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反比例函數專項訓練-2025年中考數學一輪復習
一．選擇題（共6小題）
1．（2024 沙坪壩區模擬）反比例函數的圖象一定經過的點是（　?。?br/>A．（1，6） B．（﹣1，﹣6） C．（2，﹣3） D．（3，2）
2．（2024 雨花區校級二模）若函數y＝的圖象在第二、四象限內，則m的取值范圍是（　?。?br/>A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＜2
3．（2024 萊蕪區一模）若點A（1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函數的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（　?。?br/>A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
4．（2024 赤峰一模）若反比例函數的圖象經過點A（a，b），則下列結論中不正確的是（　?。?br/>A．點A位于第二或四象限
B．圖象一定經過（﹣a，﹣b）
C．在每個象限內，y隨x的增大而減小
D．圖象一定經過（﹣b，﹣a）
5．（2024 新邵縣三模）已知反比例函數的圖象如圖所示，若點P的坐標為（2，3），則k的值可能為（　?。?br/>A．3 B．6 C．7 D．8
6．（2024 廣州模擬）已知點A與點B分別在反比例函數與的圖象上，且OA⊥OB，則tan∠BAO的值為（　?。?br/>A． B． C．2 D．4
二．填空題（共6小題）
7．（2024 封開縣二模）已知閉合電路的電壓為定值，電流I（單位：A）與電路的電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，根據下表，則a＝　 ?。?br/>I/A 10 2.4 2 1.2
R/Ω a 50 60 100
8．（2024 茌平區一模）驗光師通過檢測發現近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，y關于x的函數圖象如圖所示．經過一段時間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距由0.25米調整到0.5米，則近視眼鏡的度數減少了 　 　度．
9．（2024 陳倉區一模）如圖，在平面直角坐標系中，過原點O的直線交反比例函數y＝圖象于A，B兩點，BC⊥y軸于點C，△ABC的面積為6，則k的值為 　 ?。?br/>10．（2024 商南縣三模）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函數的圖象上．若x1 x2＝﹣2，則y1 y2的值為 　 　．
11．（2024 重慶模擬）如圖，點A是反比例函數在第二象限內圖象上一點，點B是反比例函數在第一象限內圖象上一點，直線AB與y軸交于點C，且AC＝BC，連接OA、OB，則△AOB的面積是 　 　．
12．（2024 雁塔區校級模擬）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函數在第一象限的圖象經過點B，則△OAC與△BAD的面積之差S△OAC﹣S△BAD為 　 ?。?br/>三．解答題（共7小題）
13．（2024 永城市校級二模）如圖，反比例函數的圖象與正比例函數的圖象交于點A，B（4a，1），點C（1，b）在反比例函數的圖象上．
（1）求反比例函數的表達式及點C的坐標．
（2）求△AOC的面積．
14．（2024 渦陽縣三模）如圖，一次函數y＝ax+b的圖象與反比例函數y＝﹣的圖象相交于A（m，1），B（2，n）兩點，與y軸交于點C．
（1）求一次函數的解析式；
（2）設D為線段AC上的一個動點（不包括A，C兩點），過點D作DE∥y軸交反比例函數圖象于點E，當△CDE的面積是4時，求點E的坐標．
15．（2024 聊城模擬）定義：平面直角坐標系xOy中，點P（a，b），點Q（c，d），若c＝ka+1，d＝﹣kb+1，其中k為常數，且k≠0，則稱點Q是點P的“k級變換點”．例如，點（﹣3，7）是點（2，3）的“﹣2級變換點”．
（1）點（1，1）的“3級變換點”是點 　 ??；
（2）設點Q（p，q）是點P（1，1）的“k級變換點”．
①M（p，m）為反比例函數的圖象上，當p＞0時，判斷m，q的大小關系：　 ??；
②點A的坐標為（﹣3，2），若∠QAO＝45°，求點Q的坐標；
（3）若以（n，0）為圓心，1為半徑的圓上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”都在直線y＝﹣x+5上，求n的取值范圍．
16．（2024 河南模擬）如圖，一次函數y＝kx+b與反比例函數y＝的圖象交于A（﹣2，6），B（4，n）兩點，與x軸交于點C，連接OA，OB．
（1）求反比例函數和一次函數的表達式；
（2）求△AOB的面積；
（3）根據圖象直接寫出不等式組≤kx+b＜0的解集．
17．（2024 郾城區校級模擬）如圖，已知一次函數y＝kx+b的圖象與反比例函數的圖象交于A（﹣6，2），B（﹣3，n）兩點，與y軸交于點C．
（1）求k，b，m及n的值．
（2）將直線AB沿y軸向上平移t（t＞0）個單位長度后與反比例函數圖象交于點D，E，與y軸交于點F．若圖中陰影部分（即△ADC）的面積是9，求t的值．
18．（2024 通遼二模）某蔬菜生產基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗階段的某天恒溫系統從開啟到關閉后，大棚內的溫度y（℃）與時間x（h）之間的函數關系，其中線段AB、BC表示恒溫系統開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統關閉階段（即：當10≤x≤24時，大棚內的溫度y（℃）是時間x（h）的反比例函數），已知點A坐標為（0，10）．
請根據圖中信息解答下列問題：
（1）當0≤x≤5時，求大棚內的溫度y與時間x的函數關系式；
（2）求恒溫系統設定的恒定溫度；
（3）若大櫥內的溫度低于10℃時，蔬菜會受到傷害，問這天內，恒溫系統最多可以關閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？
19．（2024 鎮平縣模擬）如圖，陰影部分是小壯同學利用幾何畫板制作的掛件圖案的一部分．他先過點A（1，1）和兩B（x，0）畫直線y＝﹣x+b，又把所畫直線沿x軸向右平移2個單位長度得到直線A′B′，交反比例函數y＝（k≠0）的圖象于點A′，C，點A′，B′分別是點A和點B的對應點，AC∥y軸，A′D＝CD．
（1）求b的值和反比例函數的解析式；
（2）已知DA，A'，A′D圍成的圖形是扇形，求四邊形ABB′C中陰影部分的面積．
反比例函數專項訓練-2025年中考數學一輪復習
參考答案與試題解析
一．選擇題（共6小題）
1．（2024 沙坪壩區模擬）反比例函數的圖象一定經過的點是（　?。?br/>A．（1，6） B．（﹣1，﹣6） C．（2，﹣3） D．（3，2）
【解答】解：A、當x＝1時，y＝﹣6，此函數圖象不經過該點，故本選項不符合題意；
B、當x＝﹣1時，y＝6，此函數圖象不經過該點，故本選項不符合題意；
C、當x＝2時，y＝﹣3，此函數圖象經過該點，故本選項符合題意；
D、當x＝3時，y＝﹣2，此函數圖象不經過該點，故本選項不符合題意；
故選：C．
2．（2024 雨花區校級二模）若函數y＝的圖象在第二、四象限內，則m的取值范圍是（　?。?br/>A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＜2
【解答】解：∵函數y＝的圖象在第二、四象限，
∴m+2＜0，
解得m＜﹣2．
故選：B．
3．（2024 萊蕪區一模）若點A（1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函數的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【解答】解：∵反比例函數中，k＝﹣3＜0，
∴函數圖象的兩個分支分別位于第二、四象限，且在每一象限內，y隨x的增大而增大．
又∵﹣2＜0，
∴點B（﹣2，y2）位于第二象限，
∴y2＞0；
又∵0＜1＜3，
∴點A（2，y1），點C（3，y3）位于第四象限，
∴y1＜y3＜0；
∴y1＜y3＜y2，
故選：C．
4．（2024 赤峰一模）若反比例函數的圖象經過點A（a，b），則下列結論中不正確的是（　?。?br/>A．點A位于第二或四象限
B．圖象一定經過（﹣a，﹣b）
C．在每個象限內，y隨x的增大而減小
D．圖象一定經過（﹣b，﹣a）
【解答】解：∵反比例函數的圖象經過點A（a，b），
∴ab＝（﹣a） （﹣b）＝6，故選項B、D正確，不符合題意；
∵k＝6＞0，
∴圖象位于第一、三象限，故選項A不正確，符合題意；
在每個象限內，y隨x的增大而減小，故選項C正確，不符合題意．
故選：A．
5．（2024 新邵縣三模）已知反比例函數的圖象如圖所示，若點P的坐標為（2，3），則k的值可能為（　　）
A．3 B．6 C．7 D．8
【解答】解：過P作PH⊥y軸于H，交雙曲線于A，
∴點A的縱坐標為3，橫坐標為a，
∴A（a，3），
∴k＝3a＜3×2＝6，
故選：A．
6．（2024 廣州模擬）已知點A與點B分別在反比例函數與的圖象上，且OA⊥OB，則tan∠BAO的值為（　?。?br/>A． B． C．2 D．4
【解答】解：過點A作AC⊥y軸，過點B作BD⊥y軸，則∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠OAC+∠COA＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠OAC＝BOD，
∵∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴△ACO∽△ODB，
∴，
∵點A與點B分別在反比例函數與的圖象上，
∴，S△BOD＝2，
∴，
∴，
∵∠AOB＝90°，
∴；
故選：C．
二．填空題（共6小題）
7．（2024 封開縣二模）已知閉合電路的電壓為定值，電流I（單位：A）與電路的電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，根據下表，則a＝　12?。?br/>I/A 10 2.4 2 1.2
R/Ω a 50 60 100
【解答】解：設電流I（單位：A）與電路的電阻R（單位：Ω）的函數解析式為I＝，
∵當I＝2時，R＝60，
∴2＝，
解得k＝120，
∴I＝，
當I＝10時，10＝，
解得R＝12，
故答案為：12．
8．（2024 茌平區一模）驗光師通過檢測發現近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，y關于x的函數圖象如圖所示．經過一段時間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距由0.25米調整到0.5米，則近視眼鏡的度數減少了 　200　度．
【解答】解：設y＝（k≠0），
∵（0.2，500）在圖象上，
∴k＝500×0.2＝100，
∴函數解析式為：y＝，
當x＝0.25時，y＝＝400，
當x＝0.5時，y＝＝200，
∴度數減少了400﹣200＝200（度），
故答案為：200．
9．（2024 陳倉區一模）如圖，在平面直角坐標系中，過原點O的直線交反比例函數y＝圖象于A，B兩點，BC⊥y軸于點C，△ABC的面積為6，則k的值為 　﹣6　．
【解答】解：由對稱性可知，OA＝OB，
∴S△AOC＝S△BOC＝S△ABC，
∵BC⊥y軸，△ABC的面積為6，
∴S△BOC＝S△ABC＝＝|k|，
又∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案為：﹣6．
10．（2024 商南縣三模）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函數的圖象上．若x1 x2＝﹣2，則y1 y2的值為 　﹣8?。?br/>【解答】解：∵點A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函數的圖象上，
∴x1 y1＝x2 y2＝4，
∴y1＝，y2＝，
∴y1y2＝＝＝﹣8．
故答案為：﹣8．
11．（2024 重慶模擬）如圖，點A是反比例函數在第二象限內圖象上一點，點B是反比例函數在第一象限內圖象上一點，直線AB與y軸交于點C，且AC＝BC，連接OA、OB，則△AOB的面積是 　3　．
【解答】解：分別過A、B兩點作AD⊥x軸，BE⊥x軸，垂足為D、E，
∵AC＝CB，∴OD＝OE，
設A（﹣a，），則B（a，），
故S△AOB＝S梯形ADBE﹣S△AOD﹣S△BOE
＝（+）×2a﹣a×﹣a×
＝3，
故答案為：3．
12．（2024 雁塔區校級模擬）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函數在第一象限的圖象經過點B，則△OAC與△BAD的面積之差S△OAC﹣S△BAD為 　5　．
【解答】解：設△OAC和△BAD的直角邊長分別為a、b，
則B點坐標為（a+b，a﹣b），
∵點B在反比例函數在第一象限的圖象上，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝10，
∴，
故答案為：5．
三．解答題（共7小題）
13．（2024 永城市校級二模）如圖，反比例函數的圖象與正比例函數的圖象交于點A，B（4a，1），點C（1，b）在反比例函數的圖象上．
（1）求反比例函數的表達式及點C的坐標．
（2）求△AOC的面積．
【解答】解：（1）將B（4a，1）代入得，，
解得：a＝1，
∴B（4，1），
將B（4，1）代入得，，
解得：k＝4，
∴反比例函數的表達式為．
將C（1，b）代入得，，
解得：b＝4，
∴C（1，4）．
（2）如圖，記AC與x軸的交點為D，
由題意可知，A、B關于O成中心對稱，
∴A（﹣4，﹣1），
設直線AC的解析式為y＝kx+b，
將A（﹣4，﹣1），C（1，4）代入得，，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝x+3，
當y＝0時，0＝x+3，
解得：x＝﹣3，
∴D（﹣3，0），
∴，
∴△AOC的面積為．
14．（2024 渦陽縣三模）如圖，一次函數y＝ax+b的圖象與反比例函數y＝﹣的圖象相交于A（m，1），B（2，n）兩點，與y軸交于點C．
（1）求一次函數的解析式；
（2）設D為線段AC上的一個動點（不包括A，C兩點），過點D作DE∥y軸交反比例函數圖象于點E，當△CDE的面積是4時，求點E的坐標．
【解答】解：（1）把A（m，1），B（2，n）代入中，得：
A（﹣6，1），B（2，﹣3）．
又∵A（﹣6，1），B（2，﹣3）在一次函數y＝ax+b的圖象上，
∴，解得，
∴一次函數的解析式為．
（2）由（1）可知C（0，﹣2），設點D的坐標為，則．
∴，
∴．
解得m＝﹣2，
∴E（﹣2，3）．
15．（2024 聊城模擬）定義：平面直角坐標系xOy中，點P（a，b），點Q（c，d），若c＝ka+1，d＝﹣kb+1，其中k為常數，且k≠0，則稱點Q是點P的“k級變換點”．例如，點（﹣3，7）是點（2，3）的“﹣2級變換點”．
（1）點（1，1）的“3級變換點”是點 ?。?，﹣2）??；
（2）設點Q（p，q）是點P（1，1）的“k級變換點”．
①M（p，m）為反比例函數的圖象上，當p＞0時，判斷m，q的大小關系：　m＞q??；
②點A的坐標為（﹣3，2），若∠QAO＝45°，求點Q的坐標；
（3）若以（n，0）為圓心，1為半徑的圓上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”都在直線y＝﹣x+5上，求n的取值范圍．
【解答】解：（1）∵3×1+1＝4，1×（﹣3）+1＝﹣2，
∴點（1，1）的“3級變換點”是點（4，﹣2），
故答案為：（4，﹣2）；
（2）①∵點Q（p，q）是點P（1，1）的“k級變換點，
∴p＝k+1，q＝﹣k+1，
∵M（p，m），
∴M（k+1，m），
∵M（p，m）為反比例函數的圖象上，
∴（k+1）m＝4，
∴m＝，
∴m﹣q＝﹣（﹣k+1）＝，
∵p＞0，
∴k+1＞0，
∴＞0，
∴m＞q，
故答案為：m＞q；
②由題意得，所以點Q在直線y＝﹣x+2上．
設點A繞坐標原點O按順時針方向旋轉90°至點M，連結AM，交直線y＝﹣x+2于點Q，作AH⊥x軸于H，MK⊥x軸于K．
在△AHO和△OKM中，
，
∴△AHO≌△OKM（AAS），
∴M（2，3），
∴lAM：，
聯立y＝﹣x+2，得Q（，）；
（3）設A（x1，y1），B（x2，y2）是圓上兩個點，
則它們的一級變換點A′（x1+1，﹣y1+1），B′（x2+1，﹣y2+1），
∵該兩點在y＝﹣x+5上，
∴﹣y1+1＝﹣x1﹣1+5，﹣y2+1＝﹣x2﹣1+5，
即A，B兩點在y＝x﹣3上，
由直線與圓的位置關系可得，當時，圓與直線y＝x﹣3相切，
∴當時，圓與直線y＝x﹣3有2個公共點，
∴．
16．（2024 河南模擬）如圖，一次函數y＝kx+b與反比例函數y＝的圖象交于A（﹣2，6），B（4，n）兩點，與x軸交于點C，連接OA，OB．
（1）求反比例函數和一次函數的表達式；
（2）求△AOB的面積；
（3）根據圖象直接寫出不等式組≤kx+b＜0的解集．
【解答】解：（1）∵點A（﹣2，6）在反比例函數 的圖象上，
∴m＝﹣2×6＝﹣12．
∴反比例函數的表達式為 ．
∵點B（4，n）在反比例函數 的圖象上，．
∴點B（4，﹣3），
把點A（﹣2，6），B（4，﹣3）的坐標分別代入y＝kx+b，得，
，解得，
∴一次函數的表達式為 ．
（2）在 中，令y＝0，得x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2．
∴．
即△AOB的面積是9．
（3）根據函數圖象不等式解集為：2＜x≤4．
17．（2024 郾城區校級模擬）如圖，已知一次函數y＝kx+b的圖象與反比例函數的圖象交于A（﹣6，2），B（﹣3，n）兩點，與y軸交于點C．
（1）求k，b，m及n的值．
（2）將直線AB沿y軸向上平移t（t＞0）個單位長度后與反比例函數圖象交于點D，E，與y軸交于點F．若圖中陰影部分（即△ADC）的面積是9，求t的值．
【解答】解：（1）把A（﹣6，2）代入反比例函數得，m＝﹣6×2＝﹣12，
∴反比例函數的解析式為y＝﹣，
把B（﹣3，n）代入y＝﹣得，n＝＝4，
∴B（﹣3，4），
把A（﹣6，2），B（﹣3，4）代入y＝kx+b得：，
解得，
∴k＝，b＝6，m＝﹣12，n＝4；
（2）由（1）知yAB＝x+6，
令x＝0，則y＝6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∵將直線AB沿y軸向上平移t（t＞0）個單位長度后直線DE，
∴DE∥AB，且CF＝t，
連接AF，
∵AB∥DE，
∴S△ACD＝S△ACF，
∴S△ACF＝9，
過A作AH⊥y軸于H，
∴AH＝6，
∴S△ACF＝CF AH＝9，
∴CF＝3，
即t＝3．
18．（2024 通遼二模）某蔬菜生產基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗階段的某天恒溫系統從開啟到關閉后，大棚內的溫度y（℃）與時間x（h）之間的函數關系，其中線段AB、BC表示恒溫系統開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統關閉階段（即：當10≤x≤24時，大棚內的溫度y（℃）是時間x（h）的反比例函數），已知點A坐標為（0，10）．
請根據圖中信息解答下列問題：
（1）當0≤x≤5時，求大棚內的溫度y與時間x的函數關系式；
（2）求恒溫系統設定的恒定溫度；
（3）若大櫥內的溫度低于10℃時，蔬菜會受到傷害，問這天內，恒溫系統最多可以關閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？
【解答】解：（1）設線段AB解析式為y＝kx+b（k≠0），
∵線段AB過點（0，10），（2，14），代入得：
，
解得，
∴線段AB的解析式為：y＝2x+10（0≤x≤5）；
（2）∵AB解析式為：y＝2x+10，
當x＝5時，y＝2x+10＝20，
∴恒溫系統設定恒溫為20℃；
（3）設雙曲線CD解析式為：，
∵C（10，20），
∴k2＝200，
∴雙曲線CD解析式為：，
把y＝10代入中，解得：x＝20，
∴20﹣10＝10，
∴恒溫系統最多關閉10小時，蔬菜才能避免受到傷害．
19．（2024 鎮平縣模擬）如圖，陰影部分是小壯同學利用幾何畫板制作的掛件圖案的一部分．他先過點A（1，1）和兩B（x，0）畫直線y＝﹣x+b，又把所畫直線沿x軸向右平移2個單位長度得到直線A′B′，交反比例函數y＝（k≠0）的圖象于點A′，C，點A′，B′分別是點A和點B的對應點，AC∥y軸，A′D＝CD．
（1）求b的值和反比例函數的解析式；
（2）已知DA，A'，A′D圍成的圖形是扇形，求四邊形ABB′C中陰影部分的面積．
【解答】解：（1）∵直線 y＝﹣x+b 過點A（1，1），
∴﹣1+b＝1，解得b＝2．
∴直線AB的解析式為 y＝﹣x+2．
∴點B的坐標為（2，0）．
∵點A'，B'分別是點A（1，1），B（2，0）的對應點，
∴點A'的坐標為（3，1），點B'的坐標為（4，0）．
∴直線A'B'的解析式為y＝﹣x+4．
∵點A'（3，1）在反比例函數 的圖象上，
∴，即k＝3．
∴反比例函數的解析式為 ；
（2）解方程組，得或，
∴點C的坐標為（1，3）．
∵AC∥y軸，AA′∥x軸，
∴∠CAA'＝90°．
由點A，A'，C的坐標，可知AC＝AA'＝2，
∴A′C＝＝＝2，
在等腰Rt△CAA′中，A′D＝CD，
∴AD＝＝A′D＝，∠ADA'＝90°，
∵AA′∥x軸，AB//A'B'，
∴四邊形ABB'A'是平行四邊形．
∴S陰影＝S扇形DAA′+S平行四邊形ABB′A′′﹣2（S扇形ADA′﹣S△ADA′）＝S平行四邊形ABB′A′′+2S△ADA′﹣S扇形ADA′＝2×1+2×．
∴四邊形 ABB'C中陰影部分的面積為．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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