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2024-2025學年天津市和平區雙菱中學高二（上）期中數學試卷
一、單選題：本題共9小題，每小題3分，共27分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.在平面直角坐標系中，直線的傾斜角等于( )
A. B. C. D.
2.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍為( )
A. B. 且
C. D.
3.設，，向量，，，且，，則 ．
A. B. C. D.
4.如圖，在四面體中，點在棱上，且滿足，點，分別是線段，的中點，則用向量，，表示向量應為( )
A.
B.
C.
D.
5.已知直線：與直線：平行，則與之間的距離為( )
A. B. C. D.
6.雙曲線：的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
7.一條光線從點射出，經軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8.直線與曲線有且僅有一個公共點，則的取值范圍是( )
A. B. 或
C. D. 或
9.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是雙曲線右支上一點，若
，，且，則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
10.已知向量，，，當時，向量在向量上的投影向量為______用坐標表示
11.已知圓：與圓：有條公切線，則的取值范圍為______．
12.若空間中有三點，，，則到直線的距離為______；點到平面的距離為______．
13.如圖所示，在棱長均為的平行六面體中，，點為與的交點，則的長為______．
14.已知圓：，是圓上的動點，則的最大值為______；的最小值為______．
15.已知雙曲線的離心率為，，分別是雙曲線的左、右焦點，點，，點為線段上的動點，當取得最大值和最小值時，的面積分別為，，則 ______．
三、解答題：本題共5小題，共49分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題分
根據下列條件，分別寫出直線的方程：
斜率為，在軸上的截距為．
已知平面內兩點，，求過且與直線平行的直線的方程．
求經過點，且在軸上的截距等于在軸上截距的倍的直線方程．
17.本小題分
已知的圓心在軸上，經過點和．
求的方程；
過點的直線與交于、兩點．
(ⅰ)若，求直線的方程；
(ⅱ)求弦最短時直線的方程．
18.本小題分
已知雙曲線：的焦距為且左右頂點分別為，，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點．
求雙曲線的方程；
若直線的斜率為，求弦長．
19.本小題分
如圖，在直三棱柱中，，點，，分別為，，的中點，．
求證：平面；
求直線與平面所成角的正弦值；
求平面與平面夾角的余弦值．
20.本小題分
已知橢圓：的右焦點在直線上，，分別為的左、右頂點，且．
求的標準方程；
是否存在過點的直線交于，兩點，使得直線，的斜率之和等于？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．
參考答案
1.
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9.
10.
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13.
14.
15.
16.解：因為直線的斜率為，在軸上的截距為，
所以直線的斜截式方程為，
化簡可得；
因為，，
所以，
由題意直線斜率也為，
又因為直線過，
所以直線的方程為：，
即；
當直線不過原點時，設所求直線方程為，即，
將代入，可得，解得，
所以，
所以直線方程為；
當直線過原點時，設直線方程為，
將代入，可得，解得，
所以直線方程為，即，
綜上可得，所求直線方程為或．
17.解：的圓心在軸上，經過點和．
設圓心為，由題意可得，解得，
可得圓的半徑為，因此，圓的標準方程為．
當時，圓心到直線的距離為，
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，
則，解得，此時，直線的方程為．
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為，合題意．
綜上所述，直線的方程為或．
當時，圓心到直線的距離最大，此時，取最小值，
因為，則，
此時，直線的方程為，即．
18.解：因為雙曲線的焦距為，
所以，，
解得，
又，
所以，
解得，
則雙曲線的方程為．
直線的方程為，
聯立，消去并整理得，
設，，此時恒成立，
由韋達定理得，，
所以．．
19.解：證明：設，連接，，則為，的中點，
因為，分別為，的中點，則，
且，則，
由平面，平面，可得平面，
又因為，分別為，的中點，則，
由平面，平面，可得平面，
且，，平面，可得平面平面，
由平面可得平面．
由題意可得：，
作，垂足為，
因為平面，平面，可得，
且，，平面，可得平面，
由等面積可得，
可知點到平面的距離為，
且點為的中點，則點到平面的距離，
取的中點，的中點，連接，，
則，，則為平行四邊形，可得，
又因為，分別為，的中點，則，且，
可得，
可知直線與平面所成角即為直線與平面所成角，
因為，平面，平面，
所以平面，所以到平面的距離等于點到平面的距離，
設直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
由可知：，
作，垂足為，
因為平面，平面，可得，
且，，平面，可得平面，
由平面，可得，
可知平面與平面夾角為，
由平面，平面，可得，
在中，則，可得，
在中，則，
在中，則，
可得，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
20.解：設橢圓的右焦點，
因為橢圓的右焦點在直線上，且，
所以，
解得，，
則橢圓的方程為；
當直線的斜率為時，
此時不滿足；
當直線的傾斜角不為時，
設直線的方程為，，，
聯立，消去并整理得，
此時，
由韋達定理得，，
則
，
因為，
解得．
故存在滿足條件的直線，直線的方程為．
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