資源簡介

課題：《點到直線的距離》
一、內容與內容解析
本節內容是“直線的方程 ”的最后一個內容，它是在研究了直線的方程和兩直線 的位置關系的基礎上，探索如何用坐標和方程來定量研究距離問題，既是對前面知識 體系的完善，又為后面研究直線與圓、圓與圓的位置關系奠定基礎。具有承上啟下的 作用。同時，教材通過讓學生經歷點到直線的距離公式的探究與應用過程，進一步體 會解析幾何的本質：用代數方法解決幾何問題。
二、 目標和目標解析
1、探索并掌握點到直線的距離公式，會求點到直線的距離。
2、經歷點到直線的距離公式的探究與應用過程，體驗用數形結合、轉化、函數 等數學思想來解決數學問題的方法，形成用代數方法解決幾何問題的能力；通過不同 形式的自主學習和探究活動，體驗數學發現和創造的歷程，提高抽象概括，分析總結， 數學表達等基本數學思維能力。
3、通過師生互動、生生互動的教學活動過程，形成學生的體驗性認識，體會成 功的愉悅，提高數學學習的興趣，樹立學好數學的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和 合作交流的科學態度。
重難點：
探索并掌握點到直線的距離公式，會求點到直線的距離。
三、教學過程分析
（一）情境設置，導入新課：
前面幾節課，我們一起研究學習了兩直線的平行或垂直的條件，兩直線的交點問 題，兩點間的距離公式。逐步熟悉了利用代數方法研究幾何問題的思想方法.這一節， 我們將研究怎樣由點的坐標和直線的方程直接求點P到直線l 的距離。
用 POWERPOINT 打出平面直角坐標系中兩直線，進行移動，使學生回顧兩直線的 位置關系，且在直線上取兩點，讓學生指出兩點間的距離公式，復習前面所學。要求 學生思考一個點到一條直線的距離如何計算？能否用兩點間距離公式進行推導？
（二）講解新課：
1．提出問題
在平面直角坐標系中，如果已知某點 P的坐標為(x0, y0 ) ，直線l : Ax + By + C = 0
當A = 0 或B = 0 時，怎樣用點的坐標和直線的方程直接求點P到直線l 的距離呢 當A ≠ 0 且B ≠ 0 時呢？學生可自由討論。
2.數行結合，分析問題，提出解決方案
學生已有了點到直線的距離的概念，即點P到直線l 的距離d是點P到直線l 的垂 線段的長，當A = 0 或B = 0 時，問題容易解決。
這里重點討論一般直線
定義法：根據定義，點 P 到直線 l 的距離是點P 到直線 l 的垂線段的長，如圖 1，設點
P 到直線l 的垂線為l ' ，垂足為 Q，由l 丄 l ' 可知 l ' 的斜率為 l ' 的方程：y — y0 = 與 l 聯立方程組
解得交點
B 2 x0 — ABy0 — AC 2 A2 y0 — ABx0 — BC 2
:| PQ |= | Ax0 + By0 + C |
A2 + B2
(
y
)P l Q l '
x
圖1
函數法：點 P 到直線 l 上任意一點的距離的最小值就是點P 到直線 l 的距離。在l 上取 任意點 Q（x, y）用兩點的距離公式有
| PQ |2 = (x — x0 ) 2 + (y — y0 ) 2
為了利用條件 Ax + By + C = 0 上式變形一下，配湊系數處理得： (A2 + B 2 )[(x — x0 ) 2 + (y — y0 ) 2 ]
= A2 (x — x0 ) 2 + B2 (y — y0 ) 2 + A2 (y — y0 ) 2 + B2 (x — x0 ) 2 = [A(x — x0 ) + B(y — y0 )]2 + [A(y — y0 ) — B(x — x0 )]2
≥ [A(x — x0 ) + B(y — y0 )]2 ＝ (Ax0 + By0 + C)2 (: Ax + By + C = 0)
當且僅當 A(y — y0 ) — B(x — x0 ) = 0 時取等號，所以最小值就是
轉化法：設直線 l 的傾斜角為 α,過點 P 作 PM∥y 軸交 l 于 M (x1, y1 )
顯然x1 = x0 所以y1 = -
易得∠MPQ= α （圖 2）
或∠MPQ＝ 180O —α （圖 3）
在兩種情況下都有 tan2 上MPQ = tan α =
(
y
) (
P
)l Q
M
x
圖2
(
l
y
) (
P
)Q M
x
圖3
三角形法：過點 P 作 PM∥y 軸，交 于 M，過點 P 作 PN∥x 軸，交 l 于 N（圖 4）由解法
三知
同理得
在 Rt△MPN 中，PQ 是斜邊上的高
(
y
)P
Q
M
l
圖 4
N
x
這四種推導過程都比較繁瑣，但同時也使學生在知識、能力及意志品質等方面得到了 提高。
綜上：點P(x0, y0 ) 到直線l : Ax + By + C = 0 的距離為
（三）典例導航
例 1 求點 P=（-1，2）到直線 3x=2 的距離。
解：
例 2 已知點 A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形 ABC 的面積。
解：設 AB 邊上的高為 h，則 S △ABC = AB● h
AB 邊上的高 h 就是點C 到 AB 的距離。 AB 邊所在直線方程為
即 x+y-4=0。
點 C 到 X+Y-4=0 的距離為 h ，h= 因此，S △ABC =
通過這兩道簡單的例題，使學生能夠進一步對點到直線的距離理解應用，能逐步 體會用代數運算解決幾何問題的優越性。
（四）拓展延伸
應用推導兩平行線間的距離公式
已知兩條平行線直線l1 和l2 的一般式方程為l1 ：Ax + By + C1 = 0 ，
l2 ：Ax + By + C2 = 0 ，則l1 與l2 的距離為
證明：設P0 (x0, y0 ) 是直線Ax + By + C2 = 0 上任一點，則點 P0 到直線Ax + By + C1 = 0 的
(
新疆
王新敞
學案
)距離為 又 Ax0 + By0 + C2 = 0 即Ax0 + By0 = —C2 ， ∴d= ·
練習：求兩平行線l1 ：2x + 3y — 8 = 0 ，l2 ：2x + 3y — 10 = 0 的距離.
解法一：在直線l1 上取一點 P( 4 , 0)，因為l1 ∥ l2 ，所以點 P到l2 的距離等于l1 與l2
的距離.于是d =
解法二：l1 ∥l2 又C1 = -8, C2 = -10 .
由兩平行線間的距離公式得
（五） 目標檢測：
已知一直線被兩平行線 3x+4y-7=0 與 3x+4y+8=0 所截線段長為 3。且該直線過點 （2，3），求該直線方程。
（六）課堂小結 ：
(
新疆
王新敞
學案
)點到直線距離公式的推導過程，點到直線的距離公式，能把求兩平行線的距離轉 化為點到直線的距離公式。
（七）課后作業：
（1）求點 P（2，-1）到直線 2x ＋3y －3＝0 的距離。
（2）已知點 A（a ，6）到直線 3x - 4 y ＝2 的距離 d=4，求a 的值。
（八）教后反思
學生在解決問題的的過程中，由于課堂時間有限，學生討論給出的方法在課堂上 不能一一實現，根據學生的認知水平，思路一學生很容易想到，所以從思路一入手進 行公式推導。其他方法作為課后研究性學習的作業，學生在課堂研究的基礎上繼續探 究，尋求更多的解決問題的方法，并用各種方法完成公式的推導，將該部分知識加以 升華。同時鼓勵學生自己動手學寫論文：《求點到直線的距離方法種種》，使學生將 課堂所學內容進一步認識和升華。

展開更多......

收起↑