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2024-2025學年遼寧省沈陽市高一上學期1月期末質量監測數學試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.函數的定義域為( )
A. B. C. D.
3.，是平面內不共線兩向量，已知，，，若，，三點共線，則的值為( )
A. B. C. D.
4.命題，為真命題的一個充分不必要條件是( )
A. B. C. D.
5.已知冪函數是定義域上的增函數，則( )
A. 或 B. C. D.
6.設，，，則( )
A. B. C. D.
7.已知強度為的聲音對應的等級為時，有，噴氣式飛機起飛時，聲音約為一般說話時，聲音約為計算噴氣式飛機起飛時的聲音強度是一般說話時聲音強度的倍．
A. B. C. D.
8.已知函數，若，，，是方程的四個互不相等的解，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.以下命題正確的選項是( )
A. 若，，則 B. 若，，則
C. 若，則 D. 若，則
10.設，為兩個隨機事件，以下命題正確的是( )
A. 若與對立，則
B. 若與互斥，，，則
C. 數據，，，，，，，，，的分位數是
D. 若與相互獨立，，，
11.已知函數，的定義域均為，且，若的圖象關于直線對稱，，下列說法正確的是( )
A. B. 圖像關于點對稱
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.命題“，”的否定是 ．
13.不等式對恒成立，則 ．
14.已知一組數據丟失了其中一個，剩下的六個數據分別是，，，，，，若這組數據的平均數與眾數的和是中位數的倍，則丟失數據的所有可能值構成的集合為 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知集合，
若，求集合
已知，，是否存在實數，使是的必要不充分條件，若存在實數，求出的取值范圍若不存在，請說明理由．
16.本小題分
如圖所示，在中，為邊上一點，且，若，，三點共線，且，．
用，表示
求的最小值．
17.本小題分
某醫療單位為了迎接醫師節，針對本單位不同年齡的員工舉辦了一次實踐技能大比拼活動，滿分分分及以上為優秀醫師，共有人榮獲“優秀醫師”稱號，將其按年齡分成以下五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
根據頻率分布直方圖，估計這些人的平均年齡
若從第三組，第四組，第五組三組中分層抽取人，再從這人中隨機抽取人，求抽取的人年齡在不同組的概率
若第四組的年齡的平均數與方差分別為和，第五組的年齡的平均數與方差分別為和，據此計算這人中第四組與第五組所有人的年齡的方差．
附：
18.本小題分
已知函數為奇函數．
求實數的值
設函數，判斷函數在區間上的單調性，并給出證明
設函數，求證：函數在區間上有且只有一個零點．
19.本小題分
定義一種新的運算”，，都有
對于任意實數，，，試判斷與的大小關系
若關于的不等式的解集中的整數恰有個，求實數的取值范圍
已知函數，，若對任意的，總存在，使得，求實數的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，
13.
14.
15.解：由及，得，解得，
所以，
又，
所以；
由，得，
所以，所以．
由是的必要不充分條件，得集合是集合的真子集，
所所以，得，
所以的取值范圍為
16.解：在中，由，又，所以，
所以，
故；
因為，
又因為，，
所以，，所以，
又，，三點共線，所以有，即，
所以當且僅當，即時取等號，
故的最小值為．
17.解：這些人的平均年齡估計為歲．
第三組，第四組，第五組的頻率分別為，，，
若從這三組中分層抽取人，則從第三組抽取人，記為，，第四組抽取人，記為，第五組抽取人，記為
對應的樣本空間，，，，，，，，，，，，，，，
所以
設事件為“從人中隨機抽取兩人，所抽取的人年齡在不同組”，
則，，，，，，，，，，，
所以，
所以．
設第四組、第五組的年齡的平均數分別為，，方差分別為，，
則，，，，
由第四組有人，第五組有人，
設第四組和第五組所有人的年齡平均數為，方差為，
則，
，
所以這人中第四組與第五組所有人的年齡的方差為．
18.解：因為，所以，
故，即，所以；
當時，，所以在上單調遞減．
證明如下：任取，，且，
，
所以，所以在區間上的單調遞減．
由，問可知，時，函數是奇函數，且在上單調遞減故在上單調遞減，
又，，所以存在唯一，使，
所以在區間上有且只有一個零點．
19.解：，，
，
，
；
，
原不等式可化為：，即，
不等式的解集中的整數恰有個，
為滿足題意，必有，即或；
令，則對稱軸為，
由于，，結合可得，
的一個零點在區間，則另一個零點在區間
從而，即
由可得：或，
綜上可得實數的取值范圍為．
因為，
，
設，
令，，則，
，
，
所以的值域為，，當且僅當時取等號，，
所以的值域為，
根據題意可知：，，
即，
解得且，
所以實數的取值范圍

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