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2024-2025學年上海市靜安區市西中學高二（上）月考
數學試卷（12月份）
一、單選題：本題共4小題，每小題3分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知是銳角，則“直線與平面內無數條直線所成角的大小為”是“直線與平面所成角的大小為”的條件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分
C. 充分必要 D. 既非充分又非必要條件
2.有名志愿者報名參加周六、周日的公益活動，若每天從這人中安排人參加，則恰有人在這兩天都參加的不同安排方式共有種
A. B. C. D.
3.設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，下列命題中真命題是( )
A. 若，，則
B. 若，，，則
C. 若，，則
D. 若，，，，則
4.如圖，在棱長為的正方體中，為棱的中點，為正方形內一動點含邊界，則下列說法中不正確的是( )
A. 若平面，則動點的軌跡是一條線段
B. 不存在點，使得平面
C. 當且僅當點落在棱上某點處時，三棱錐的體積最大
D. 若，那么點的軌跡長度為
二、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分。
5.圓柱的側面積是，母線長為，則圓柱的體積為______．
6.圓錐的側面積是，母線長為，則圓錐母線與底面所成角的余弦值為______．
7.已知正六棱錐的高為，底面正六邊形的邊長為，則側面與底面所成銳二面角的大小為______．
8.將一個半徑為的金屬球熔化后，重新鑄造為個相同的小球，則這些小球的表面積之和，比原金屬球的表面積增加了______．
9.下來命題中，真命題的編號為______．
若直線與平面斜交，則內不存在與垂直的直線；
若直線平面，則內不存在與不垂直的直線；
若直線與平面斜交，則內不存在與平行的直線；
若直線平面，則內不存在與不平行的直線．
10.已知點、、，則在方向上的投影為______用坐標表示．
11.正整數有______個不同的正約數．
12.本不同的數，全部分給四個學生，每個學生至少本，不同分法的種數為______．
13.在的二項展開式中，常數項為______．
14.已知、是空間中兩個互相垂直的單位向量，向量滿足，且，當取任意實數時，的最小值為______．
15.如圖，在長方體中，，，，、分別為棱、的中點，動點在長方體的表面上，且，則點的軌跡長度為______．
16.中國古代數學名著九章算術中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣，芻，草也，甍，屋蓋也”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱，芻甍是茅草屋頂”現有一個芻甍如圖所示，其中四邊形為矩形，，若，和都是正三角形，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______．
三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
如圖，、、為圓錐三條母線，．
證明：；
若圓錐側面積為為底面直徑，，求二面角的大小．
18.本小題分
如圖，“復興”橋為人行天橋，其主體結構是由兩根等長的半圓型主梁和四根豎直的立柱吊起一塊圓環狀的橋面．主梁在橋面上方相交于點且它們所在的平面互相垂直，在橋面上的射影為橋面的中心主梁連接橋面大圓，立柱連接主梁和橋面小圓，地面有條可以通往橋面的上行步道．設為其中的一根立柱，為主梁與橋面大圓的連接點．
求證：平面；
設為經過的一條步道，其長度為米且與地面所成角的大小為橋面小圓與大圓的半徑之比為：，當橋面大圓半徑為米時，求點到地面的距離．
19.本小題分
設是正實數，的二項展開式為，其中，，，均為常數
若，求的值；
若對一切均成立，求的取值范圍．
20.本小題分
如圖所示，是水平放置的矩形，，如圖所示，將沿矩形的對角線向上翻折，使得平面平面．
求四面體的體積；
試判斷與證明以下兩個問題：
在平面上是否存在經過點的直線，使得；
在平面上是否存在經過點的直線，使得．
21.本小題分
如圖，在三棱柱中，側面為正方形，，設是的中點，滿足，是的中點，是線段上的一點．
證明：平面；
若，；
求直線與平面所成角的大小；
線段上是否存在點，使點到平面的距離為，若存在，求的值；若不存在，說明理由．
參考答案
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16.
17.證明：取中點，連接，，
因為，，所以，，
又因為，面，，
所以面，又面，
所以；
解：法由可知，，又底面，
作，交于，連接，
由題意≌，可得，
所以為所求的二面角的平面角，連接，則，
因為圓錐側面積為為底面直徑，，
所以底面半徑為，母線長為，所以，
，
，，，
，
即，解得，
所以，
所以，
所以二面角的平面角為鈍角，
所以二面角的大小為．
法由可知，，又底面，因為圓錐側面積為為底面直徑，，
所以底面半徑為，母線長為，所以，
建立以為軸，為軸，以為軸的坐標系，
則可得，
故，
設為平面的一個法向量，
由，，
可得，
令，則，可得，
設為平面的一個法向量，
由，，
可得，
令，則，可得，
則，
設二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，
所以二面角的大小為．
18.解：證明：由題意可知：橋面，橋面，所以，
平面，平面，所以平面．
作出其中一個主梁的軸截面，連接，，
由題意可知：，因為橋面小圓與大圓的半徑之比為：，
即：：，所以，，
在中，，
所以點到橋面的距離為米，
又因為為經過的一條步道，其長度為米且與地面所成角的大小為，
所以地面到橋面的距離為，
故點到地面的距離為米．
19.解：通項公式為，，，，，．
由得，，解得．
假設第項系數最大，依題意得，解得，
，解得．
20.解：過點作，垂足為．
平面平面，平面，由等面積法可得．
；
在平面上存在經過點的直線，使得．
證明：過點作，垂足為．
平面，，
又，平面，可得，
即存在；
在平面上不存在經過點的直線，使得，
證明：假設存在，
不在平面內，則平面，與平面矛盾．
不存在．
21.證明：取中點，連接，，
又在正方形中，是中點，
由幾何關系可得≌，
所以，，
又，所以，
所以，又，
另外中位線，三棱柱中，得，
平行線，確定了平面，
且，，平面，
則平面，即平面；
解：由，，
可得，所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
在正方形中，，
故以原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
由題意，，，，，，
，，，
設平面的一個法向量為，
則由，，可得，即，
取，可得，
設直線與平面所成的角為，
則，
因此直線與平面所成角大小為；
不妨設，，則，
，
點到平面的距離，
即，解得或，
當時，；
當時，；
所以或．
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