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河北省遷安市 2024-2025 學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2,3,4,5}， = {1,2,5}， = {0,1,5}，則 ( ∪ ) =( )
A. {1,5} B. {0,2,3,4} C. {3,4} D. {0,1,2,5}
2.已知 ：0 < < 2， ： 1 < < 3，則 是 的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充要也不必要條件
3.已知冪函數(shù) = ( )的圖象經(jīng)過點(2, √ 2)，則 (4) =( )
1 √ 2
A. 2 B. C. D. 2√ 2
2 2
4. = (2 1) + 是 上的減函數(shù)，則有( )
1 1 1 1
A. > B. > C. < D. <
2 2 2 2
1
5.已知函數(shù) ( ) = ，則下列選項正確的是( )
1+
1 1 1 1 1 1
A. ( ) = B. ( ) = C. ( ) = ( ) D. ( ) = ( )
( ) ( )
6.已知函數(shù) ( ) = 3，則不等式 (1 ) + (1 2) < 0的解集為( )
A. 0 < < 1 B. < 2或 > 1
C. < 1或 > 2 D. 2 < < 1
3
7.若命題：“ ∈ ，2 2 + ≥ 0”是假命題，則實數(shù) 的取值范圍是( )
8
A. 3 ≤ ≤ 0 B. 3 ≤ < 0 C. 3 < < 0 D. 3 < ≤ 0
8.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買10 黃金，售貨員先將5 的砝碼放在
天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5 的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金
放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．若顧客實際購得的黃金為 ，則( )
A. > 10 B. = 10 C. < 10 D. 以上都有可能
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列命題中，正確的有( )
A. 集合{1,2}的所有真子集為{1}，{2}
B. 若{1, } = {2, }(其中 ， ∈ )，則 + = 3
C. { | 是菱形} { | 是平行四邊形}
D. { | = 3 , ∈ } { | = 6 , ∈ }
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10.下列不等式中成立的是( )
A. 若 > > 0，則 2 > 2 B. 若 > > 0，則 2 > 2
1 1
C. 若 < < 0，則 < D. 若 < < 0，則 2 > > 2

11.以下命題正確的是( )
A. = √ 2與 = 不是同一個函數(shù)
B. 命題：“ ∈ ， + 2 ≤ 0”的否定是“ ， + 2 > 0”
+ 2, ≤ 2
C. 若函數(shù) ( ) = { 2 在 上單調(diào)遞增，則正實數(shù) 的取值范圍是(0,1] , > 2
( +1)( + )
D. 設(shè)函數(shù) ( ) = 為奇函數(shù)，則 = 1

三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
4
12.函數(shù) ( ) = √ 2 + 的定義域為______．
3
9
13.已知 < 1， + 的最大值為______．
1
, ( ≥ ) 9
14.對 ， ∈ ，記 { , } = { ，則函數(shù) ( ) = {| + 1|, 2 2 + }的最小值為______．
, ( < ) 4
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
設(shè)集合 = { |0 ≤ ≤ 2}， = { |2 < ≤ 8}．
(Ⅰ)當 = 3，時求 ( ∪ )，( ) ∩ ；
(Ⅱ)若 ，求 的取值范圍．
16.(本小題15分)
已知二次函數(shù) ( ) = 2 ．
(Ⅰ)當 = 1且 = 6時，解關(guān)于 的不等式 ( ) < 0；
(Ⅱ)若 ( ) < 0的解集是{ | 1 < < 2}，求 ， ．
17.(本小題15分)
一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小10%，而且這個比
值越大，采光效果越好．
(1)若一所公寓窗戶面積與地板面積的總和為220 2，則這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米？
(2)若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果是變好了還是變壞了？
18.(本小題17分)
已知函數(shù) ( )是定義在 上的偶函數(shù)，且當 ≤ 0時， ( ) = 2 2 ，現(xiàn)已畫出函數(shù) ( )在 軸左側(cè)的圖
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象，如圖所示，并根據(jù)圖象：
(Ⅰ)畫出函數(shù) ( )在 軸右側(cè)的圖象并寫出函數(shù) ( )( ∈ )的增區(qū)間；
(Ⅱ)寫出函數(shù) ( )( ∈ )的解析式；
(Ⅲ)若函數(shù) ( ) = ( ) + (2 2) + 2( ∈ [1,2])，求函數(shù) ( )的最大值．
19.(本小題17分)
我們知道，函數(shù) = ( )的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) = ( )為奇函數(shù)，有同學(xué)
發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù) = ( )的圖象關(guān)于點 ( , )成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) = ( + )
為奇函數(shù).已知 ( ) = 3 3 2 + 1．
(Ⅰ)求證：函數(shù) ( )圖象的對稱中心是(1, 1)；
(Ⅱ)求 ( 10) + ( 9) + + (0) + (1) + (2) + + (11) + (12)；
1 2
(Ⅲ)若 > 0、 > 0，且 (2 ) + ( + 1) = 2，則 + 的最小值．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[2,3) ∪ (3, +∞)
13.【答案】 5
3
14.【答案】
2
15.【答案】解：(Ⅰ)當 = 3時，集合 = { |0 ≤ ≤ 2} = { |3 ≤ ≤ 5}，
又因為 = { |2 < ≤ 8}，
所以 ∪ = { |2 < ≤ 8}，
所以 ( ∪ ) = { | ≤ 2或 > 8}，
又因為 = { | < 3或 > 5}，
所以( ) ∩ = { |2 < < 3或5 < ≤ 8}；
(Ⅱ)集合 = { |0 ≤ ≤ 2} = { | ≤ ≤ + 2}， = { |2 < ≤ 8}，
顯然 ≠ ，
> 2
若 ，則{ ，
+ 2 ≤ 8
解得2 < ≤ 6，
即 的取值范圍為(2,6]．
16.【答案】解：二次函數(shù) ( ) = 2 ．
(Ⅰ) = 1且 = 6時， ( ) < 0即 2 6 = ( 3)( + 2) < 0，可得 2 < < 3，
即不等式 ( ) < 0的解集為{ | 2 < < 3}；
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(Ⅱ) ( ) < 0的解集是{ | 1 < < 2}，
即 2 = 0的根為 1和2，
= ( 1) + 2 = 1
所以{ ，解得{ ．
= ( 1) × 2 = 2
17.【答案】解：(1)設(shè)這所公寓的客戶面積為 平方米，則地板面積為(220 )平方米，
< 220 220
由題意可得：{ ≥ 10%，解得： ≤ < 110． 9
220
220
所以這所公寓的窗戶面積至少為 平方米．
9
(2)設(shè)窗戶面積為 平方米，地板面積為 平方米，窗戶和地板同時增加 平方米，
+ ( + ) ( + ) ( )
則 = = ，
+ ( + ) ( + )
由題意可知0 < < ， > 0，
( ) +
∴ < 0，即 < ．
( + ) +
∴公寓的采光效果變壞了．
18.【答案】解：(Ⅰ)函數(shù) ( )是定義在 上的偶函數(shù)，所以函數(shù) ( )的圖象關(guān)于 軸對稱，
畫出函數(shù) ( )在 軸右側(cè)的圖象，如圖所示：
由圖象可知，其遞增區(qū)間為( ∞, 1)，(0,1)；
(Ⅱ)令 > 0，則 < 0，
則 ( ) = 2 + 2 ，
因為函數(shù) ( )是定義在團上的偶函數(shù)，
則 ( ) = ( ) = 2 + 2 ，
2 2 , ≤ 0
所以 ( ) = { ；
2 + 2 , > 0
(Ⅲ)函數(shù) ( ) = ( ) + (2 2) + 2( ∈ [1,2])，
因為 ∈ [1,2]，則 ( ) = 2 + 2 ，
則 ( ) = 2 + 2 + (2 2) + 2 = 2 + 2 + 2，其對稱軸為 = ，
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當 < 1時， ( )在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù)， ( ) = (1) = 2 + 1，
當1 ≤ < 2時， ( ) 2 = ( ) = + 2，
當 ≥ 2時， ( )在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)， ( ) = (2) = 4 2，
2 + 1, < 1
則 ( ) = {
2 + 2,1 ≤ < 2．
4 2, ≥ 2
19.【答案】解：(Ⅰ)證明： ( ) = 3 3 2 + 1 = ( 1)3 3( 1) 1，
設(shè) ( ) = ( + 1) + 1，
則 ( ) = 3 3 ，
易得 ( )的定義域為 ，且 ( ) = ( )，則 ( )為奇函數(shù)，
則函數(shù) ( )圖象的對稱中心是(1, 1)；
(Ⅱ)根據(jù)題意，由(Ⅰ)的結(jié)論，函數(shù) ( )圖象的對稱中心是(1, 1)，
則有 ( 10) + (12) = 2， ( 9) + (11) = 2，… …， (0) + (2) = 2，
又由 (1) = 1，
則 ( 10) + ( 9) + + (0) + (1) + (2) + + (11) + (12) = 23；
(Ⅲ)根據(jù)題意，若 > 0、 > 0，且 (2 ) + ( + 1) = 2，
則2 + + 1 = 2，變形可得2 + = 1，
1 2 1 2 4 4
則 + = (2 + )( + ) = 4 + + ≥ 4 + 2√ × = 8，

當且僅當 = 2 時等號成立，
1 2
故 + 的最小值為8．

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