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2024-2025學(xué)年河北省唐山市遷安市高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，，則( )
A. B. C. D.
2.已知：，：，則是的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充要也不必要條件
3.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則( )
A. B. C. D.
4.是上的減函數(shù)，則有( )
A. B. C. D.
5.已知函數(shù)，則下列選項正確的是( )
A. B. C. D.
6.已知函數(shù)，則不等式的解集為( )
A. B. 或
C. 或 D.
7.若命題：“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買黃金，售貨員先將的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．若顧客實際購得的黃金為，則( )
A. B. C. D. 以上都有可能
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列命題中，正確的有( )
A. 集合的所有真子集為，
B. 若其中，，則
C. 是菱形是平行四邊形
D.
10.下列不等式中成立的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
11.以下命題正確的是( )
A. 與不是同一個函數(shù)
B. 命題：“，”的否定是“，”
C. 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則正實數(shù)的取值范圍是
D. 設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.函數(shù)的定義域為______．
13.已知，的最大值為______．
14.對，，記，則函數(shù)的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
設(shè)集合，．
Ⅰ當(dāng)，時求，；
Ⅱ若，求的取值范圍．
16.本小題分
已知二次函數(shù)．
Ⅰ當(dāng)且時，解關(guān)于的不等式；
Ⅱ若的解集是，求，．
17.本小題分
一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小，而且這個比值越大，采光效果越好．
若一所公寓窗戶面積與地板面積的總和為，則這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米？
若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果是變好了還是變壞了？
18.本小題分
已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象，如圖所示，并根據(jù)圖象：
Ⅰ畫出函數(shù)在軸右側(cè)的圖象并寫出函數(shù)的增區(qū)間；
Ⅱ?qū)懗龊瘮?shù)的解析式；
Ⅲ若函數(shù)，求函數(shù)的最大值．
19.本小題分
我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)已知．
Ⅰ求證：函數(shù)圖象的對稱中心是；
Ⅱ求；
Ⅲ若、，且，則的最小值．
參考答案
1.
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14.
15.解：Ⅰ當(dāng)時，集合，
又因為，
所以，
所以或，
又因為或，
所以或；
Ⅱ集合，，
顯然，
若，則，
解得，
即的取值范圍為．
16.解：二次函數(shù)．
Ⅰ且時，即，可得，
即不等式的解集為；
Ⅱ的解集是，
即的根為和，
所以，解得．
17.解：設(shè)這所公寓的客戶面積為平方米，則地板面積為平方米，
由題意可得：，解得：．
所以這所公寓的窗戶面積至少為平方米．
設(shè)窗戶面積為平方米，地板面積為平方米，窗戶和地板同時增加平方米，
則，
由題意可知，，
，即．
公寓的采光效果變壞了．
18.解：Ⅰ函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，
畫出函數(shù)在軸右側(cè)的圖象，如圖所示：
由圖象可知，其遞增區(qū)間為，；
Ⅱ令，則，
則，
因為函數(shù)是定義在團(tuán)上的偶函數(shù)，
則，
所以；
Ⅲ函數(shù)，
因為，則，
則，其對稱軸為，
當(dāng)時，在區(qū)間上為增函數(shù)，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，在區(qū)間上為減函數(shù)，，
則．
19.解：Ⅰ證明：，
設(shè)，
則，
易得的定義域為，且，則為奇函數(shù)，
則函數(shù)圖象的對稱中心是；
Ⅱ根據(jù)題意，由Ⅰ的結(jié)論，函數(shù)圖象的對稱中心是，
則有，，，，
又由，
則；
Ⅲ根據(jù)題意，若、，且，
則，變形可得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故的最小值為．
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