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2024-2025學年湖南省長沙市雙城二中高一（上）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知函數，方程有兩解，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
2.已知函數，則不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
3.已知函數，其中，，如果對任意，都有，那么在下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則( )
A. B. C. D.
5.下列函數是奇函數且在區間上是增函數的是( )
A. B. C. D.
6.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
7.已知銳角滿足若要得到函數的圖象，則可以將函數的圖象 ．
A. 向左平移個單位長度 B. 向左平移個單位長度
C. 向右平移個單位長度 D. 向右平移個單位長度
8.“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知是定義在上不恒為的函數，的圖象關于直線對稱，且函數的圖象的對稱中心也是圖象的一個對稱中心，則( )
A. 點是的圖象的一個對稱中心
B. 為周期函數，且是的一個周期
C. 為偶函數
D.
10.已知定義在上的函數滿足：對，，，且，則以下結論正確的為( )
A. B. C. D.
11.已知函數，則( )
A. 函數的最小正周期為
B. 點是函數圖象的一個對稱中心
C. 將函數圖象向左平移個單位長度，所得到的函數圖象關于軸對稱
D. 函數在區間上單調遞減
12.下列說法正確的是( )
A. “”是“”的充分不必要條件
B. 是的必要不充分條件
C. 若，，，則“”的充要條件是“”
D. 若，，則“”是“”的充要條件
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
13.已知，則______．
14.角的終邊經過點，且，則______．
15.已知是定義在，且滿足，當時，，若函數在區間上有個不同零點，則實數的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題分
已知函數的定義域為，．
若，求函數的值域；
若，且，求實數的取值范圍．
17.本小題分
如圖為函數的部分圖象，且，．
求，的值；
將的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的倍縱坐標不變，再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，討論函數在區間的零點個數．
18.本小題分
已知函數，．
求曲線：的對稱中心；
在銳角三角形中，，，分別是內角、、的對邊，且若恒成立，求實數的最小值．
19.本小題分
請解答以下問題，要求解決兩個問題的方法不同．
如圖，要在一個半徑為米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形，如何截?。坎⑶蟪鲞@個最大矩形的面積．
如圖，要在一個長半軸為米，短半軸為米的半個橢圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形，如何截取？并求出這個最大矩形的面積．
20.本小題分
某地自年至年每年年初統計所得的人口數量如表所示：
年份
人數千人
根據表中的數據計算年至年每年該地人口的增長數量，并描述該地人口數量的變化趨勢；
研究人員用函數擬合該地的人口數量，其中的單位是年，年初對應時刻，的單位是干人，設的反函數為，求的值精確到，并解釋其實際意義．
21.本小題分
在中，角，，的對邊分別是，，，且，，成等差數列．
若，，求的值；
求的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：當時，，
由，解得，
即函數的定義域為，
令，則
從而的值域為．
由于，且，
所以方程的兩根分別為，，且，，
又，即，
將，代入整理得：
，
從而，
所以，解得，
即實數的取值范圍為．
17.解：根據題意得，，故，，故．
將代入，得，解得，
又，故．
依題意，．
函數在區間的零點個數即為函數的圖象與直線在上的交點個數．
當時，，結合余弦函數圖象可知，
當時，單調遞減，當時，單調遞增，
且，，，
作出函數在上的大致圖象如圖所示．
觀察可知，當或時，有個零點；
當時，有個零點；
當或時，有個零點．
18.解：由題意，得．
令，，得，，
曲線的對稱中心為，．
，即．
是銳角三角形的內角，
，
．
由正弦定理得．
在銳角三角形中，，
解得，
，
．
即，
，即實數的最小值為．
19.解：設，；
，；
，
；
當時，即時，矩形面積最大為；
依題意可得：橢圓方程為：；
設：點坐標為即：，；
；
點為橢圓上的點；
；
；
，當且僅當時取等號；
；
即矩形面積最大為；當時取等號；
20.解：年至年每年該地人口的增長數量為千人，
，，，，，
由上述數據可得從年到年每年人口增長數量呈先增加后減少的變化趨勢，每一年人口總數呈逐漸遞增的變化趨勢，
由，
的反函數為，
，
，
，
兩邊取對數可得，
，
．
其實際意義為：可根據數學模型預測人口數量增長規律，及提供有效數據，即經過半年時間，該地人口數量人數即增長到千人．
21.解：成等差數列，
，
，
，
，即．
，
，即，
，所以
，
，
，
的取值范圍是．
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