資源簡介

2024-2025學年上海市長寧區復旦中學高二（上）期中數學試卷
一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知曲線，則此曲線的焦點坐標為( )
A. B. C. D.
2.過點的直線與圓有公共點，則直線傾斜角的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3.過橢圓的左焦點的直線與的一個交點為，與圓相切于點，若，則的離心率為( )
A. B. C. D.
4.已知圓：，圓：，，分別是圓，上的動點，為軸上的動點，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共12小題，共54分。
5.雙曲線的兩條漸近線為______．
6.拋物線的準線方程是，則其標準方程是______．
7.橢圓的長軸長為______．
8.雙曲線的左焦點到其漸近線的距離為______．
9.已知雙曲線的離心率，則 ______．
10.在平面直角坐標系中，橢圓的中心為原點，焦點，在軸上，離心率為過的直線交橢圓于，兩點，且的周長為，那么橢圓的方程為______．
11.圓關于直線對稱的圓的一般方程是______．
12.已知，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上在第一象限內的點，當的面積為，則 ______．
13.著名的天文學家、數學家開普勒發現了行星運動三大定律，其中開普勒第一定律又稱為軌道定律，即所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且太陽中心處在橢圓的一個焦點上記地球繞太陽運動的軌道為橢圓，在地球繞太陽運動的過程中，若地球軌道與太陽中心的最遠距離與最近距離之比為，則的離心率為 ．
14.與圓外切，且與圓內切的動圓圓心的軌跡方程為______．
15.已知，兩點均在雙曲線：的右支上，若恒成立，則實數的取值范圍為______．
16.已知為圓：上的任意一點，當時，的值與，無關，下列結論正確的是______．
當時，點的軌跡是一條直線；
當時，有的最大值為；
當，時，的取值范圍．
三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
已知橢圓的左焦點為，直線：與橢圓交于、兩點．
求線段的長；
求的面積．
18.本小題分
已知雙曲線的中心在原點，焦點，雙曲線過點，且直線：與雙曲線交于、兩點．
求雙曲線的方程；
為何值時．
19.本小題分
已知拋物線：的焦點為．
求拋物線的焦點坐標和準線方程；
過焦點的直線與拋物線交于、兩點，若，求線段的長．
20.本小題分
已知雙曲線：，點、分別為雙曲線的左、右焦點，、為雙曲線上的點．
求右焦點到雙曲線的漸近線的距離；
若，求直線的方程；
若，其中、兩點均在軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍．
21.本小題分
“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富的數學知識，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙如圖：
步驟：設圓心是，在圓內異于圓心處取一定點，記為；
步驟：把紙片折疊，使圓周正好通過點即折疊后圖中的點與點重合；
步驟：把紙片展開，并留下一道折痕，記折痕與的交點為；
步驟：不停重復步驟和，就能得到越來越多的折痕．
現對這些折痕所圍成的圖形進行建模研究若取半徑為的圓形紙片，如圖，設定點到圓心的距離為，按上述方法折紙以點，所在的直線為軸，線段中點為原點建立平面直角坐標系．
若已研究出折痕所圍成的圖形即是折痕與線段交點的軌跡，求折痕圍成的軌跡的標準方程．
直線與在第一象限內交于點，直線與交于、兩點均異于點，則直線、的斜率之和是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．
記問所得圖形為曲線，若過點且不與軸垂直的直線與曲線交于、兩點，在軸的正半軸上是否存在定點，使得直線，斜率之積為定值？若存在，求出該定點和定值；若不存在，請說明理由．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：聯立直線與橢圓方程得，
解得，
所以，
所以；
由題可知，左焦點，
所以點到直線：的距離為，
故．
18.解：設雙曲線方程為，
由題可得，，，
解得：，，
所以雙曲線的方程為：；
由題，設，，
聯立方程組，化簡得，
則，解得：，且，
所以，，
又，，，
所以，
即，
即，
解得：，
即當時，．
19.解：因為，
解得，
則拋物線的焦點坐標，準線方程為；
不妨設，，
因為，
所以，
當時，
解得，
不妨令，
此時直線的方程為，
聯立，消去并整理得，
由韋達定理得，
則．
20.解：由題，右焦點，
漸近線方程為，
因此焦點到漸近線的距離為；
顯然，直線不與軸重合，設直線方程為，
由，得，
聯立方程，得，
其中，恒成立，，，
代入，消元得，，
即，解得，
所以，直線的方程為；
延長交雙曲線于點，延長交雙曲線于點則由對稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的倍，
由題，設，直線程為，直線方程，
由第問，易得，
因為，得，即，因而，
平行線與之間的距離為，
因此，，
令，則，
故
得在上是嚴格增函數，
故等號當且僅當時成立
所以，四邊形面積的取值范圍為．
21.解：如圖，以點，所在的直線為軸，線段中點為原點建立平面直角坐標系，
設交點，由題意知，
所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，
則，，所以，，所以，
所以點的軌跡方程為．
不為定值，理由如下：
直線與橢圓在第一象限內的交點，
設，，，聯立，
消去得，，
解得，
由韋達定理得，
不為定值．
設直線的方程為，聯立，消去得，
其中，
設，，則，，
所以
，
要使為定值，則，，，
此時．
所以存在點使得直線，斜率之積為定值，定值為．
第1頁，共1頁

展開更多......

收起↑