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2024-2025學(xué)年期末達(dá)標(biāo)測試卷-數(shù)學(xué)八年級上冊人教版
一．選擇題（共9小題）
1．（2023秋 竹溪縣校級期末）下面四個圖形中，不是軸對稱圖案的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
2．（2023秋 玉州區(qū)期末）若分式有意義，則x滿足的條件是（　　）
A．x≠0 B．x≠3 C．x＞3 D．x＜3
3．（2023秋 應(yīng)縣期末）下列各式變形中，是因式分解的是（　　）
A．a(chǎn)2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．a(chǎn)（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b）
4．（2023秋 微山縣期末）在△ABC中，∠A＝56°，∠B＝36°，則△ABC是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
5．（2023秋 成華區(qū)期末）某小區(qū)的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了4棵桂花樹．分別以兩條小路為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若A，B兩處桂花樹的位置關(guān)于x軸對稱，點A的坐標(biāo)為 （﹣3，3），則點B的坐標(biāo)為（　?。?br/>A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，﹣3）
6．（2024春 二七區(qū)期末）在一次數(shù)學(xué)實踐活動課上，學(xué)生進(jìn)行折紙活動，如圖是小睿、小軒、小涌三位同學(xué)的折紙示意圖（C的對應(yīng)點是C'），分析他們的折紙情況，下列說法正確的是（　　）
A．小睿折出的是BC邊上的中線
B．小軒折出的是△ABC中∠BAC的平分線
C．小涌折出的是△ABC中BC邊上的高
D．上述說法都錯誤
7．（2023秋 常寧市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E在邊BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝16，DE＝9，則CE的長為（　?。?br/>A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
8．（2023秋 射洪市期末）如圖1，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），將余下的部分剪開后拼成一個平行四邊形（如圖2），根據(jù)兩個圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個關(guān)于a，b的恒等式為（　?。?br/>A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）
9．（2023秋 興文縣期末）如圖1是一個樂譜架，立桿部分可進(jìn)行高度調(diào)節(jié)，如圖2是其底座部分的平面圖，其中支撐桿AB＝AC，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，DE，DF是連接立桿和支撐桿的支架，且DE＝DF．立桿在伸縮過程中總有△AED≌△AFD，其判定依據(jù)是（　　）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
二．填空題（共8小題）
10．（2024秋 東阿縣校級月考）（﹣2）3＝ 　 　，﹣12025＝ 　 ?。?br/>11．（2024秋 上蔡縣校級月考）已知a2+b2＝5，ab＝2，則a﹣b＝　 ?。?br/>12．（2024秋 覃塘區(qū)期中）月球的平均亮度只有太陽的0.00000215倍，0.00000215用科學(xué)記數(shù)法可表示為　 ?。?br/>13．（2024春 邵東市期末）如圖，已知∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，則AB的長等于 　 　．
14．（2024秋 光澤縣期中）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為 　 ?。?br/>15．（2023秋 浉河區(qū)校級期末）如圖，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是 　 ?。ㄓ煤琣，b的式子表示）．
16．（2024秋 諸暨市期中）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，點E在AD上，且DEBC，則∠AFE的度數(shù)為 　 ?。?br/>17．（2024秋 渝中區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AD，連接BD、CD，過點A作AF⊥CD分別交CD、BC于點E、F，P為BC邊上的動點，連接PA、PD．以下結(jié)論：①CF＝2EF；②CF＝AF+BF；③當(dāng)α＝60°時，E為AF的中點；④當(dāng)α＝90°時，若CF＝a，BF＝b，則PA+PD的最小值可表示為2a﹣b，其中正確的是 　 　．（填序號）
三．解答題（共7小題）
18．（2024秋 東營期中）解分式方程：
（1）；
（2）．
19．（2024秋 濟源校級期中）已知一個三角形的兩條邊長分別為4cm，8cm．設(shè)第三條邊長為x cm．
（1）求x的取值范圍．
（2）若此三角形為等腰三角形，求該等腰三角形的周長．
20．（2024秋 豐滿區(qū)校級期中）如圖，點E是∠AOB的平分線上的一點，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分別為點C、D，連接CD交OE于點F，且∠AOB＝60°．
（1）求證：△OCD是等邊三角形．
（2）若DF＝m，EF＝n時，直接寫出△CED的周長．（用含m、n的式子表示）
21．（2024秋 克州期中）已知，在△ABC中，AH⊥BC于點H，∠HAB＝∠HAC．
（1）如圖1，求證：△ABH≌△ACH；
（2）如圖2，點D為△ABC外一點，AD⊥BD，若BC平分∠ABD，求證：AD⊥AC．
22．（2023秋 甘井子區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標(biāo)為（2，4）．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）直接寫出點A關(guān)于x軸的對稱點A2的坐標(biāo)為　 　；
（3）在x軸上找到一點P，使PB+PC的和最小（標(biāo)出點P即可，不用求點P的坐標(biāo)）
23．（2023秋 東港區(qū)校級期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問題．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，即a2+b2+2ab＝9，
又∵ab＝1，
∴a2+b2＝7．
根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：
（1）若x﹣y＝4，xy＝2，則x2+y2＝　 ??；
（2）若x﹣y＝6，x2+y2＝30，求xy的值；
（3）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝10，兩正方形的面積和S1+S2＝72，求圖中陰影部分面積．
24．（2024秋 祥云縣校級期中）小明在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其作了進(jìn)一步的探究．在一個支架的橫桿點O處用一根細(xì)繩懸掛個小球A，小球A可以自由擺動，如圖，OA表示小球靜止時的位置，當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠進(jìn)小球時，小球從OA擺到OB位置，此時過點B作BD⊥OA于點D，且測得到點B到OA的距離為8cm；當(dāng)小球擺到OC位置時，OB與OC恰好垂直（圖中的A，B，O，C在同一平面上），過點C作CE⊥OA于點E，測得點C到OA的距離為14cm．
（1）判斷CE與OD的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）求兩次擺動中點B和C的高度差DE的長．
2024-2025學(xué)年期末達(dá)標(biāo)測試卷-數(shù)學(xué)八年級上冊人教版
參考答案與試題解析
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B B D A D B A C D
一．選擇題（共9小題）
1．（2023秋 竹溪縣校級期末）下面四個圖形中，不是軸對稱圖案的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【解答】解：選項A、C、D的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
選項B的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．
故選：B．
2．（2023秋 玉州區(qū)期末）若分式有意義，則x滿足的條件是（　　）
A．x≠0 B．x≠3 C．x＞3 D．x＜3
【解答】解：要使分式有意義，只須x﹣3≠0，即x≠3，
故選：B．
3．（2023秋 應(yīng)縣期末）下列各式變形中，是因式分解的是（　　）
A．a(chǎn)2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．a(chǎn)（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b）
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中等號右邊不是積的形式，則A不符合題意；
2x2+2x＝2x2（1）中不是整式，則B不符合題意；
（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是乘法運算，則C不符合題意；
a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b）符合因式分解的定義，則D符合題意；
故選：D．
4．（2023秋 微山縣期末）在△ABC中，∠A＝56°，∠B＝36°，則△ABC是（　?。?br/>A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：由題意得：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣56°﹣36°＝88°，
∴△ABC是銳角三角形，
故選：A．
5．（2023秋 成華區(qū)期末）某小區(qū)的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了4棵桂花樹．分別以兩條小路為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若A，B兩處桂花樹的位置關(guān)于x軸對稱，點A的坐標(biāo)為 （﹣3，3），則點B的坐標(biāo)為（　?。?br/>A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，﹣3）
【解答】解：∵A，B兩處桂花樹的位置關(guān)于x軸對稱，點A的坐標(biāo)為 （﹣3，3），
∴點B的坐標(biāo)為（﹣3，﹣3）．
故選：D．
6．（2024春 二七區(qū)期末）在一次數(shù)學(xué)實踐活動課上，學(xué)生進(jìn)行折紙活動，如圖是小睿、小軒、小涌三位同學(xué)的折紙示意圖（C的對應(yīng)點是C'），分析他們的折紙情況，下列說法正確的是（　?。?br/>A．小睿折出的是BC邊上的中線
B．小軒折出的是△ABC中∠BAC的平分線
C．小涌折出的是△ABC中BC邊上的高
D．上述說法都錯誤
【解答】解：A、小睿的圖，
∵AC沿AD折疊，對稱邊為AC′，
∴△ACD≌△△AC′D，
∴CD＝C′D，
∴AD是線段CC′的中線，原說法錯誤，不符合題意；
B、小軒的圖，
∵AC沿AD折疊，對稱邊為AC′，
∴△ACD≌△△AC′D，
∴∠CAD＝∠C′AD，
∴AD是∠BAC的平分線，正確，符合題意；
C、小涵的圖，
∵AC折疊后點C與點B重合，
∴AD是BC邊的中線，原說法錯誤，不符合題意．
故選：B．
7．（2023秋 常寧市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E在邊BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝16，DE＝9，則CE的長為（　?。?br/>A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE，
∵BC＝16，DE＝9，
∴BD+CE＝7，
∴CE＝3.5，
故選：A．
8．（2023秋 射洪市期末）如圖1，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），將余下的部分剪開后拼成一個平行四邊形（如圖2），根據(jù)兩個圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個關(guān)于a，b的恒等式為（　?。?br/>A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）
【解答】解：第一個圖形的陰影部分的面積＝a2﹣b2，
第二個圖形面積＝（a+b）（a﹣b），
則a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故選：C．
9．（2023秋 興文縣期末）如圖1是一個樂譜架，立桿部分可進(jìn)行高度調(diào)節(jié)，如圖2是其底座部分的平面圖，其中支撐桿AB＝AC，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，DE，DF是連接立桿和支撐桿的支架，且DE＝DF．立桿在伸縮過程中總有△AED≌△AFD，其判定依據(jù)是（　　）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，AB＝AC，
∴AE＝AF，
在△AED與△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS）．
故選：D．
二．填空題（共8小題）
10．（2024秋 東阿縣校級月考）（﹣2）3＝ 　﹣8　，﹣12025＝ 　﹣1?。?br/>【解答】解：（﹣2）3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝﹣8，
﹣12025＝﹣1．
故答案為：﹣8，﹣1．
11．（2024秋 上蔡縣校級月考）已知a2+b2＝5，ab＝2，則a﹣b＝　±1　．
【解答】解：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
＝5﹣4
＝1，
∴a﹣b＝±1．
故答案為：±1．
12．（2024秋 覃塘區(qū)期中）月球的平均亮度只有太陽的0.00000215倍，0.00000215用科學(xué)記數(shù)法可表示為　2.15×10﹣6?。?br/>【解答】解：0.00000215＝2.15×10﹣6．
故答案為：2.15×10﹣6．
13．（2024春 邵東市期末）如圖，已知∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，則AB的長等于 　4?。?br/>【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
故答案為：4．
14．（2024秋 光澤縣期中）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為 　180°?。?br/>【解答】解：如圖，延長CD交AB于點F，設(shè)CD，BE交于點G，
∵∠BFG＝∠A+∠C，∠BGF＝∠E+∠CDE，
∴∠A+∠B+∠C+∠CDE+∠E
＝∠BFG+∠BGF+∠B
＝180°，
故答案為：180°．
15．（2023秋 浉河區(qū)校級期末）如圖，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是 　a+b?。ㄓ煤琣，b的式子表示）．
【解答】解：如圖，∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CFa，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴點E在射線CE上運動（∠ACE＝30°），
作點A關(guān)于直線CE的對稱點M，連接FM交CE 于E′，此時AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等邊三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周長的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FMa+b．
故答案為：a+b．
16．（2024秋 諸暨市期中）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，點E在AD上，且DEBC，則∠AFE的度數(shù)為 　105°　．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是BC邊上的中線，
∴∠BADBAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CDBC，
∴∠CDE＝90°，
∵DE＝BC，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴∠AEF＝∠DEC＝45°，
∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF
＝180°﹣30°﹣45°
＝105°，
故答案為：105°．
17．（2024秋 渝中區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AD，連接BD、CD，過點A作AF⊥CD分別交CD、BC于點E、F，P為BC邊上的動點，連接PA、PD．以下結(jié)論：①CF＝2EF；②CF＝AF+BF；③當(dāng)α＝60°時，E為AF的中點；④當(dāng)α＝90°時，若CF＝a，BF＝b，則PA+PD的最小值可表示為2a﹣b，其中正確的是 　①②③④?。ㄌ钚蛱枺?br/>【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠ACB＝∠ABC90°，
∵AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AD，
∴∠BAD＝60°，AD＝AB，
∴∠CAD＝α+60°，AD＝AB＝AC，
∴∠DCA＝∠CDA60，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°（60）＝30°，
∵AF⊥CD，
∴∠CEF＝90°，
∴CF＝2EF，
故①正確，符合題意；
如圖，在CB上截取CG＝BF，
在△ACG和△ABF中，
，
∴△ACG≌△ABF（SAS），
∴AG＝AF，
∴△AGF是等腰三角形，
∵∠ECF＝30°，∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝60°，
∴△AGF是等邊三角形，
∴GF＝AF，
∴CF＝GF+CG＝AF+BF，
故②正確；
當(dāng)α＝60°時，∠ACD＝6030°，
∴∠ACE＝∠FCE，
在△ACE和△FCE中，
，
∴△ACE≌△FCE（ASA），
∴AE＝EF，即E是AF中點，
故③正確，符合題意；
如圖，作A關(guān)于BC的對稱點A'，連接PA'，DA'，
則PA+PD＝PA'+PD≥DA'，
當(dāng)且僅當(dāng)A'、P、D三點共線時，取等，此時PA+PD＝DA'為最小值，
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴AF垂直平分CD，
∴CF＝DF＝a，
∴∠FDE＝∠FCE＝30°，
∵α＝90°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠ADC＝15°，
∴∠A'CD＝∠A'CP+∠FCE＝75°，∠BDF＝∠ADB﹣∠ADC﹣∠FDE＝15°，
∴∠DA'C＝75°，
∴∠A'PC＝60°，
∵∠DBF＝∠ABC+∠ABD＝105°，
∴∠BFD＝60°＝∠A'PC，
∴P和F重合，
由②知CF＝AF+BF，
∴AF＝CF﹣BF＝a﹣b＝A'F，
∴DA'＝A'F+DF＝a﹣b+a＝2a﹣b，
即PA+PD的最小值為2a﹣b，
故④正確，符合題意；
綜上，正確的有①②③④；
故答案為：①②③④．
三．解答題（共7小題）
18．（2024秋 東營期中）解分式方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）3，
1＝﹣1+x﹣3（x﹣2），
解得：x＝2，
經(jīng)檢驗，x＝2是方程的增根，
所以，原方程無解；
（2）1，
x（x﹣3）﹣x（x﹣2）＝3（x﹣2），
解得：，
經(jīng)檢驗，是方程的解，
所以，方程的解為．
19．（2024秋 濟源校級期中）已知一個三角形的兩條邊長分別為4cm，8cm．設(shè)第三條邊長為x cm．
（1）求x的取值范圍．
（2）若此三角形為等腰三角形，求該等腰三角形的周長．
【解答】解：（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系得，8﹣4＜x＜8+4，
即4＜x＜12；
（2）∵三角形是等腰三角形，等腰三角形兩條邊長分別為4cm，8cm，且4＜x＜12，
∴等腰三角形第三邊只能是8cm，
∴等腰三角形周長為4+8+8＝20cm．
20．（2024秋 豐滿區(qū)校級期中）如圖，點E是∠AOB的平分線上的一點，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分別為點C、D，連接CD交OE于點F，且∠AOB＝60°．
（1）求證：△OCD是等邊三角形．
（2）若DF＝m，EF＝n時，直接寫出△CED的周長．（用含m、n的式子表示）
【解答】（1）證明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，∠EDO＝∠ECO＝90°，
在Rt△OED和Rt△OEC中，
，
∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL），
∴OC＝OD，
∵∠AOB＝60°，
∴△OCD是等邊三角形；
（2）解：∵△OCD是等邊三角形，OE平分∠AOB，
∴OE⊥DC，DF＝CF＝m，∠OCD＝60°，
∴DC＝2DF＝2m，∠EFC＝90°，
∵EC⊥OB，
∴∠ECF＝90°﹣∠OCD＝30°，
∴DE＝CE＝2EF＝2n，
∴△CED的周長＝DE+CE＝CD＝2n+2n+2m＝2m+4n．
21．（2024秋 克州期中）已知，在△ABC中，AH⊥BC于點H，∠HAB＝∠HAC．
（1）如圖1，求證：△ABH≌△ACH；
（2）如圖2，點D為△ABC外一點，AD⊥BD，若BC平分∠ABD，求證：AD⊥AC．
【解答】證明：（1）∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
在△ABH和△ACH中，
，
∴△ABH≌△ACH（ASA）；
（2）∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∵△ABH≌△ACH，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBC，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴AC∥BD，
∴∠DAC＝∠ADB＝90°，
∴AD⊥AC．
22．（2023秋 甘井子區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標(biāo)為（2，4）．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）直接寫出點A關(guān)于x軸的對稱點A2的坐標(biāo)為?。?，﹣4）　；
（3）在x軸上找到一點P，使PB+PC的和最?。?biāo)出點P即可，不用求點P的坐標(biāo)）
【解答】解：（1）如圖1，△A1B1C1即為所求；
；
（2）點A（2，4）關(guān)于x軸的對稱點A2坐標(biāo)為（2，﹣4），
故答案為：（2，﹣4）；
（3）如圖2，點P即為所求；
．
23．（2023秋 東港區(qū)校級期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問題．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，即a2+b2+2ab＝9，
又∵ab＝1，
∴a2+b2＝7．
根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：
（1）若x﹣y＝4，xy＝2，則x2+y2＝　20??；
（2）若x﹣y＝6，x2+y2＝30，求xy的值；
（3）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝10，兩正方形的面積和S1+S2＝72，求圖中陰影部分面積．
【解答】解：（1）∵x﹣y＝4，
∴x2+y2﹣2xy＝16，
∵xy＝2，
∴x2+y2
＝16+2xy
＝16+2×2
＝20；
（2）∵x﹣y＝6，
∴x2+y2﹣2xy＝36，
∵x2+y2＝30，
∴30﹣2xy＝36，
解得：xy＝﹣3；
（3）∵AB＝10，
∴AC+BC＝10，
∴AC2+BC2+2AC BC＝100，
∵四邊形ACDE，F(xiàn)CBG是正方形，S1+S2＝72，
∴AC2+BC2＝72，BC＝CF，
∴2AC BC＝100﹣72，即：AC BC＝14，
∴．
24．（2024秋 祥云縣校級期中）小明在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其作了進(jìn)一步的探究．在一個支架的橫桿點O處用一根細(xì)繩懸掛個小球A，小球A可以自由擺動，如圖，OA表示小球靜止時的位置，當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠進(jìn)小球時，小球從OA擺到OB位置，此時過點B作BD⊥OA于點D，且測得到點B到OA的距離為8cm；當(dāng)小球擺到OC位置時，OB與OC恰好垂直（圖中的A，B，O，C在同一平面上），過點C作CE⊥OA于點E，測得點C到OA的距離為14cm．
（1）判斷CE與OD的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）求兩次擺動中點B和C的高度差DE的長．
【解答】解：（1）CE＝BD．理由如下：
∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∵BD⊥OA，CE⊥OA，
∴∠ODB＝∠CEO＝90°，
∴∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠OBD＝∠COE，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝BD；
（2）∵點B到OA的距離為8cm，點C到OA的距離為14cm，
∴CE＝14cm，AB＝8cm，
∵△COE≌△OBD，
∴OE＝BD＝8cm，CE＝OD＝14cm，
∴DE＝OD﹣OE＝14﹣8＝6（cm），
∴兩次擺動中點B和C的高度差DE的長為6cm．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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