資源簡介

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二次函數專項訓練-2025年中考數學一輪復習
一．選擇題（共6小題）
1．（2024 吉林一模）某數學興趣小組借助數學軟件探究函數y＝ax2（x﹣b）的圖象，輸入了一組a，b的值，得到了它的函數圖象如圖所示，借助學習函數的經驗，可以推斷輸入的a，b的值滿足（　?。?br/>A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＞0
2．（2024 中山市校級三模）把拋物線y＝﹣x2+1向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（　?。?br/>A．y＝﹣（x+3）2+1 B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2+4
3．（2024 西安校級模擬）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b，（a＜0）的圖象上三個點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（1，y3），若x1＜1＜x2，x1+x2＜2，則y1，y2，y3的大小關系為（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
4．（2024 西湖區一模）在平面直角坐標系中，已知一次函數y＝ax+b（a≠0，a，b是常數）的圖象經過點P（﹣2，0），且與y軸正半軸相交，則二次函數y＝ax2+bx+1的圖象可能是（　?。?br/>A． B．
C． D．
5．（2024 吉安一模）如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面寬4米時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2米，水面下降2.5米時，水面的寬度為米．（　?。?br/>A．3 B．6 C．8 D．9
6．（2024 金沙縣一模）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1，下列結論：
①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，則m（am+b）﹣a＜b．其中正確的個數是（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空題（共8小題）
7．（2024 南崗區校級二模）拋物線y＝（x﹣1）2的頂點坐標是　 ?。?br/>8．（2024 柳州一模）已知二次函數y＝x2﹣4x+2，當﹣1≤x≤3時，y的取值范圍內是 　 　．
9．（2024 涼州區一模）已知P（x1，1），Q（x2，1）兩點都在拋物線y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ 　 ?。?br/>10．（2024 南通一模）某種型號的小型無人機著陸后滑行的距離S（米）關于滑行的時間t（秒）的函數解析式是S＝﹣0.25t2+10t，無人機著陸后滑行 　 　秒才能停下來．
11．（2024 化德縣校級模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c交y軸于點（0，5），對稱軸為直線x＝﹣2，若y≥5，則x的取值范圍是 　 　．
12．（2024 淮北三模）拋物線y＝ax2﹣4ax經過原點，且與x軸的正半軸交于點A，頂點C的坐標為（2，﹣4）．
（1）a的值為 　 ?。?br/>（2）若點P為拋物線上一動點，其橫坐標為t，作PQ⊥x軸，且點Q位于一次函數y＝x﹣4的圖象上．當t＜4時，PQ的長度隨t的增大而增大，則t的取值范圍是 　 ?。?br/>13．（2024 歷下區校級模擬）如圖，拋物線C1的解析式為y＝﹣x2+4，將拋物線繞點O順時針旋轉45°得到圖形G，圖形G分別與y軸、x軸正半軸交于點A、B，連接AB，則△OAB的面積為 　 　．
14．（2024 瓦房店市模擬）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接AC，點N在y軸負半軸上，點A繞點N順時針旋轉，恰好落在第四象限的拋物線上點M處，且∠ANM+∠ACM＝180°，則點M的坐標是 　 ?。?br/>三．解答題（共6小題）
15．（2024 房山區一模）在平面直角坐標系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線y＝x2﹣2ax+a2﹣2上任意兩點．
（1）當a＝1時，求拋物線與y軸的交點坐標及頂點坐標；
（2）若對于，，都有y1＞y2，求a的取值范圍．
16．（2024 武威一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x軸于A，C兩點，交y軸于點B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）已知拋物線的對稱軸上存在一點M，使得△ABM的周長最小，請求出點M的坐標；
（3）連接BC，點P是線段BC上一點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，求當四邊形OBQP為平行四邊形時點P的坐標．
17．（2024 荊州二模）施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其最高點P距離地面高度為8米，寬度OM為16米．現以點O為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖1所示）．
（1）求出這條拋物線的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）隧道下的公路是單向雙車道，車輛并行時，安全平行間距為2米，該雙車道能否同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明；
（3）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使點A，D在拋物線上．點B，C在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需測算“腳手架”三根鋼桿AB，AD，DC的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下．
18．（2024 息烽縣一模）小明和小亮參加了一次籃球比賽，籃球傳出后的運動路線為如圖所示的拋物線，以小明站立的位置為原點O建立平面直角坐標系，籃球在O點正上方1.8m的點P處出手，籃球的高度y（m）與水平距離x（m）之間滿足函數表達式．
（1）求c的值；
（2）求籃球在運動過程中離地面的最大高度；
（3）小明傳球給小亮，小亮手舉過頭頂在對方球員后方接球，已知小亮跳起后，手離地面的最大高度為BC＝2.8m，則球在下落過程中，若小亮要想順利接住球，求他至少距離小明多遠的距離．
19．（2024 懷遠縣一模）如圖1，已知直線y＝﹣x+5與坐標軸相交于A、B，點C坐標是（﹣1，0），拋物線經過A、B、C三點．點P是拋物線上的一點，過點P作y軸的平行線，與直線AB交于點D，與x軸相交于點F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P在第一象限時，連接CP交OA于點E，連接EF，如圖2所示．
①求AE+DF的值；
②設四邊形AEFB的面積為S，則點P在運動過程中是否存在面積S的最大值，若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
20．（2024 巴東縣模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A（2，0），B（﹣2，0）兩點，與y軸相交于點C，M為第四象限的拋物線上一動點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）連接BC，CM和AM，當四邊形ABCM的面積為9時，求點M的坐標；
（3）請完成以下探究．
【動手操作】作直線OM，交拋物線于另一點N，過點C作y軸的垂線，分別交直線AM，直線BN于點D，E．
【猜想證明】隨著點M的運動，線段DE的長是否為定值？若是，請直接寫出該定值并證明；若不是，請說明理由．
二次函數專項訓練-2025年中考數學一輪復習
參考答案與試題解析
一．選擇題（共6小題）
1．（2024 吉林一模）某數學興趣小組借助數學軟件探究函數y＝ax2（x﹣b）的圖象，輸入了一組a，b的值，得到了它的函數圖象如圖所示，借助學習函數的經驗，可以推斷輸入的a，b的值滿足（　　）
A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＞0
【解答】解：令y＝ax2（x﹣b）＝0，
解得，x＝0或x＝b，
由圖象可知，x＝b＞0，
當x＜0時，x﹣b＜0，y＝ax2（x﹣b）＜0，
∴a＞0，
故選：D．
2．（2024 中山市校級三模）把拋物線y＝﹣x2+1向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（　　）
A．y＝﹣（x+3）2+1 B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2+4
【解答】解：拋物線y＝﹣x2+1向左平移1個單位，得：y＝﹣（x+1）2+1；
然后向上平移3個單位，得：y＝﹣（x+1）2+1+3．
即y＝﹣（x+1）2+4，
故選：D．
3．（2024 西安校級模擬）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b，（a＜0）的圖象上三個點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（1，y3），若x1＜1＜x2，x1+x2＜2，則y1，y2，y3的大小關系為（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
【解答】解：拋物線y＝ax2﹣2ax+b的對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∵a＜0，
∴開口向下，
∴x＝1時有最大值y3，
∵x1＜1＜x2，x1+x2＜2，
∴A、B在x＝1的兩側，且A離著對稱軸較遠，
∴y2＞y1，
∴y3＞y2＞y1．
故選：D．
4．（2024 西湖區一模）在平面直角坐標系中，已知一次函數y＝ax+b（a≠0，a，b是常數）的圖象經過點P（﹣2，0），且與y軸正半軸相交，則二次函數y＝ax2+bx+1的圖象可能是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【解答】解：∵一次函數y＝ax+b（a≠0，a，b是常數）的圖象經過點P（﹣2，0），且與y軸正半軸相交，
∴a＞0，﹣2a+b＝0，
∴﹣＝﹣1，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，
故選：A．
5．（2024 吉安一模）如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面寬4米時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2米，水面下降2.5米時，水面的寬度為米．（　?。?br/>A．3 B．6 C．8 D．9
【解答】解：建立平面直角坐標系，設橫軸x通過AB，縱軸y軸通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得O為原點，拋物線以y軸為對稱軸，且經過A、B兩點，OA和OB可求出為AB的一半為2米，拋物線的頂點C坐標為（0，2），
，
設頂點式為y＝ax2+2，代入點A的坐標（﹣2，0），
得出4a+2＝0，
解得：a＝﹣0.5，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣0.5x2+2，
當水面下降2.5米時，即當y＝﹣2.5時，﹣0.5x2+2＝﹣2.5，
解得：x＝±3，
∴水面的寬度為3﹣（﹣3）＝6（米），
故選：B．
6．（2024 金沙縣一模）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1，下列結論：
①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，則m（am+b）﹣a＜b．其中正確的個數是（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，①正確，符合題意．
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，②正確，符合題意．
由圖象可得x＝﹣1時，y＜0，根據拋物線對稱性可得x＝3時，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，③錯誤，不符合題意．
∵x＝﹣1，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，④正確，符合題意．
∵x＝1時，y取最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴m（am+b）﹣a＜b（m≠1），⑤正確，符合題意．
故選：D．
二．填空題（共8小題）
7．（2024 南崗區校級二模）拋物線y＝（x﹣1）2的頂點坐標是　（1，0）?。?br/>【解答】解：
∵y＝（x﹣1）2，
∴拋物線頂點坐標為（1，0），
故答案為：（1，0）．
8．（2024 柳州一模）已知二次函數y＝x2﹣4x+2，當﹣1≤x≤3時，y的取值范圍內是 　﹣2≤y≤7?。?br/>【解答】解：二次函數y＝x2﹣4x+2化為頂點式為y＝（x﹣2）2﹣2，
∵a＝1＞0，
∴二次函數有最小值為y最小值＝﹣2，此時x＝2，
當x＝﹣1時，y＝（﹣1﹣2）2﹣2＝7，
當x＝3時，y＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1，
∴該函數在﹣1≤x≤3的取值范圍內，y的取值范圍內是﹣2≤y≤7，
故答案為：﹣2≤y≤7．
9．（2024 涼州區一模）已知P（x1，1），Q（x2，1）兩點都在拋物線y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ 　3?。?br/>【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）兩點都在拋物線y＝x2﹣3x+1上，
∴P、Q關于對稱軸對稱，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝＝﹣，
∴x1+x2＝3，
故答案為：3．
10．（2024 南通一模）某種型號的小型無人機著陸后滑行的距離S（米）關于滑行的時間t（秒）的函數解析式是S＝﹣0.25t2+10t，無人機著陸后滑行 　20　秒才能停下來．
【解答】解：由題意得，
S＝﹣0.25t2+10t
＝﹣0.25（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣0.25（t﹣20）2+100，
∵﹣0.25＜0，
∴t＝20時，飛機滑行的距離最大，
即當t＝20秒時，飛機才能停下來．
故答案為：20．
11．（2024 化德縣校級模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c交y軸于點（0，5），對稱軸為直線x＝﹣2，若y≥5，則x的取值范圍是 　﹣4≤x≤0?。?br/>【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+bx+c交y軸于點（0，5），對稱軸為直線x＝﹣2，
∴圖象過點（﹣4，5），
∵圖象開口向下，
∴當y≥5時，x的取值范圍是﹣4≤x≤0．
故答案為：﹣4≤x≤0．
12．（2024 淮北三模）拋物線y＝ax2﹣4ax經過原點，且與x軸的正半軸交于點A，頂點C的坐標為（2，﹣4）．
（1）a的值為 　1??；
（2）若點P為拋物線上一動點，其橫坐標為t，作PQ⊥x軸，且點Q位于一次函數y＝x﹣4的圖象上．當t＜4時，PQ的長度隨t的增大而增大，則t的取值范圍是 　?。?br/>【解答】解：（1）由題意，將（2，﹣4）代入y＝ax2﹣4ax中，得4a﹣8a＝﹣4，
解得a＝1，
故答案為：1；
（2）由（1）得拋物線的表達式為y＝x2﹣4x，
聯立方程組，解得或，
∴拋物線y＝x2﹣4x與直線y＝x﹣4的交點坐標為（1，﹣3），（4，0），
設P（t，t2﹣4t），Q（t，t﹣4），
當t≤1時，PQ＝t2﹣4t﹣（t﹣4）＝t2﹣5t+4＝，
∵1＞0，
∴當t≤1時，PQ的長度隨t的增大而減小，不符合題意；
當1＜t＜4時，PQ＝t﹣4﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+5t﹣4＝，
∵﹣1＜0，
∴當時，PQ的長度隨t的增大而增大，當時，PQ的長度隨t的增大而減小，
故答案為：．
13．（2024 歷下區校級模擬）如圖，拋物線C1的解析式為y＝﹣x2+4，將拋物線繞點O順時針旋轉45°得到圖形G，圖形G分別與y軸、x軸正半軸交于點A、B，連接AB，則△OAB的面積為 　　．
【解答】解：由題意可知，將拋物線繞點O順時針旋轉45°得到圖形G的對稱軸為直線y＝x，
設直線y＝x與拋物線y＝﹣x2+4在第一象限的交點為M，
∴把OM繞點O順時針旋轉45°得到OB，如圖所示：
聯立方程組得：，
解得或，
∴點M坐標為（，），
∴OM＝×＝，
即OB＝，
∵對稱性，
∴OA＝OB，
∴△OAB的面積為OB2＝×（）2＝．
故答案為：．
14．（2024 瓦房店市模擬）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接AC，點N在y軸負半軸上，點A繞點N順時針旋轉，恰好落在第四象限的拋物線上點M處，且∠ANM+∠ACM＝180°，則點M的坐標是 　?。?br/>【解答】解：如圖，過點N作 NE⊥CA的延長線于點E，過點N作 NF⊥CM 于點F，
∴∠CEN＝∠NFC＝90°，∠CEN+∠NFC＝180°，
∴∠ENF+∠ACM＝180°．
∵∠ANM+∠ACM＝180°，
∴∠ANM＝∠ENF，
∴∠ANE＝∠MNF．
∵∠AEN＝∠MFN＝90°，AN＝MN，
∴△AEN≌△MFN，
∴NE＝NF，
∴∠ACO＝∠MCO．
設CM 與x軸交于點D．
∵∠AOC＝∠DOC，CO＝CO，
∴△ACO≌△DCO，
∴AO＝DO．
∵拋物線 與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，
∴點A的坐標為 （﹣3，0），點C的坐標為（0，4），
∴AO＝DO＝3．
∴點D的坐標為（3，0），
∴直線CM的解析式為 ．
聯立 解得 （舍 去）或 ，
∴點M的坐標為 ．
故答案為：．
三．解答題（共6小題）
15．（2024 房山區一模）在平面直角坐標系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線y＝x2﹣2ax+a2﹣2上任意兩點．
（1）當a＝1時，求拋物線與y軸的交點坐標及頂點坐標；
（2）若對于，，都有y1＞y2，求a的取值范圍．
【解答】解：（1）當a＝1時，拋物線為y＝x2﹣2x﹣1，
令x＝0，則y＝﹣1，
∴拋物線與y軸的交點為（0，﹣1），
∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣2）；
（2）∵y＝x2﹣2ax+a2﹣2，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝a，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）離拋物線y＝x2﹣2ax+a2﹣2的對稱軸距離較大，函數值越大．
∴當a≥＝時，點A離對稱軸遠，都有y1＞y2．
∴a的取值范圍為a．
16．（2024 武威一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x軸于A，C兩點，交y軸于點B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）已知拋物線的對稱軸上存在一點M，使得△ABM的周長最小，請求出點M的坐標；
（3）連接BC，點P是線段BC上一點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，求當四邊形OBQP為平行四邊形時點P的坐標．
【解答】解：（1）由拋物線的表達式知，c＝﹣5＝yB，
則OB＝5＝OA＝OC，
則點A、C、B的坐標分別為：（1，0）、（﹣5，0）、（0，﹣5），
設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣1）（x+5）＝a（x2+4x﹣5）＝ax2+bx﹣5，
則a＝1，
故拋物線的表達式為：y＝x2+4x﹣5；
（2）點A關于拋物線對稱軸得對稱點為點C，則BC交拋物線的對稱軸于點M，此時△ABM的周長最小，理由：
△ABM的周長＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC為最小，
由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y＝﹣x﹣5，
由拋物線的表達式知，其對稱軸為直線x＝﹣2，
當x＝﹣2時，y＝﹣x﹣5＝﹣3，
則點M（﹣2，﹣3）；
（3）設點P（x，﹣x﹣5），則點Q（x，x2+4x﹣5），
則PQ＝（﹣x﹣5）﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，
∵PQ∥OB，
故當PQ＝OB時，滿足題設條件，
即PQ＝﹣x2﹣5x＝OB＝5，
解得：x＝，
則點P的坐標為：（，）或（，）．
17．（2024 荊州二模）施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其最高點P距離地面高度為8米，寬度OM為16米．現以點O為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖1所示）．
（1）求出這條拋物線的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）隧道下的公路是單向雙車道，車輛并行時，安全平行間距為2米，該雙車道能否同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明；
（3）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使點A，D在拋物線上．點B，C在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需測算“腳手架”三根鋼桿AB，AD，DC的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下．
【解答】解：（1）依題意：拋物線形的公路隧道，其高度為8米，寬度OM為16米，現在O點為原點，
∴點M（16，0），頂點P（8，8），
設拋物線的解析式為y＝ax2+bx．
把點M（16，0），點P（8，8）代入得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為，
∵OM＝16，M（16，0），
∴自變量x的取值范圍為：0≤x≤16；
（2）當時，，
∴能同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛．
（3）設OB＝x，則BC＝16﹣2x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝16﹣2x，
設l＝AB+AD+DC，則，
∴，
∵，
∴當時，l有最大值為．
答：三根木桿AB，AD，DC的長度和的最大值是20米．
18．（2024 息烽縣一模）小明和小亮參加了一次籃球比賽，籃球傳出后的運動路線為如圖所示的拋物線，以小明站立的位置為原點O建立平面直角坐標系，籃球在O點正上方1.8m的點P處出手，籃球的高度y（m）與水平距離x（m）之間滿足函數表達式．
（1）求c的值；
（2）求籃球在運動過程中離地面的最大高度；
（3）小明傳球給小亮，小亮手舉過頭頂在對方球員后方接球，已知小亮跳起后，手離地面的最大高度為BC＝2.8m，則球在下落過程中，若小亮要想順利接住球，求他至少距離小明多遠的距離．
【解答】解：（1）由題意得點P的坐標為（0，1.8），
將P（0，1.8）代入得：c＝1.8，
∴c＝1.8；
（2）由（1）知c＝1.8，
∴，
∵﹣＜0，
∴當x＝4時，y有最大值，最大值為3.8，
∴籃球在運動過程中離地面的最大高度為3.8m；
（3）由 ，
令y＝2.8，則﹣x2+x+1.8＝2.8，
解得，，
∵且在下落過程中接球，
∴，
所以在球下落過程中小亮離小明的距離至少 米才能順利接住球．
19．（2024 懷遠縣一模）如圖1，已知直線y＝﹣x+5與坐標軸相交于A、B，點C坐標是（﹣1，0），拋物線經過A、B、C三點．點P是拋物線上的一點，過點P作y軸的平行線，與直線AB交于點D，與x軸相交于點F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P在第一象限時，連接CP交OA于點E，連接EF，如圖2所示．
①求AE+DF的值；
②設四邊形AEFB的面積為S，則點P在運動過程中是否存在面積S的最大值，若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）當x＝0時，y＝5，
∴B（5，0），
當y＝0時，x＝5，
∴A（0，5），
設拋物線的解析式為y＝a（x﹣5）（x+1），
將點A（0，5）代入，可得a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x+5；
（2）①設P（t，﹣t2+4t+5），則D（t，﹣t+5），F（t，0），
設直線CP的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直線CP的解析式為y＝（5﹣t）x+5﹣t，
∴E（0，5﹣t），
∴AE＝t，DF＝5﹣t，
∴AE+DF＝5；
②不存在，理由如下：
S＝S△AOB﹣S△EOF＝×5×5﹣t（5﹣t）＝（t﹣）2+，
∵P點在第一象限，
∴0＜t＜5，
∴當t＝時，S有最小值，
當點P在對稱軸左側時，S隨m的減小而增大，且無限趨近m＝0時S的值，無法等于；
當點P在對稱軸右側時，S隨m的增大而增大，且無限趨近m＝5時S的值，無法等于；
∴當點P在第一象限時，不存在S的最大值．
20．（2024 巴東縣模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A（2，0），B（﹣2，0）兩點，與y軸相交于點C，M為第四象限的拋物線上一動點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）連接BC，CM和AM，當四邊形ABCM的面積為9時，求點M的坐標；
（3）請完成以下探究．
【動手操作】作直線OM，交拋物線于另一點N，過點C作y軸的垂線，分別交直線AM，直線BN于點D，E．
【猜想證明】隨著點M的運動，線段DE的長是否為定值？若是，請直接寫出該定值并證明；若不是，請說明理由．
【解答】（1）解：由題意得：y＝（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，
即拋物線的表達式為：y＝x2﹣4；
（2）解：如圖1，連接AC，過點M作MH∥y軸交AC于點H，
由點C（0，﹣4）、A的坐標得，直線AC的表達式為：y＝2x﹣4，
設點M（m，m2﹣4），則點H（m，2m﹣4），
則四邊形ABCM的面積＝S△ABC+S△ACM＝AB×CO+AO×MH＝4×4+×2×（2m﹣4﹣m2+4）＝9，
解得：m＝1，
即點M（1，﹣3）；
（3）證明：依據題意作圖如圖2，
設點M、N的坐標分別為：（m，m2﹣4），（n，n2﹣4），
由點M、N的坐標得，直線MN的表達式為：y＝（m+n）（x﹣m）+m2﹣4，
將（0，0）代入上式得：0＝（m+n）（0﹣m）+m2﹣4，
整理得：mn＝﹣4；
同理可得，直線AM的表達式為：y＝（m+2）（x﹣2），
當y＝﹣4時，就﹣4＝（m+2）（x﹣2），
解得：xD＝﹣，
同理可得：xE＝﹣2﹣，
∵mn＝﹣4，
則DE＝xD﹣xE＝﹣﹣（﹣2﹣）＝4﹣4（）＝4﹣4×＝2．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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