資源簡介

2024-2025學年江蘇省南京外國語學校高二（上）月考
數學試卷（12月份）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.記等差數列的前項和為，已知，則( )
A. B. C. D.
2.已知等差數列的首項為，若，，成等比數列，則( )
A. B. C. D. 或
3.在等比數列中，，其前項和為，且是和的等差中項，則( )
A. B. C. D.
4.若數列為等比數列，則“”是“”的( )
A. 充要條件 B. 既不充分也不必要條件
C. 充分不必要條件 D. 必要不充分條件
5.已知，設橢圓：與雙曲線：的離心率分別為，若，則雙曲線的漸近線方程為( )
A. B. C. D.
6.設數列是以為首項，為公差的等差數列，是以為首項，為公比的等比數列，則( )
A. B. C. D.
7.已知數列滿足，前項和為，，則等于( )
A. B. C. D.
8.在學習完“錯位相減法”后，善于觀察的同學發現對于“等差等比數列”此類數列求和，也可以使用“裂項相消法”求解例如，故數列的前項和，記數列的前項和為，利用上述方法求( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知數列的前項和為，下列說法正確的是( )
A. 若點在函數為常數的圖象上，則為等差數列
B. 若、為等比數列，則為等比數列
C. 若為等差數列，，，，則當時，最大
D. 若為等比數列且，則
10.已知雙曲線：的左右焦點分別為，，點是上一點，經過點作斜率為的直線與交于，兩點，則下列結論正確的有( )
A. 若，則或
B. 左焦點到漸近線距離為
C. 若，兩點分別位于的兩支，則
D. 點不可能是線段的中點
11.唐代詩人羅隱有詠“蜂”詩云：“不論平地與山尖，無限風光盡被占采得百花成蜜后，為誰辛苦為誰甜？”蜜蜂是最令人敬佩的建筑專家，蜂巢的結構十分的精密，其中的蜂房均為正六棱柱狀如圖是蜂房的一部分，若一只蜜蜂從蜂房出發，想爬到第，，，，號蜂房，只允許自左向右不允許往回走，記該蜜蜂爬到第號蜂房的路線數為數列，則( )
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若是等比數列，且，，則 ______．
13.已知橢圓的左焦點為，過原點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，若，則橢圓的離心率為______．
14.已知數列滿足，，記數列的前項和為若對于任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
設等差數列的前項和為，且，．
求數列的通項公式；
設數列滿足，求數列的前項和．
16.本小題分
根據下列條件，分別求滿足條件的直線或圓的方程：
已知以點為圓心的圓與直線：相切，過點的動直線與圓相交于，，當時，求直線的方程．
以為圓心的圓與圓相切，求圓的方程．
17.本小題分
設數列滿足，，．
證明：數列為等比數列；
求數列的通項公式．
18.本小題分
在平面直角坐標系中，軸右側動點到軸的距離比點到點的距離小，動點的軌跡為．
求的方程；
過曲線上一點作兩條互相垂直的直線分別交曲線于，兩點，過點作，交于點，若點的坐標為，求長度的最小值．
19.本小題分
設的前項和為，且．
求的通項公式；
數列的通項公式為，求其前項和；
記，的前項和為，求證：．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：設等差數列的首項為，公差為，所以，解得，
故．
由得：，
由于，，
所以，，
得：，故，
所以：，，
故，，
得：．
16.易知到直線的距離為圓半徑，所以，則圓方程為，
過做，由垂徑定理可知，且，
在中由勾股定理易知，
當動直線斜率不存在時，設直線的方程為，
經檢驗圓心到直線的距離為，且根據勾股定理可知，顯然合題意，
當動直線斜率存在時，過點，設方程為：，
由到距離為知，解得，代入得到直線的方程為，
所以或即為所求．
兩圓的圓之心之間的距離為．
當兩圓外切時，圓的半徑為；
當兩圓內切時，圓的半徑為．
圓的方程為或．
故答案為：或．
17.證明：已知數列滿足，，，
則，
又，
則數列是以為首項，為公比的等比數列；
解：由可得，
則當時，，
又當時，滿足上式，
即．
18.解：設，，由動點到軸的距離比點到點的距離小，
可得，兩邊平方可得，
由，，
則的方程為；
可設，
設，，
，，
由，可得，即，
設直線的方程為，代入，可得，，
即有，，則，
則直線的方程為，可得直線恒過定點，
又，交于點，可得在以為直徑的圓上，且圓心為，半徑為，
則長度的最小值為．
19.解：的前項和為，且，
可得，解得，
當時，，即，解得，，
當時，由，可得，
相減可得，
化為，
當時，，
可得
，
可得，對，也成立，
所以，；
數列的通項公式為，
當為偶數時，可得其前項和
；
當為奇數時，，
即有；
證明：，
的前項和為
．
第1頁，共1頁

展開更多......

收起↑