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2024-2025學年廣東省深圳中學高一（上）期中數學試卷（A卷）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知命題：，，命題：，，則( )
A. 是真命題，是假命題 B. 是假命題，是真命題
C. 和都是真命題 D. 和都是假命題
3.函數的零點所在的區間為( )
A. B. C. D.
4.函數的定義域為( )
A. B.
C. D.
5.若不等式的解集，則，值是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.已知，，，則的最小值為( )
A. B. C. D.
7.已知是定義在上的奇函數，且在上單調遞減，設，，，則( )
A. B.
C. D.
8.已知函數，，若對于任一實數，與至少有一個為正數，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下面命題正確的是( )
A. “”是“”的充分不必要條件
B. 函數在上的最小值是
C. 冪函數在上單調遞增
D. 若，則
10.已知函數是定義在上的奇函數，且滿足下列條件：
對任意的實數，，都有；
對任意的實數，都有；
．
則下列說法正確的有( )
A. B.
C. 是奇函數 D. 函數在上單調遞增
11.已知，函數，下列結論正確的是( )
A. ，
B. 當時，函數有個零點
C. 若在上單調遞增，則的取值范圍是
D. 若的圖象上不存在關于原點對稱的點，則的取值范圍是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.計算： ______．
13.函數的單調遞增區間是______．
14.已知，且，則的最大值為______，最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知集合，．
若，求；
若，求實數的取值范圍．
16.本小題分
已知且，且．
求的值及的定義域；
求在上的值域．
17.本小題分
已知函數．
用分段函數的形式表示該函數；
在平面直角坐標系中直接畫出函數的圖象；
若函數在區間上單調遞增，求的取值范圍．
18.本小題分
已知，，都是實數，是定義在上的函數．
若且，記在區間上的最小值為，求的解析式；
若，，函數在區間上恰有兩個零點，求的取值范圍；
證明：當時，對任意，，的取值，不可能恰有一個元素．
19.本小題分
函數的定義域為，若存在正實數，對任意的，總有，則稱函數具有性質．
分別判斷函數與是否具有性質，并說明理由；
已知為二次函數，且具有性質求證：是偶函數；
已知，為給定的正實數，若函數具有性質，求的取值范圍．
參考答案
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14.
15.解：由，得或，
由，得，
所以或；
由，得，
當，即時，，滿足，符合題意，
當，即時，若滿足，則有，
解得，
綜上所述，實數的取值范圍為．
16.解：由題意得，
故函數的定義為，
因為，
所以；
，
令，當時，
根據二次函數的性質可知，時，函數取得最大值，當時，取得最小值，
故在上的值域為．
17.解：；
由可得，的圖象如圖所示：
要使函數在區間上單調遞增，
由可得滿足：，解得．
即的范圍為．
18.解：對稱軸為直線，
當，也即時，在區間上單調遞減，在上單調遞增，
因此在處取得最小值，故；
當，也即時，在區間上單調遞減，因此在處取得最小值，
故．
綜上，．
由題意得，解得．
證明：為求的解，先解，再解即可．
的值域為．
當時，恰有一解；
當時，恰有兩個解．
為保證恰有一個元素，必須有解，
其判別式．
若，則，，，不妨，那么恰有兩解．
當時，恰有一解，又因為恰有兩解，
所以恰有三個元素；
當時，恰有兩解，又因為恰有兩解，
恰有四個元素．
若，即，則唯一實根，
為保證恰有一解，需要，此即，矛盾．
綜上，不可能恰有一個元素．
19.解：對任意，得，
所以具有性質；
對任意，得，
易得只需取，則，所以不具有性質；
證明：設二次函數滿足性質，
則對任意，滿足，
若，取，矛盾，
所以，此時，即為偶函數；
由于，函數的定義域為，
易得，
若函數具有性質，則對于任意實數，有
，
所以，即，
由于函數在上嚴格增，得，
即，
當時，易得，由，得，
得，得，
由題意得對任意實數恒成立，
所以，即，
故的取值范圍為
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