大，積定和最小 ”的結(jié)論，為下一個問題做鋪 墊。
追問 2. 至此，你能回答課堂引入時那個小故事的問題了嗎？ 師生活動：
學生：因為田地的周長相同，相當于長和寬的和為定值，那么當長和寬相等也即田地為 正方形時，面積最大。
教師：非常好！給他點掌聲。
設(shè)計意圖：首尾呼應(yīng)，環(huán)環(huán)相扣，同時回歸主題。
（五）反思小結(jié)，觀點提煉
設(shè)計意圖：幫助學生回顧課堂的活動過程， 引導學生從基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方 法中總結(jié)，使其對本節(jié)課的學習有完整的認識，有利于學生知識結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，培養(yǎng)他們歸 納、概括的能力，從而提升學生的數(shù)學學習能力。
（六）當堂檢測，鞏固新知
1. 已知 x, y > 0
（1）如果xy = 2, 求 x + y 的最小值； （2）如果x + y = 2 ，求 xy 的最大值
(
2
1
)2. 當 x 取什么值時， x + 2 取到最小值？最小值是多少？
x
【作業(yè)布置】
（1）習題 2.2 A 組 1 、2；
（2）整理學案。
八、板書設(shè)計
基本不等式 1. 重要不等式： 例 1 a 2 + b 2 ≥ 2ab(a , b ∈ R ) 2. 基本不等式： 變式 1 3. 應(yīng)用：求最值 注意：一正，二定，三相等 小結(jié)
九、教學反思
本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學概念課，數(shù)學概念教學的本質(zhì)是引導學生感知概念的生成過程，讓學 生經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)、探究與證明的過程，培養(yǎng)觀察、分析、歸納、推理能力。本節(jié)課的設(shè)計 是以發(fā)展學生的核心素養(yǎng)為宗旨，遵循學生的認知規(guī)律，在探索的過程中滲透核心素養(yǎng)的培 養(yǎng)， 以學生的終身發(fā)展為目的，落實教學提質(zhì)增效。
在整個教學設(shè)計中，筆者通過“引導發(fā)現(xiàn)一問題探究一形成結(jié)論”的教學環(huán)節(jié)有效地滲透 核心素養(yǎng)，將數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學活動的全過程，落實“四基”，培養(yǎng)“四能”， 提高學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的整體水平，部分學生可以達到更高水平的要求，真正實現(xiàn)以學 生發(fā)展為本的教育理念。
不足之處：
（1）學生的主體地位體現(xiàn)得還不夠，提出問題后要給足學生思考的空間，讓學生自己去探 究，發(fā)現(xiàn)。
（2）設(shè)置開放性問題，讓學生去探究，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)。

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