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2023-2024學年河北省金太陽高二（下）期末數(shù)學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知命題：，，命題：，，則( )
A. 和都是真命題 B. 和都是真命題
C. 和都是真命題 D. 和都是真命題
3.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，則( )
A. B. C. D.
4.已知函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5.已知，則下列判斷正確的是( )
A. B. C. D.
6.已知，為正實數(shù)，則“”是“”的( )
A. 充要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
7.蘇格蘭數(shù)學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化大數(shù)之間的計算而發(fā)明了對數(shù)，利用對數(shù)運算可以求出大數(shù)的位數(shù)已知，則是( )
A. 位數(shù) B. 位數(shù) C. 位數(shù) D. 位數(shù)
8.若直線是曲線與的公切線，則直線的方程為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.如圖所示，連接棱長為的正方體各面的中心得到一個多面體容器，從頂點處向該容器內注水，直至注滿水為止圖中水面的高度為，水面對應四邊形的面積為，容器內水的體積為，則下列說法正確的是( )
A. 是的函數(shù) B. 是的函數(shù) C. 是的函數(shù) D. 是的函數(shù)
10.定義在上的函數(shù)滿足，則( )
A. B.
C. 為偶函數(shù) D. 可能在上單調遞增
11.已知函數(shù)，，且，則下列說法正確的是( )
A. B.
C. D. 的取值范圍為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知是函數(shù)的極大值點，則 ______．
13.已知函數(shù)，則不等式的解集為______．
14.若不等式對恒成立，則的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知：，，：或．
若命題是真命題，求實數(shù)的取值范圍；
若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
16.本小題分
已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)滿足．
求函數(shù)和的解析式；
對任意實數(shù)恒成立，求的取值范圍．
17.本小題分
已知函數(shù)．
若，求的最小值；
證明：曲線是中心對稱圖形．
18.本小題分
已知函數(shù)．
討論的導函數(shù)的單調性；
若對任意，恒成立，求的取值范圍．
19.本小題分
已知函數(shù)，，若存在實數(shù)，，使得，則稱與為“互補函數(shù)”，，為“互補數(shù)”．
判斷函數(shù)與是否為“互補函數(shù)”，并說明理由．
已知函數(shù)為“互補函數(shù)”，且，為“互補數(shù)”．
是否存在，，使得？說明理由．
若，，用的代數(shù)式表示的最大值．
參考答案
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15.解：因為命題是真命題，所以命題是假命題，即關于的方程無實數(shù)根．
當時，方程化為，解集為空集，符合題意；
當時，，解得．
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．
根據的結論，可知：若命題是真命題，則，．
若是的必要不充分條件，
則設或，，，，
即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．
16.解：由為冪函數(shù)，得，解得或．
因為為偶函數(shù)，
所以，
則；
由，
可得，
令，
則，
所以；
由，
可得，，
故，
令，，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以，即，
所以的取值范圍為．
17.解：，即，
因為，
當且僅當時，等號成立，所以，
故的最小值為．
證明：由題可知，
所以曲線關于點對稱，即曲線是中心對稱圖形．
18.解：由題可知，
設，則，
當時，在上恒成立，所以在上單調遞增；
當時，令，得，令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
綜上所述，當時，是上的增函數(shù)，
當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
當時，在上單調遞增，，
則，在上單調遞增，故成立；
當時，，所以在上單調遞增，，
則，單調遞增，故成立；
當時，當時，，在上單調遞減，
又，所以，在上單調遞減，
則不成立．
綜上，的取值范圍為．
19.解：因為，所以，
當且僅當，即時取等號，所以
因為，所以，當時，，當時，，
則在上單調遞增，在上單調遞減，所以，
所以，故不存在實數(shù)，，使得，
則與不是”互補函數(shù)”．
存在，，使得．
由，，得，
則，，故存在．
令，，則，，
兩式相加可得，
兩式相減可得，
所以，
故．
令，，
則．
因為，所以，，
故當時，，即在上是減函數(shù)．
因為，，
所以的最大值為．
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