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2024-2025學(xué)年四川省成都市電子科技大學(xué)實驗中學(xué)高二（上）期中
數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.直線的傾斜角為( )
A. B. C. D.
2.已知方程表示雙曲線，則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
3.設(shè)定點，，動點滿足條件，則點的軌跡是( )
A. 橢圓 B. 線段 C. 射線 D. 橢圓或線段
4.已知直線：和直線：，則“”是“”的( )
A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
5.已知為雙曲線的右焦點，直線與的兩條漸近線分別交于，兩點，為坐標原點，是面積為的直角三角形，則的方程為( )
A. B. C. D.
6.已知直線：上動點，過點向圓引切線，則切線長的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知點為橢圓：的一點，，分別為橢圓的左，右焦點，的平分線交軸于點，則的面積為( )
A. B. C. D.
8.已知雙曲線：的左，右焦點分別是，，其中，過右焦點的直線與雙曲線的右支交與，兩點，則下列說法中不正確的是( )
A. 弦的最小值為
B. 若，則的周長
C. 若的中點為，且的斜率為，則
D. 若直線的斜率為，則雙曲線的離心率
二、多選題：本題共3小題，共104分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為，，，的個小球，從中任意摸出兩個球設(shè)事件“摸出的兩個球的編號之和小于”，事件“摸出的兩個球的編號都大于”，事件“摸出的兩個球中有編號為的球”，則( )
A. 事件與事件是互斥事件 B. 事件與事件是對立事件
C. 事件與事件是相互獨立事件 D. 事件與事件是互斥事件
10.瑞士數(shù)學(xué)家伯努利于年發(fā)現(xiàn)了雙紐線，即在平面直角坐標系中，點到兩個定點，的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，則當時，下列結(jié)論正確是( )
A. 點在雙紐線上
B. 點的軌跡方程為
C. 雙紐線關(guān)于坐標軸對稱
D. 滿足的點有個
11.以下四個命題表述正確的是( )
A. 直線恒過定點
B. 圓上有且僅有個點到直線的距離都等于
C. 圓與圓恰有三條公切線，則
D. 已知圓：，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線、，、為切點，則直線經(jīng)過定點
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.某同學(xué)進行投籃訓(xùn)練，在甲、乙、丙三個不同的位置投中的概率分別，，，該同學(xué)站在這三個不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則的值為______．
13.從雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，設(shè)為線段的中點，為原點坐標，則______．
14.已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知直線：．
若直線過點，且，求直線的方程；
若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程．
16.本小題分
在平面直角坐標系中，已知點，，動點滿足．
求動點的軌跡方程；
將點和點并入點的軌跡得曲線，若過點的直線與曲線有且只有一個公共點，求直線的方程．
17.本小題分
已知橢圓：的焦距為，離心率為．
求的標準方程；
若，直線：交橢圓于，兩點，且的面積為，求的值．
18.本小題分
已知雙曲線的焦距為且左右頂點分別為，，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點．
求雙曲線的方程；
若直線的斜率為，求弦長；
記直線，的斜率分別為，，證明：是定值．
19.本小題分
已知、分別是橢圓的左、右頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于、兩個不同的點、與、不重合．
求橢圓的焦距和離心率；
若點在以線段為直徑的圓上，求的值；
若，設(shè)為坐標原點，直線、分別交軸于點、，當且時，求的取值范圍．
參考答案
1.
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4.
5.
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8.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：因為直線 的方程為，
所以直線 的斜率為．
因為，
所以直線的斜率為．
因為直線 過點，
所以直線的方程為，即．
因為直線，且直線與直線之間的距離為，
所以可設(shè)直線的方程為，
所以，解得或．
故直線的方程為或．
16.解：因為點，，設(shè)，
所以，
又，所以，所以，
所以動點軌跡方程為．
因為曲線的方程為，其為以原點為圓心，為半徑的圓，
又過的直線與圓相切，
而圓心到直線的距離為，直線過點，則直線的方程可以為；
當直線的斜率存在時，設(shè)：，即，
由，得，此時直線方程為，
所以直線的方程為或．
17.解：由題意得，，，
又，則，
則，
所以的標準方程為．
由題意設(shè)，，如圖所示：
聯(lián)立，
整理得，，
則，，
故．
設(shè)直線與軸的交點為，
又，則，
故，
結(jié)合，解得．
18.解：因為雙曲線的焦距為，
所以，
解得，
又，
所以，
解得，
則雙曲線的方程為；
易知直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
設(shè)，，
此時恒成立，
由韋達定理得，，
所以；
證明：設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，消去并整理得，
此時，
由韋達定理得，，
此時，
因為，，
所以
．
故為定值，定值為．
19.解：因為橢圓，
所以，，
可得，
則橢圓的焦距，離心率；
不妨設(shè)直線的方程為，，，
易知，
聯(lián)立，消去并整理得，
此時，
解得，
由韋達定理得，，
若點在以線段為直徑的圓上，
此時，
即，
整理得，
即，
因為，，
所以，
整理得，
解得，，
因為當時，直線過橢圓的右頂點，不符合題意，
故；
由得，，，
因為，，
所以，，
解得，，
則，
易知，，
解得，，
則，
聯(lián)立，
可得，
因為，
所以
故的取值范圍為
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