資源簡介

河北省金太陽 2023-2024 學年高二下學期期末數學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若集合 = { | 2 < < 2}， = { 1,0,1,2}，則 ∩ =( )
A. B. {0,1} C. { 1,0} D. { 1,0,1}
2.已知命題 ： ∈ [0, +∞)， 2 4 + 4 > 0，命題 ： ∈ ， = 10 ，則( )
A. 和 都是真命題 B. ￢ 和 都是真命題
C. 和￢ 都是真命題 D. ￢ 和￢ 都是真命題
3.已知函數 ( )的導函數為 ′( )，且 ( ) = 2 ′(2) ，則 ′(2) =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
4.已知函數 ( ) = lg(6 2)在( , + 1)上單調遞增，則 的取值范圍是( )
A. [0,2] B. (0,2] C. [3,5] D. [3,5)
1
5.已知 = 72, = 293, = ，則下列判斷正確的是( ) 3
A. < < B. < < C. < < D. < <
1 1
6.已知 ， 為正實數，則“ + ≥ 2”是“ + ≤ 2”的( )

A. 充要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
7.蘇格蘭數學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化大數之間的計算而發明了對數，利用對數運算可
以求出大數的位數.已知 5 = 0.699，則89是( )
A. 11位數 B. 10位數 C. 9位數 D. 8位數
8.若直線 是曲線 = 1與 = ln( 1)的公切線，則直線 的方程為( )
A. = 2 B. = C. = + 1 D. =
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.如圖所示，連接棱長為2的正方體各面的中心得到一個多面體容器，從頂點 處向該容器
內注水，直至注滿水為止.圖中水面的高度為 ，水面對應四邊形的面積為 ，容器內水的體
積為 ，則下列說法正確的是( )
A. 是 的函數 B. 是 的函數 C. 是 的函數 D. 是 的函數
10.定義在 上的函數 ( )滿足 ( ) = ( ) + ( )，則( )
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A. (0) = 0 B. ( 1) = 0
C. ( )為偶函數 D. ( )可能在(1, +∞)上單調遞增
|2 1|, ≤ 2
11.已知函數 ( ) = { ， < < < ，且 ( ) = ( ) = ( ) < ( )，則下列說法正確的是
5 , > 2
( )
A. ≥ 1 B. + < 0
C. 2 < 5 D. 2 + 2 + 2 的取值范圍為(18,34)
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12.已知 是函數 ( ) = 3 + 6的極大值點，則 = ______．
1
13.已知函數 ( ) = ln(| | + 1) 2 ，則不等式 ( ) < (1 )的解集為______． +2
14.若不等式| 3 + ( + ) | ≤ 對 ∈ [1,2]恒成立，則8 + 的最大值為______．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知 ： ∈ ， 2 + 2 + 1 = 0， ： ≤ 或 ≥ + 3．
(1)若命題￢ 是真命題，求實數 的取值范圍；
(2)若 是 的必要不充分條件，求實數 的取值范圍．
16.(本小題15分)
已知冪函數 ( ) = ( 2 3 + 3) 為偶函數，且函數 ( )滿足 ( 1) = ( )．
(1)求函數 ( )和 ( )的解析式；
(2)對任意實數 ∈ ( 1,4), ( ) + √ ( ) ≥ 0恒成立，求 的取值范圍．
17.(本小題15分)
2
已知函數 ( ) = + ． +1
(1)若 ′( ) ≥ 0，求 的最小值；
(2)證明：曲線 = ( )是中心對稱圖形．
18.(本小題17分)
1
已知函數 ( ) = 2 1．
2
(1)討論 ( )的導函數 ′( )的單調性；
(2)若對任意 > 0， ( ) > 0恒成立，求 的取值范圍．
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19.(本小題17分)
已知函數 ( )， ( )，若存在實數 ， ，使得 ( ) + ( ) = 0，則稱 ( )與 ( )為“互補函數”， ， 為
“互補數”．
1
(1)判斷函數 ( ) = + ( < 0)與 ( ) = 是否為“互補函數”，并說明理由．
16

(2)已知函數 ( ) = 1 ( < 0), ( ) = ( + 1)
為“互補函數”，且 ， 為“互補數”．

( )是否存在 ， ，使得 + = 0？說明理由．
( )若 + ∈ [ , 0)， ∈ ( 1,0)，用 的代數式表示 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 3
12.【答案】
3
1
13.【答案】( ∞, )
2
14.【答案】3
15.【答案】解：(1)因為命題￢ 是真命題，所以命題 是假命題，即關于 的方程 2 + 2 + 1 = 0無實數
根．
①當 = 0時，方程化為1 = 0，解集為空集，符合題意；
②當 ≠ 0時， = 4 2 4 < 0，解得0 < < 1．
綜上所述，實數 的取值范圍是[0,1)．
(2)根據(1)的結論，可知：若命題 是真命題，則 ∈ ( ∞, 0) ∪ [1，+∞)．
若 是 的必要不充分條件，
則設 = { | ≤ 或 ≥ + 3}， = ( ∞, 0) ∪ [1，+∞)， ，
< 0
即{ ，解得 2 ≤ < 0，所以實數 的取值范圍是[ 2,0)．
+ 3 ≥ 1
16.【答案】解：(1)由 ( )為冪函數，得 2 3 + 3 = 1，解得 = 1或 = 2．
因為 ( )為偶函數，
所以 = 2，
則 ( ) = 2；
由 ( 1) = ( )，
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可得 ( 1) = 2，
令 1 = ，
則 ( ) = ( + 1)2 = 2 + 2 + 1，
所以 ( ) = 2 + 2 + 1；
(2)由 ( ) + √ ( ) ≥ 0，
可得 2 + ( + 1) ≥ 0， ∈ ( 1,4)，
2
故 ≥ ，
+1
令 + 1 = ， ∈ (0,5)，
2
2
( 1) 1 1
則 = = + 2 ≥ 2√ 2 = 0，
+1
當且僅當 = 1，即 = 0時，等號成立，
所以 ≤ 0，即 ≥ 0，
所以 的取值范圍為[0, +∞)．
2 2
17.【答案】解：(1) ′( ) = 2 + ≥ 0，即 ≥ 2，
( +1) ( +1)
2 2 2 2 1
因為 2 = = 1 ≤ = ，
( +1) 2 +2 +1 +2+ 1 2 2+2√
1
當且僅當 = 0時，等號成立，所以 ≥ ，
2
1
故 的最小值為 ．
2
2 2 2 2 2 +2
(2)證明：由題可知 ( ) + ( ) = + + = + = = 2， +1 +1 +1 +1 +1
所以曲線 = ( )關于點(0,1)對稱，即曲線 = ( )是中心對稱圖形．
18.【答案】解：(1)由題可知 ′( ) = 1，
設 ( ) = ′( )，則 ′( ) = ，
當 ≤ 0時， ′( ) = > 0在 上恒成立，所以 ( ) = ′( )在( ∞, +∞)上單調遞增；
當 > 0時，令 ′( ) > 0，得 > ，令 ′( ) < 0，得 < ，
所以 ( ) = ′( )在( ∞, )上單調遞減，在( , +∞)上單調遞增．
綜上所述，當 ≤ 0時， = ′( )是( ∞, +∞)上的增函數，
當 > 0時， = ′( )在( ∞, )上是減函數，在( , +∞)上是增函數．
(2)當 ≤ 0時， ′( )在(0, +∞)上單調遞增， ′(0) = 0，
則 ′( ) > 0， ( )在(0, +∞)上單調遞增，故 ( ) > (0) = 0成立；
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當0 < ≤ 1時， ≤ 0，所以 ′( )在(0, +∞)上單調遞增， ′(0) = 0，
則 ′( ) > 0， ( )單調遞增，故 ( ) > (0) = 0成立；
當 > 1時，當0 < < 時， ′( ) = < 0， ′( )在(0, )上單調遞減，
又 ′(0) = 0，所以 ′( ) < 0， ( )在(0, )上單調遞減，
則 ( ) < (0) = 0不成立．
綜上， 的取值范圍為( ∞, 1]．
1 1 1
19.【答案】解：(1)因為 ( ) = + ( < 0)，所以 ( ) ≤ 2√ = ，
16 16 2
1 1
當且僅當 = ，即 = 4時取等號，所以 ( ) ∈ ( ∞, ],
16 2
1
因為 ( ) = ，所以 ′( ) = 2 ，當 ∈ (0, )時， ′( ) > 0，當 ∈ ( , +∞)時， ′( ) < 0，
1
則 ( )在(0, )上單調遞增，在( , +∞)上單調遞減，所以 ( ) = ( ) = ，
1
所以 ( ) ∈ ( ∞, ]，故不存在實數 ， ，使得 ( ) + ( ) = 0，

則 ( )與 ( )不是”互補函數”．
(2)( )存在 ， ，使得 + = 0．

由 ( ) + ( ) = 0， + = 0，得 1 + ( + 1)
= 0，

1 1
則 = ， = ，故存在．
1 1
( )令 ( ) = ， ( ) = ，則 + 1 = 0， + 1 = 0，
兩式相加可得 + + 1 = ( 1 )，
兩式相減可得 1 = ( 1 + )，
+ +1 ( 1 ) 1 + 1 1
所以 = =
1 ( 1+ ) 1+
=
+ 1
，
+1
( + 1+1)( + +1)
故 = 1 +
+ 1
．
1
( 1+1)( +1)
令 ( ) = 1 + 1 ， ∈ ( 1,0)， 1
[ 1( +1)+( 1+1)]( 1 1) ( 1+1)( +1) 1 2 2 (2 +2) 1 1
則 ′( ) = 2 = 2 ．
( 1 1) ( 1 1)
因為 ∈ ( 1,0)，所以 2 2 < 1， (2 + 2) 1 < 0，
故當 ∈ ( 1,0)時， ′( ) < 0，即 ( )在( 1,0)上是減函數．
因為 + ∈ [ , 0)， ∈ ( 1,0)，
( 1+1)( +1)
所以 的最大值為1 + ．
1 1
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