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吉林省普通高中G8教考聯(lián)盟2024-2025學(xué)年上學(xué)期期末考試
高一年級 數(shù)學(xué)
本試卷共4頁。考試結(jié)束后，將答題卡交回。
注意事項：1．答卷前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。
2．答題時請按要求用筆。
3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。
4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。
5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，，則 ( )
A． B． C． D．
2．已知冪函數(shù)，且的圖象在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)( )
A．0 B． C．3 D．3或
3．的定義域為( )
A． B．
C． D．
4．“”是“”的 ( )
A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
5．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是單調(diào)遞增的，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為 ( )
A． B． C． D．
6．某機器上有相互嚙合的大小兩個齒輪，大輪有50個齒，小輪有15個齒，大輪每分鐘轉(zhuǎn)3圈，若小輪的半徑為，則小輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長是 ( )．
B． C． D．
7．已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，且在區(qū)間上不單調(diào)，則 ( )
A． B． C． D．
8．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是 ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．下列命題正確的是 ( )
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
10．下列說法正確的是 ( )
A．命題：“”的否定是“”
B．函數(shù)恒過定點
C．函數(shù)的值域為
D．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為
11．如圖，在扇形OPQ中，半徑，圓心角，C是扇形弧PQ上的動點，矩形內(nèi)接于扇形，記．則下列說法正確的是 ( )
A．弧PQ的長為
B．扇形OPQ的面積為
C．當(dāng)時，矩形的面積為
D．矩形的面積的最大值為
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．計算= .
13．若則函數(shù)的最大值為 .
14．已知函數(shù)，. 若對于任意，總存在唯一的，使得，則的取值范圍為 .
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點.
(1)求；
(2)求的值.
16．（15分）已知函數(shù)是奇函數(shù)，
(1)求的值；
(2)若是區(qū)間上的減函數(shù)且，求實數(shù)的取值范圍.
17．（15分）為了貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，長春市一鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)號召，努力打造“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某生態(tài)水果的單株產(chǎn)量（單位：）與單株肥料費用（單位：元）滿足如下關(guān)系：，單株總成本投入為（單位：元）．已知這種水果的市場售價為10元，且供不應(yīng)求，記該生態(tài)水果的單株利潤為（單位：元）．
(1)求的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)投入的單株肥料費用為多少元時，該生態(tài)水果的單株利潤最大？最大利潤是多少元？
18．（17分）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若，，求的值.
19．（17分）已知函數(shù)是偶函數(shù)．
(1)求實數(shù)的值；
(2)若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值；
(3)若關(guān)于的方程有兩根，求實數(shù)的取值范圍．
吉林省普通高中G8教考聯(lián)盟2024-2025學(xué)年上學(xué)期期末考試
高一年級 數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案
一、單選題
1.【答案】D
【詳解】依題意，，又因為，
則.
故選：D.
2.【答案】C
【詳解】因為冪函數(shù)，且的圖象在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，解得.
故選：C
3.【答案】A
【詳解】令，
函數(shù)的定義域為：，
函數(shù)的定義域：，則，即，
所以的定義域為
故選：A
4.【答案】B
【詳解】因為，等價于即，解得，
所以是的充要條件.
故選：B.
5.【答案】C
【詳解】依題意，，
由函數(shù)是偶函數(shù)，得，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
所以的大小關(guān)系為.
故選：C.
6.【答案】B
【詳解】由大輪有50個齒，小輪有15個齒，大輪每分鐘轉(zhuǎn)3圈，得小輪每分鐘轉(zhuǎn)的圈數(shù)為圈，
因此小輪每秒鐘轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為，
所以小輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長是.
故選：B
7.【答案】A
【詳解】為偶函數(shù)，
故，故，
由于，故，則，
令,
解得，
故的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，
由于區(qū)間關(guān)于原點對稱，要使在區(qū)間上不單調(diào)，故，
故選：A
8.【答案】C
【詳解】函數(shù)的零點，
即方程和的根，函數(shù)的圖象，如下圖所示：
由圖可得方程和的根，共有4個根，即函數(shù)有4個零點．
故選：C．
二、多選題
9.【答案】AC
【詳解】對于A，由可得，又，因此可得，即A正確；
對于B，若，此時，即B錯誤；
對于C，若，在上單調(diào)遞減，所以，即C正確；
對于D，由可得，即，
同理，由可得，即，所以，即D錯誤.
故選：AC
【答案】ABD
【詳解】對于A：命題：“”的否定是“”，故A正確；
對于B：由時，，故函數(shù)恒過定點，故B正確；
對于C：因為，所以，
所以函數(shù)的值域為，故C錯誤.
對于D：因為函數(shù)的定義域為，
對于函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的定義域為，故D正確；
故選：ABD
11.【答案】AD
【詳解】由題意知，在扇形OPQ中，半徑，圓心角，
故弧PQ的長為，A正確；
扇形OPQ的面積為，B錯誤；
在中，，
在中，,
則的面積
，
當(dāng)時，又，故，
則，
則，
則，
即矩形的面積為，C錯誤；
由C的分析可知矩形的面積，
當(dāng)，即時，矩形的面積取最大值，D正確，
故選：AD
三、填空題
12.【答案】20
【詳解】
=20.
13.【答案】
【詳解】解：由，解得．
①當(dāng)時，函數(shù)，其最大值；
②當(dāng)或時，函數(shù)，其最大值為．
綜上可知：函數(shù)的最大值是．
故答案為：．
14.【答案】
【詳解】當(dāng)時，有，此時，
令，則，
因為時，所以，
因為對于的任意取值，在上有唯一解，
即在上有唯一解，如圖所示：
由圖可知，，所以.
故答案為：.
四、解答題
15.【答案】(1)，，；
(2)
【詳解】（1）因為角的終邊經(jīng)過點，由三角函數(shù)的定義知
，——————————————2分
，————————————4分
——————————————6分
（2）由誘導(dǎo)公式，得
.——————————13分
（說明:誘導(dǎo)公式化簡正確給4分，最后結(jié)果正確給3分；若化成齊次式求解，同樣標(biāo)準(zhǔn)給分）
16.【答案】(1)(2)
【詳解】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，
，解得 ————————3分
且，解得 ————————6分
經(jīng)檢驗，符合題意 ————————7分.
（2），
.
是奇函數(shù)，，————————9分
是區(qū)間上的減函數(shù)，
，即有，————————13分
，則實數(shù)的取值范圍是.——————————15分
17.【答案】(1)
(2)當(dāng)投入的單株肥料費用為3元時，該生態(tài)水果的單株利潤最大，最大利潤是270元
【詳解】（1）由題意可得
所以單株利潤的函數(shù)解析式為：————————6分
（2）當(dāng)時，為開口向上的拋物線，
其對稱軸為：，
所以當(dāng)時， ————————9分
當(dāng)時，,
， ————————————11分
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，此時，————————13分
綜上所述：
當(dāng)投入的單株肥料費用為3元時，該生態(tài)水果的單株利潤最大，最大利潤是270元．—————15分
18.【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）
————————5分
令，
解得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為；————————8分
（2）因為，所以，
，即，——————10分
所以， ——————————12分
， ——————————14分
所以
. ————————————17分
19.【答案】(1) (2) (3)或或
【詳解】（1）由題意知的定義域為R，
，
整理得，
而
，
∴； ————————————5分
（2），
∴，
依題意，函數(shù)的最小值為，
令，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.，————————8分
故的最小值為﹣3，
則，或，解得；————————11分
（3）由，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，
由函數(shù)為偶函數(shù)，可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
令，有，
方程①，
可化為，
整理為②，——————————12分
，
（ⅰ）當(dāng)時，或，
時，方程②的解為，可得方程①僅有一個解為；
時，方程②的解為，可得方程①有兩個解；——————————14分
（ⅱ）當(dāng)時，可得或，
令，
則有一正一負(fù)兩根，,
或. ——————————————16分
綜上所述或或.——————————————17分
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數(shù)學(xué)試題 第1頁 （共2頁） 數(shù)學(xué)試題 第2頁 （共2頁）

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