資源簡介

吉林省普通高中G8教考聯盟2024-2025學年上學期期末考試
高二年級 數學
本試卷共4頁。考試結束后，將答題卡交回。
注意事項：1．答卷前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。
2．答題時請按要求用筆。
3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。
4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。
5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，且，那么（ ）
A． B． C． D．5
3．在數列中，若，，則下列數不是中的項的是（ ）
A． B． C． D．
4．過點的直線與橢圓相交于兩點，且恰為線段的中點，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
5．已知為等差數列的前項和，公差為．若，則（ ）
A． B． C． D． 有最小值
6．已知點為拋物線上一動點，點為圓：上一動點，點為拋物線的焦點，點到軸的距離為．若的最小值為3．則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知數列滿足，在，之間插入個1，構成數列：，1，，1，1，，1，1，1，1，，…，則數列的前100項的和為（ ）
A．151 B．170 C．182 D． 207
8．已知雙曲線的左右焦點分別為，，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線的交點為，若的內切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．已知空間中三點，則（ ）
A．
B．方向上的單位向量是
C．是平面的一個法向量
D．在上的投影向量的模為
10．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，圓與的漸近線相切．為右支上的動點，過點作雙曲線的兩漸近線的垂線，垂足分別為，則以下結論中正確的有（ ）
A．兩漸近線夾角為 B．的離心率
C．為定值 D．的最小值為
11．已知是數列的前項和，且，（），則下列結論正確的是（ ）
A．數列為等比數列 B．數列為常數列
C． D．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知圓，直線過點且與圓相切，則直線的方程為 ．
13．已知數列的前項和為，則 ．
14．設分別是橢圓的左 右焦點，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內的一個交點，延長與橢圓交于點Q，若，則直線的斜率為 ．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知橢圓的右焦點為，且經過點
（1）求橢圓C的標準方程：
（2）經過橢圓C的右焦點作傾斜角為的直線l，直線l與橢圓相交于M，N兩點，求線段MN的長．
16．（15分）已知數列的前n項和為，，．
（1）證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；
（2）求數列的前n項和．
17．（15分）如圖，在四棱錐中，平面，，，為的中點．
（1）若，證明：平面；
（2）已知，，，斜線和平面所成的角的正切值為2，求平面和平面的夾角的余弦值．
18．（17分）已知數列的前項和為，，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列，
（ⅰ）求數列的前項和；
（ⅱ）若成等比數列，求數列中的最大項及此時n的值．
19．（17分）已知動點M（不與坐標原點O重合）在曲線上運動，N為線段OM中點，記N的軌跡為曲線．
（1）求N的軌跡方程；
（2）P為不在x軸上的動點，過點作（1）中曲線的兩條切線，切點為A，B；直線AB與PO垂直(O為坐標原點)，與x軸的交點為R，與PO的交點為Q，
（ⅰ）求證：R是一個定點；
（ⅱ）求的最小值．
吉林省普通高中G8教考聯盟2024-2025學年上學期期末考試
高二年級 數學學科參考答案
一、單選題
1． 【答案】A
【詳解】因為直線的斜率為，故該直線的傾斜角為.
2．【答案】C
【詳解】由向量，，且，得，則，則.
3． 【答案】A
【詳解】因為，，所以，，，，…，故是以為周期的周期數列，-1不是數列中的項，
4． 【答案】D
【詳解】顯然在橢圓內，當直線的斜率不存在，即直線方程為時，可得，或，，此時不是線段的中點，所以直線的斜率存在，設，，則，兩式相減并化簡得，又，，代入得，解得，
5． 【答案】B
【詳解】對于選項A：因為數列為等差數列，則，即，
可得，則，故A錯誤；對于選項B：因為，則，所以，故B正確；對于選項D：因為，且，可知無最小值，故D錯誤，對于選項C：因為，所以，故C錯誤；
6.【答案】B
【詳解】圓的圓心，半徑，拋物線的焦點為，準線方程為，則由拋物線的定義知點到y軸的距離為，則，由圖知，當共線，且在線段上時，最短，此時，而，則，所以.
7．【答案】B
【詳解】可知在數列中中的項有7項，則這7項的和為77，則的前100項和為77+93=170
8．【答案】D
【詳解】設雙曲線的半焦距為c，則，由對稱性，不妨令與平行的漸近線為，則直線的方程為：，即，設的內切圓與三邊相切的切點分別為如圖所示，
則，即，即軸，圓的半徑為，則，點到直線的距離為，整理得且，解得，所以雙曲線的離心率.
二、多選題
9． 【答案】ACD
【詳解】由題意：，，.
對A：因為，故A正確；
對B：因為，即方向上的單位向量是，故B錯誤；
對C：因為，，
所以成立，故是平面的一個法向量，故C正確；
對D：由，故D正確.
10． 【答案】BCD
【詳解】因為圓與的漸近線相切，所以圓心到漸近線的距離等于圓的半徑，即，所以雙曲線，所以雙曲線漸近線為，所以兩漸近線的傾斜角為和，則漸近線夾角為，則A錯誤；
因為，所以離心率，B正確；設，則，所以，C正確；因為由余弦定理可得所以，當且僅當時，等號成立，此時點為雙曲線的頂點，所以的最小值為，D正確.
11． 【答案】AD
【詳解】當時，，即，又，故為等比數列，A正確；
時，，即，故不為常數列，B錯誤；
故為等比數列，首項為2，公比為3，故，故，，……，，以上20個式子相加得：，C錯誤；
因為，所以，兩式相減得：，當時，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符和該式，故，令得：，當時，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符號該式，故，令得：，綜上：，D正確.
三、填空題
12． 【答案】和
【詳解】圓的圓心和半徑分別為，當直線無斜率時，此時：，與圓相切，符合題意，當直線有斜率時，設，此時圓心到直線的距離為，解得，此時直線方程為，即，綜上可得和
13．【答案】100
【詳解】，，是等比數列，，
14.【答案】- 4
【詳解】如圖，設，則，因為是圓的直徑，所以，所以，即，所以，，所以直線的斜率為.
四、解答題
15. 【詳解】（1）由題意得，——2分
解得，——2分
故橢圓的標準方程為．——1分
（2）由題意可得直線的方程為，
與橢圓方程聯立，得，——2分
設，，則，——2分
故——2分
．——2分
16． 【詳解】（1）由，則，又，——3分
所以數列是首項、公差均為的等差數列，則，——2分
所以.——2分
（2）由，則，——3分
所以，——3分
所以.——2分
17．【詳解】（1）因為平面，，平面，可知，，
在中，為的中點，則，因為，所以，則，，
在中，，——2分
即，
所以，即，——2分
又因為，平面，平面，——2分
所以平面．
（2）由題意可知：平面，
所以是斜線在平面上的射影，即為和平面所成的角，
在中，，所以．
又因為，故，，兩兩垂直，
以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，——2分
則，，，，，，
可得，，，，
設平面的法向量為，
則，即，可取；——2分
設平面的法向量為，
則，即，可取；——2分
從而可知，——2分
所以平面和平面的夾角的余弦值為.——1分
18． 【詳解】（1）∵，∴當時，，
兩式相減得，，整理得，即，——2分
∴當時，，滿足此式，——2分
∴.——1分
①由（1）得，，∴，
，——2分
，——2分
∴——2分.
②由①得，，∴，
∵成等比數列，∴，即，
∴，——2分
∴，由在上單調遞減，在上單調遞增，——2分
則當時單調遞增，當時單調遞減，，，因此最大項為，此時或．——2分
19．【詳解】（1）設，， N為線段OM中點，
，——2分
，又，
代入得．故點N的軌跡方程是——3分．
（2）（ⅰ）證明：設點，
設以為切點的切線方程為，
聯立拋物線方程,可得，由，得，
所以切線AP：，
同理切線BP：——3分
點P在兩條切線上，則，
由于均滿足方程，故此為直線AB的方程，
由于垂直即，則，——2分
所以直線AB的方程，恒過；——1分
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，則，直線
聯立直線AB與直線OP的方程得，——2分
——2分
因此，時取等號.
即的最小值是.——2分
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