資源簡介

湖北省部分市州 2025年元月高三期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共 8小題，每小題 5分，共 40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的．
1.已知命題 p： log x> log y，命題 q： 5x5 5 > 5y，則命題 p是命題 q的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
2.已知單位向量 a， b滿足 a+2b ⊥ a，則 a與 b的夾角為
A. π B. π C. 2π D. 5π
3 6 3 6
π
3.若復(fù)數(shù) z= cos -θ + 3i是純虛數(shù)，則 θ的值可以為4
A. 2π B. 5π C. 3π D. 9π
4 4 4
4.若隨機(jī)變量 ξ的分布列如下表，表中數(shù)列 an 為等差數(shù)列，則P ξ=5 的取值是．
ξ 3 4 5 6 7
P a1 a2 a3 a4 a5
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
2 3 4 5
5.函數(shù) f x = a ln 1 2x 在 x= 處的切線與直線 y= 3x+ 5垂直，則 a=
x 2
A. - 1 B. - 1 C. 1 D. 1
6 12 6 12

6.已知拋物線 y2= 2px p>0 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是拋物線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且MN
= 1

MF，則直線ON的斜率的最大值為
2
A. 1 B. 1 C. - 1 D. 2
2
7.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為 3，平面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)Q滿足 QA = 2 QB ，當(dāng)三棱
錐Q-DD1A的體積取最大值時(shí)，該三棱錐外接球的表面積為
A. 24π B. 27π C. 54π D. 56π
8.已知 a≠ 0， ax2+bx+c cos π x+ π ≤ 0 1對(duì) x∈ 0,8 恒成立，則 2b+ c- 的最小值6 3 a
為
A. 4 B. 6 C. 2 3 D. 2 2
第1頁，共4頁
二、選擇題：本題共 3小題，每小題 6分，共 18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合
題目要求，全部選對(duì)的得 6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0分．
9.下列說法中正確的是
A. 回歸直線 y= bx+ a恒過樣本中心點(diǎn) x,y ，且至少過一個(gè)樣本點(diǎn)
B. 用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果時(shí)，R2越接近 1，說明模型的擬合效果越好
C. 將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)正數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差變大
D. 基于小概率值 α的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng) χ2≥ xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不
獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過 α
10.如圖所示，已知角 α， β 0<α<β< π 的始邊為 x軸的非負(fù)半軸，2 y
終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A， B，M為線段AB的中點(diǎn)，射線 B
C
OM與單位圓交于點(diǎn)C，則下列說法正確的是 M
A
A. ∠BOC= β-α
2 2 O x
B. OB OA+ 1= OM

C. OC OA= OM
α+β β-α
D. 點(diǎn)M 1的坐標(biāo)為 cos cos , sinα+ 1 sinβ2 2 2 2
11.直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如 y= kx+ 1 k∈R 表示過點(diǎn) (0,1)的直線
族 (不包括直線 x= 0)．直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某
點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線．已知直線族 ax+
by= 1 a,b∈R ，則下列說法正確的是
A. 若 a= cosθ， b= sinθ θ∈[0,2π) ，則該直線族的包絡(luò)曲線為圓
B. 若 a= cosθ， b= sinθ m>n>0,θ∈[0,2π) ，則該直線族的包絡(luò)曲線為橢圓
m n
C. a= 3 1當(dāng) ， b=- t>0 時(shí)，點(diǎn) x 30,2x0 x0>0 可能在直線族 ax+ by= 1上2t 2t3
D. 當(dāng) a2+ b= 0時(shí)，曲線 x2= 4y x≠0 是直線族 ax+ by= 1的包絡(luò)曲線
三、填空題：本題共 3小題，每小題 5分，共 15分．
12.等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn，且 a1+ a4= 4， a2+ a5= 8，則S6= ．
13.若A，B為曲線 x2+ y2= 2 x + 2 y 上任意兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)間距離的最大值為 ．
14.已知 x∈ m n 0,e ，若不等式 - 2en-1≥ 0恒成立，則 的最大值為 ．
x2 1-lnx m
第2頁，共4頁
四、解答題：共 77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
3π
15.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為 a， b， c，且 a 1+sin2C = b，C∈ 0, ．4
(1)求A；
(2)若 b= 2， csin2B= 3bsinC，求△ABC的周長．
16.已知函數(shù) f x = lnx- ax+ 1．
(1)a= 1時(shí)，求 f x 的極值；
(2)若不等式 a x2-x+1 ≥ f x 恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍．
17.如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD是邊長為 2的正方形，△PAB是以P為頂點(diǎn)的等腰
直角三角形，O為AB的中點(diǎn)，Q為PD的中點(diǎn)，PD= 6．
(1)證明：PO⊥BC；
(2)過B，Q兩點(diǎn)的平面與直線AP，CP分別交于點(diǎn)M，N，且平面BNQM AC，求平
面BNQM與平面PCD夾角的余弦值．
P
Q
M
A N D
O
B C
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x2
18.已知橢圓M： + y2= 1的左、右焦點(diǎn)為 F1， F2，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，PF1 PF 的
a2
2
最小值是-2．
(1)求橢圓M的方程；
(2)設(shè)A，B為橢圓的上、下頂點(diǎn)，C，D為橢圓上異于A，B的兩點(diǎn)，記直線AC，BD
k
的斜率分別為 k， k 21 2，且 = 3．k1
(i)證明：直線CD過定點(diǎn)S；
(ii) AC BD Q QS k 1 1 1設(shè)直線 與直線 交于點(diǎn) ，直線 的斜率為 3，試探究 ， ， 滿足的k1 k2 k3
關(guān)系式．
19.某商家推出一個(gè)活動(dòng)：將 n件價(jià)值各不相同的產(chǎn)品依次展示在參與者面前，參與者可以選
擇當(dāng)前展示的這件產(chǎn)品，也可以不選擇這件產(chǎn)品，若選擇這件產(chǎn)品，該活動(dòng)立刻結(jié)束；若
不選擇這件產(chǎn)品，則看下一件產(chǎn)品，以此類推．整個(gè)過程參與者只能繼續(xù)前進(jìn)，不能返回，
直至結(jié)束．同學(xué)甲認(rèn)為最好的一定留在最后，決定始終選擇最后一件，設(shè)他取到最大價(jià)值
產(chǎn)品的概率為P1；同學(xué)乙采用了如下策略：不取前 k 1≤k只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的每一個(gè)產(chǎn)品的價(jià)值都大，就選擇這件產(chǎn)品，否則就取最后一件，
設(shè)他取到最大價(jià)值產(chǎn)品的概率為P2．
(1)若n= 4， k= 2，求P1和P2；
(2)若價(jià)值最大的產(chǎn)品是第 k+m件 1≤m≤n-k ，求P2；
(3)當(dāng) n趨向于無窮大時(shí)，從理論的角度 (即 k∈R)，求P2的最大值及 P2取最大值時(shí) k的
n-1
( 1 n值． 取 = ln )
i=k i k
第4頁，共4頁湖北省部分市州 2025年元月高三期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共 8小題，每小題 5分，共 40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的．
1.已知命題 p： log5x> log5y，命題 q： 5x> 5y，則命題 p是命題 q的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
2.已知單位向量 a， b滿足 a+2b ⊥ a，則 a與 b的夾角為
A. π B. π C. 2π D. 5π
3 6 3 6
【答案】C
π
3.若復(fù)數(shù) z= cos -θ + 3i是純虛數(shù)，則 θ的值可以為4
A. 2π B. 5π C. 3π D. 9π
4 4 4
【答案】C
4.若隨機(jī)變量 ξ的分布列如下表，表中數(shù)列 an 為等差數(shù)列，則P ξ=5 的取值是．
ξ 3 4 5 6 7
P a1 a2 a3 a4 a5
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
2 3 4 5
【答案】D
5.函數(shù) f x = a ln 1 2x 在 x= 處的切線與直線 y= 3x+ 5垂直，則 a=
x 2
A. - 1 B. - 1 C. 1 D. 1
6 12 6 12
【答案】B

6.已知拋物線 y2= 2px p>0 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是拋物線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且MN
1 = MF，則直線ON的斜率的最大值為
2
A. 1 B. 1 C. - 1 D. 2
2
【答案】B
7.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為 3，平面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)Q滿足 QA = 2 QB ，當(dāng)三棱
錐Q-DD1A的體積取最大值時(shí)，該三棱錐外接球的表面積為
A. 24π B. 27π C. 54π D. 56π
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【答案】C
【解析】法一：平面ABCD內(nèi)，以AD，AB為 x， y軸建系，則A 0,0 ，B 0,3 ，設(shè)
Q x,y ，則由 QA = 2 QB ，化簡可得 x2+ y-4 2 = 22．
Q在平面上以 (0,4)為圓心， 2為半徑的圓上，
當(dāng)Q到平面DD1A的距離最大時(shí)，三棱錐Q-DD1A的體積最大，此時(shí)Q 0,6 ，
設(shè)此時(shí)錐體的外接球半徑為R，可補(bǔ)體為長方體，
32+32+62
則有R= ，∴S= 4πR2= 54π
2
法二：平面ABCD內(nèi)， QA = 2 QB ，延長AB至M，使得BM= 1，延長AB至Q1，使
得BQ1= 3，由阿氏圓的性質(zhì)可知，Q在以M為圓心， 2為半徑的圓上，則Q在Q1時(shí)，三
棱椎Q-DD1A的體積最大，設(shè)此時(shí)錐體的外接球半徑為R，則有
2
R2= 3 2 + 32(或同法一，補(bǔ)體為長方體)2
∴S= 4πR2= 54π
8.已知 a≠ 0， ax2+bx+c cos π x+ π ≤ 0對(duì) x∈ 0,8 1 恒成立，則 2b+ c- 的最小值6 3 a
為
A. 4 B. 6 C. 2 3 D. 2 2
【答案】B
【解析】分析得 y= ax2+ bx+ c與 y= cos π x+ π 有相同的零點(diǎn) 1和 7，6 3
8=- b
易知 a< 0， c< 0且 1和 7是方程 ax2+ bx+ c= 0 a的兩根，所以 ，
7=
c
a
所以 b=-8a 1 1， c= 7a，所以 2b+ c- a=-9a+ - ≥ 6， a=- 取等，選Ba 3
二、選擇題：本題共 3小題，每小題 6分，共 18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合
題目要求，全部選對(duì)的得 6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0分．
9.下列說法中正確的是

A. 回歸直線 y= bx+ a恒過樣本中心點(diǎn) x,y ，且至少過一個(gè)樣本點(diǎn)
B. 用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果時(shí)，R2越接近 1，說明模型的擬合效果越好
C. 將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)正數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差變大
D. 基于小概率值 α的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng) χ2≥ xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不
獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過 α y B
【答案】BD C
M
10.如圖所示，已知角 α， β 0<α<β< π 的始邊為 x軸的非負(fù)半軸， A2
x
終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A， B，M為線段AB的中點(diǎn)，射線 O
OM與單位圓交于點(diǎn)C，則下列說法正確的是
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∠ = β-αA. BOC
2
B. OB 2OA+ 1= OM

C. OC OA= OM
α+β β-α
D. 點(diǎn)M的坐標(biāo)為 cos cos , 1 sinα+ 1 sinβ2 2 2 2
【答案】ACD
11.直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如 y= kx+ 1 k∈R 表示過點(diǎn) (0,1)的直線
族 (不包括直線 x= 0)．直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某
點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線．已知直線族 ax+
by= 1 a,b∈R ，則下列說法正確的是
A. 若 a= cosθ， b= sinθ θ∈[0,2π) ，則該直線族的包絡(luò)曲線為圓
B. a= cosθ若 ， b= sinθ m>n>0,θ∈[0,2π) ，則該直線族的包絡(luò)曲線為橢圓
m n
C. 3 1當(dāng) a= ， b=- t>0 時(shí)，點(diǎn) x 30,2x0 x0>0 可能在直線族 ax+ by= 1上2t 2t3
D. 當(dāng) a2+ b= 0時(shí)，曲線 x2= 4y x≠0 是直線族 ax+ by= 1的包絡(luò)曲線
【答案】ABD
【解析】x2+ y2= 1在 cosθ,sinθ 處的切線方程為 xcosθ+ ysinθ= 1，所以A正確；
x2 + y
2
橢圓 = 1在 mcosθ,nsinθ xcosθ 處的切線方程為 +
ysinθ = 1，B正確；
m2 n2 m n
將 x0,2x 30 代入 y= 3t2x- 2t3得 2t3- 3t2x 30+ 2x0 = 0，構(gòu)造
f t = 2t3- 3t2x 30+ 2x0 ， f t = 6t t-x0 ，易知 f t 在 0,+∞ 無零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；
1 1
若 x0,y0 不在直線族上，代入直線 y= x- 得 y a20 - ax0+ 1= 0，a a2
2
Δ= 2- < > x0 x 4y 0 y y= 1 x- 1，所以 ，聯(lián)立 和 x2= 4y得 x2 40 0 0 - x+ 4 = 0，4 a a2 a a2
所以 Δ= 0，所以直線 y= 1 x- 1 和 x2= 4y相切，又 ax+ by= 1不包括直線 y= 0，所
a a2
以 x2= 4y x≠0 是直線族 ax+ by= 1的包絡(luò)曲線，D正確．
三、填空題：本題共 3小題，每小題 5分，共 15分．
12.等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn，且 a1+ a4= 4， a2+ a5= 8，則S6= ．
【答案】28
13.若A，B為曲線 x2+ y2= 2 x + 2 y 上任意兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)間距離的最大
值為 ． y
A
【答案】4 2
【解析】當(dāng) x≥ 0， y≥ 0時(shí)，曲線為 x2+ y2= 2x+ 2y在第一象限的部分，即
x
x-
O
1 2 + y-1 2 = 2，且圖像關(guān)于 x軸、 y軸，坐標(biāo)原點(diǎn)均對(duì)稱．則A， B
B
距離的最大值為直徑的 2倍，為 4 2．
第3頁，共9頁
14.已知 x∈ m 0,e ，若不等式 - 2en-1≥ 0 n恒成立，則 的最大值為 ．
x2 1-lnx m
1
【答案】
e
【解析】方法一： x∈ 0,e m ，不等式 ≥ 2en-1恒成立
x2 1-lnx
令 h x = x2 1-lnx ，則 h x = 2x 1-lnx 1 + x2 - x = x 1-2lnx
則 h x 在 0, e e 上單調(diào)遞增，在 e,+∞ 上單調(diào)遞減， h x ≤ h e = ．
2
h x > 0 m ≥ 2en-1 m ≥ x2 1-lnx ≥ e且 ， ，
x2 1-lnx 2en-1 2
∴m≥ en n n n， ≤ ，令 g n = ，
m en en
則 g n 在 -∞,1 上單調(diào)遞增，在 1,+∞ 上單調(diào)遞減，
g n n = ≤ g 1 = 1 ∴ n ≤ n ≤ 1
en e m en e
方法二： x∈ 0,e m ，不等式 - 2en-1≥ 0恒成立
x2 1-lnx
e 2 2m x m
e
x e 2
即 = ≥ en+1令 t= ∈ 1,+∞ ， lnt> 0∴ mt ≥ en+12
2ln e ln e x lntx x
n+1
∴m≥ e lnt 在 t∈ 1,+∞ 上恒成立．
t
lnt
令 φ t = ，
t
則 φ t 在 (0， e)上單調(diào)遞增，在 e,+∞ lnt 上單調(diào)遞減， φ t = ≥ φ e = 1
t e
en+1∴m≥ = en，當(dāng)n≤ 0 n時(shí)， ≤ 0；當(dāng)n> 0 n n時(shí)， ≤ ；
e m m en
令 g n = n ，則 g n 在 -∞,1 上單調(diào)遞增，在 1,+∞ 上單調(diào)遞減，
en
g n = n ≤ g 1 n n 1 1 = ∴ ≤ ≤
en e m en e
四、解答題：共 77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為 a， b， c，且 a 1+sin2C = b，C∈ 0, 3π4 ．
(1)求A；
(2)若 b= 2， csin2B= 3bsinC，求△ABC的周長．
【答案】 1
π
2 2+ 3 2+ 6
4
【解析】(1)由正弦定理得 sinA sin2C+cos2C+2sinCcosC = sinB． 2分
∵C∈ 0, 3π π，C+ ∈ π ,π ， 2sin C+ π > 0， sinC+ cosC> 04 4 4 4
∴ sinA sinC+cosC = sinB 4分
又B= π- A+C
∴ sinAsinC+ sinAcosC= sin A+C = sinAcosC+ cosAsinC
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∴ sinAsinC= cosAsinC，又 sinC≠ 0，所以 tanA= 1，A∈ 0,π
∴A= π ． 6分
4
(2)由正弦定理及二倍角公式得 2sinCsinBcosB= 3sinBsinC，
∴ cosB= 3 B∈ 0, 3π ∴B= π又 ． 8分2 4 6
∴ sinC= sin π A+B = sin + π = 6+ 2 10分4 6 4
a c b 2
由正弦定理 = = = = 4，
sinA sinC sinB 1
2
∴ a= 2 2， c= 6+ 2，周長 a+ b+ c= 2+ 3 2+ 6． 13分
16.已知函數(shù) f x = lnx- ax+ 1．
(1)a= 1時(shí)，求 f x 的極值；
(2)若不等式 a x2-x+1 ≥ f x 恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍．
1
【答案】 1 有極大值 f 1 = 0；無極小值 2 a≥
2
【解析】(1)a= 1 1 1-x時(shí)， f x = lnx- x+ 1， f x = - 1= ， x>0 1分
x x
令 f x = 0，所以 x= 1， 2分
當(dāng) x∈ 0,1 ， f x > 0，當(dāng) x∈ 1,+∞ ， f x < 0；
所以 x= 1時(shí)， f x 有極大值 f 1 = 0， 5分
無極小值． 6分
(2)方法一：由題意可知 a x2-x+1 ≥ f a lnx+1 x ，所以 ax+ ≥ ． 7分
x x
由 (1) lnx+1知 ≤ 1， x= 1取等號(hào)，
x
所以只需 a x+ 1 ≥ 1， x= 1取等號(hào)x
∴ a≥ 1 8分
2
1
下面證明 a≥ 時(shí)，不等式成立，
2
要證 a x2+1 ≥ lnx+1 ，即需證明 x2+1 ≥ 2 lnx+1 成立． 10分
2 x2-1
令G x = x2+ 1- 2 lnx+1 2 ，G x = 2x- = 12分
x x
當(dāng) x∈ 0,1 時(shí)，G x < 0，
當(dāng) x∈ 1,+∞ 時(shí)，G x > 0，所以G x ≥G 1 = 0，
所以不等式 x2+1 ≥ 2 lnx+1 成立，
所以 a≥ 1 時(shí)， a x2+1 ≥ lnx+1 成立 15分
2
方法二：由題意， a x2+1 ≥ lnx+ 1． 7分
易知 x= 1時(shí)， 2a≥ 1 a≥ 1，所以 ． 8分
2
1
下面證明 a≥ 時(shí)，不等式成立，
2
第5頁，共9頁
要證 a x2+1 ≥ lnx+1 ，即需證明 x2+1 ≥ 2 lnx+1 成立． 10分
2 2 x2-1
令G x = x2+ 1- 2 lnx+1 ，G x = 2x- = 12分
x x
當(dāng) x∈ 0,1 時(shí)，G x < 0，當(dāng) x∈ 1,+∞ 時(shí)，G x > 0，所以G x ≥G 1 = 0，所以
1
不等式 x2+1 ≥ 2 lnx+1 成立，所以 a≥ 時(shí)， a x2+1 ≥ lnx+1 成立． 15分
2
a≥ lnx+1方法三：依題意， 恒成立 7分
x2+1
g x = lnx+1令 ， x> 0
x2+1
1
x -x-2xlnx
則 g x = ， g 1 = 0． 10分
x2+1 2
當(dāng) x> 1 1時(shí)， - x< 0，-2xlnx< 0，∴ g x < 0， g x 單調(diào)遞減
x
當(dāng) 0< x< 1 1時(shí)， - x> 0，-2xlnx> 0，∴ g x > 0， g x 單調(diào)遞增 13分
x
gmax x = g 1 = 12
∴ a≥ 1 15分
2
17.如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD是邊長為 2的正方形，△PAB是以P為頂點(diǎn)的等腰
直角三角形，O為AB的中點(diǎn)，Q為PD的中點(diǎn)，PD= 6．
P
(1)證明：PO⊥BC；
(2)過B，Q兩點(diǎn)的平面與直線AP，CP分別交于點(diǎn)M，N，且平面 Q
BNQM AC，求平面BNQM與平面PCD夾角的余弦值．
M
15
【答案】 1 證明見解析； 2 N
5 A D
【解析】(1)PA=PB，O為AB中點(diǎn)，∴PO⊥AB，PO= 1 1分 O
B C
在△OAD中，OD= AD2+OA2= 22+12= 5
又 5 2 + 12= 6 2 ，即OD2+OP2=PD2， 3分
∴PO⊥OD
AB∩OD=O，PO⊥平面ABCD，
BC 平面ABCD，∴PO⊥BC 6 z分 P
(2)取CD中點(diǎn)H，則OH⊥AB，由 (1)可知，PO⊥平面ABCD
∴PO⊥OB，PO⊥OH 7分 Q
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OH，OP分別為 x軸、 y軸、 z軸，建立空 M
N
間直角坐標(biāo)系， A D
O 0,0,0 ，B 1,0,0 ，C 1,2,0 ，D -1,2,0 ，A -1,0,0 ， 9分 B O y
1 x CP 0,0,1 Q - ,1, 1 ，PC = 1,2,-1 ，CD= -2,0,0 ，2 2
-2x1=0設(shè)平面PCD法向量為n1= x1,y1,z1 ，即 得n1= 0,1,2 x1+2y1-z1=0
平面BNQM AC，AC 面PAC，面PAC∩面BNQM=MN
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MN AC，AC = 2,2,0 ，BQ= - 3 ,1, 12 2
設(shè)平面BNQM法向量為n2= x2,y2,z2 ，∵n2 MN = 0，∴n2 AC = 0
2x2+2y2=0 ，則n2= 1,-1,5 ， 12分-3x2+2y2+z2=0
n n
cos n ,n = 1 2 = 151 2
n1 n2 5
平面BNQM與平面PCD 15夾角的余弦值為 15分
5
x2
18.已知橢圓M： + y2= 1的左、右焦點(diǎn)為 F1， F2，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，PF PF 的
a2
1 2
最小值是-2．
(1)求橢圓M的方程；
(2)設(shè)A，B為橢圓的上、下頂點(diǎn)，C，D為橢圓上異于A，B的兩點(diǎn)，記直線AC，BD
k
的斜率分別為 k1， k，且
2
2 = 3．k1
(i)證明：直線CD過定點(diǎn)S；
(ii) 1 1 1設(shè)直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q，直線QS的斜率為 k3，試探究 ， ， 滿足的k1 k2 k3
關(guān)系式．
x2 1 1
【答案】 1 + y2= 1 2 i 直線CD恒過定點(diǎn)S 0, ii + 1 = 24 2 k k k
1 2 3
【解析】(1)PF1 PF2 = PO+OF1 PO+OF2

= PO+OF1 PO-
2 2 2
OF =PO -OF =PO - c21 1 ≥ b2- c2 3分
∴ b2- c2= 1- c2=-2
∴ c2= 3， a2= b2+ c2= 3+ 1= 4
x2
橢圓M的方程為 + y2= 1． 5分
4
(2) (i)若直線CD斜率不存在，則 k1k2< 0，不符合題意； 6分
當(dāng)直線CD斜率存在時(shí)，設(shè)直線CD： y= kx+m，m≠±1，C x1,y1 ，D x2,y2 ，
聯(lián)立直線CD和橢圓方程，
y=kx+m x2 1+4k2 x2+8kmx+4m2-4=0+y2=14
x +x = -8km 1 2 1+4k2
韋達(dá)定理可得： 2 且Δ> 0
x
4m -4
1x2=
1+4k2
= y2+1 y2-1 y
2 2
2-1 y2-1 1
方法一：令直線AD斜率為 k4，則 k2k4 = = =- 又 k =x1 x 21 x21 4 1-y22 4
3k1，∴ k1 k =- 14 8分12
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y1-1 y2-1 =- 1
kx
∴ 1
+m-1 kx2+m-1
即 ， =- 1
x1 x2 12 x1x2 12
∴ kx1+m-1 kx 12+m-1 =- x1x12 2
∴ k2+ 1 x1x2+ k m-1 x 21+x2 + m-1 = 012
∴ k2+ 1 4m2-4 - 8k2m m-1 + 1+4k2 m-1 2 = 0，展開可得：12
2m2- 3m+ 1= 0， 2m-1 m-1 = 0，∴m= 1 或m= 1
2
若m= 1，直線CD:y= kx+m恒過 (0,1)，不合題意，舍去；
m= 1若 ，直線CD:y= kx+m恒過 0, 12 2
1
直線CD恒過定點(diǎn)S 0, ． 11分2
2 k y +1 x
方法二： kx1x2= 1-m x1+x 22 ， 2 = 1- = 32m k1 x2 y1 1
kx∴ 2
+m+1 x1 = 3 8分
kx1+m-1 x2
1-m2
2m x1+x2 + m+1 x1 1+m2+2m x1+ 1-m2 x= 2 = 3
1-m2 x +x + m-1 x 1-m
2 x1+ m2-2m+1 x2
2m 1 2 2
∴ 1-m
2+2m 1-m2= = 3，又m≠± y1
1-m2 m2-2m+1 Q
1 1
所以m= ，直線CD恒過定點(diǎn)S 0, ． 11分2 2 A D
( y -1 y +1
S
ii)由 (i)可知，直線AC： y= 1 x+ 1，直線BD： y= 2 x- 1
x1 x2 C O x
y-1 = y1-1+
x2
+ =
k1 = 1 ，∴ y= 2 15分 B
y 1 x1 y2 1 k2 3
即Q點(diǎn)在直線 y= 2上，令 y= 2與 y軸的交點(diǎn)為T 0,2
=
AT
k = 1
BT
k = = 3
ST 3
則 1 ； 2 ； k3 = = ，
QT QT QT QT QT 2 QT
1 1 2
顯然 k1， k2， k3同號(hào)，則有 + = ． 17分k1 k2 k3
19.某商家推出一個(gè)活動(dòng)：將 n件價(jià)值各不相同的產(chǎn)品依次展示在參與者面前，參與者可以選
擇當(dāng)前展示的這件產(chǎn)品，也可以不選擇這件產(chǎn)品，若選擇這件產(chǎn)品，該活動(dòng)立刻結(jié)束；若
不選擇這件產(chǎn)品，則看下一件產(chǎn)品，以此類推．整個(gè)過程參與者只能繼續(xù)前進(jìn)，不能返回，
直至結(jié)束．同學(xué)甲認(rèn)為最好的一定留在最后，決定始終選擇最后一件，設(shè)他取到最大價(jià)值
產(chǎn)品的概率為P1；同學(xué)乙采用了如下策略：不取前 k 1≤k只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的每一個(gè)產(chǎn)品的價(jià)值都大，就選擇這件產(chǎn)品，否則就取最后一件，
設(shè)他取到最大價(jià)值產(chǎn)品的概率為P2．
(1)若n= 4， k= 2，求P1和P2；
(2)若價(jià)值最大的產(chǎn)品是第 k+m件 1≤m≤n-k ，求P2；
(3)當(dāng) n趨向于無窮大時(shí)，從理論的角度 (即 k∈R)，求P2的最大值及 P2取最大值時(shí) k的
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n-1 1
值． (取 = ln n )
i=k i k
1 5
【答案】 1 P1= ，P2= 2 P2= k+ - 3
1 n
P
4 12 k m 1 2max
， k=
e e
(1)P = 1【解析】 1 ； 2分4
依題意， 4個(gè)產(chǎn)品的位置從第 1個(gè)到第 4個(gè)排序，有A44= 24種情況，同學(xué)B要取到最貴價(jià)
值產(chǎn)品，有以下兩種情況：最貴價(jià)值產(chǎn)品是第 3個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有A33= 6種
情況：最貴價(jià)值產(chǎn)品是第 4個(gè)，第二貴價(jià)值產(chǎn)品是第 1個(gè)或第 2個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位
5
置，有 2A22= 4種情況，所以所求概率P2= ． 5分12
(2)法一：若考慮全部產(chǎn)品排序，價(jià)值最大的產(chǎn)品是第 k+m件，共有 (n- 1)！種排法，先
從 n- 1件產(chǎn)品中挑 k+m-1 件產(chǎn)品出來，其中價(jià)值最大的產(chǎn)品放在前 k件，剩下的全排
列，共Ck+m-1n-1 k k+m-2 ！種排法，剩下的 (n- k-m)件產(chǎn)品全排列，即
n-1 !
Ck+m-1k k+m-2 ! n-k-m ! + - k k+m-2 ! n-k-m != n-1 = k m 1

! n-k-m !
P2
n-1 ! n-1 !
= k
k+m- 10分1
法二：若價(jià)值最大的產(chǎn)品是第 k+m件，則乙同學(xué)能取到該產(chǎn)品，只需要前 k+m- 1件產(chǎn)
k
品中價(jià)值最大的產(chǎn)品排在前 k件，即P2= + - 10分k m 1
3 記事件A表示最貴價(jià)值產(chǎn)品被乙同學(xué)取到，
事件B i P B = 1i表示最貴價(jià)值產(chǎn)品排在第 個(gè)，則 i ，n
n n
由全概率公式知：P A = P A∣B 1i P Bi = P A∣Bn i ，i=1 i=1
當(dāng) 1≤ i≤ k時(shí)，最貴價(jià)值產(chǎn)品在前 k個(gè)中，不會(huì)被取到，此時(shí)P A∣Bi = 0；
當(dāng) k+ 1≤ i≤ n時(shí)，最貴價(jià)值產(chǎn)品被取到，當(dāng)且僅當(dāng)前 i- 1件產(chǎn)品中最貴的一個(gè)在前 k個(gè)
之中，
此時(shí)P A∣Bi = ki-1
P A = 1 k + k k k因此 + + + - = ln
n 13分
n k k 1 n 1 n k
令 g x = x ln n x>0 1 n 1 ，求導(dǎo)得 g x = ln - ，由 g x = 0，得 x= n
n x n x n e
當(dāng) x∈ 0, n 時(shí)， g x > 0，當(dāng) x∈ n ,n 時(shí)， g x < 0e e
n n
即函數(shù) g x 在 0, 上單調(diào)遞增，在 ,n 上單調(diào)遞減 15分e e
則 g x max= g n = 1 n k，于是當(dāng) k= 時(shí)，P A = ln n 1取得最大值e e e n k e
所以P 1 n2的最大值為 ，此時(shí) k的值為 ． 17分e e
第9頁，共9頁

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