資源簡介

江蘇省南京外國語學校 2024-2025 學年高二上學期 12 月月考數學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.記等差數列{ }的前 項和為 ，已知 3 + 6 = 8，則 8 =( )
A. 28 B. 30 C. 32 D. 36
2.已知等差數列{ }的首項為1，若 1， 2， 3 + 1成等比數列，則 4 =( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4

3.在等比數列{ }中， < ( ∈ )，其前 項和為 ，且6 是 和 的等差中項，則 4 +1 6 7 8 =( ) 2
A. 10 B. 15 C. 18 D. 20
4.若數列{ }為等比數列，則“ 3 ≥ 1”是“ 1 + 5 ≥ 2”的( )
A. 充要條件 B. 既不充分也不必要條件
C. 充分不必要條件 D. 必要不充分條件
2 2 2 2
5.已知 > > 0，設橢圓 1： 2 + 2 = 1與雙曲線 2： 2 2 = 1的離心率分別為 1， 2.若 2 = 3 1，則雙
曲線 2的漸近線方程為( )
2√ 5 4 √ 5 √ 5
A. = ± B. = ± C. = ± D. = ±
5 5 2 5
6.設數列{ }是以2為首項，1為公差的等差數列，{ }是以1為首項，2為公比的等比數列，則 + + +1 2
=( ) 10
A. 1033 B. 1034 C. 2057 D. 2058
7.已知數列{ }滿足 1 = 1，前 項和為 ，

+1 = 2 ( ∈ )，則 2024等于( )
A. 22024 1 B. 3 × 21012 1 C. 3 × 21012 2 D. 3 × 21012 3
8.在學習完“錯位相減法”后，善于觀察的同學發現對于“等差×等比數列”此類數列求和，也可以使用
“裂項相消法”求解.例如 = ( + 1) 2
= ( + 1) 2 ( ) 2 +1，故數列{ }的前 項和 = 1 +
2 + 3 + + = 0 × 2
1 ( 1) × 22 + ( 1) × 22 ( 2) × 2
3 + + ( + 1) 2 ( ) 2 +1 =
2
2 +1

，記數列{ }的前 項和為 ，利用上述方法求 40 6 =( ) 2
883 883 883 883
A.
240
B. 40 C. 39 D. 2 2 239
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知數列{ }的前 項和為 ，下列說法正確的是( )
A. 若點( , )在函數 = + ( , 為常數)的圖象上，則{ }為等差數列
B. 若{ }、{ }為等比數列，則{ + }為等比數列
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C. 若{ }為等差數列， 1 > 0， 11 > 0， 12 < 0，則當 = 6時， 最大
1 1
D. 若{ }為等比數列且
1
= 3 ，則 = 6 6
2 2
10.已知雙曲線 ： = 1的左右焦點分別為 ，
4 12 1 2
，點 是 上一點，經過點 (1,√ 2)作斜率為 的直線
與 交于 ， 兩點，則下列結論正確的有( )
A. 若| 1| = 5，則| 2| = 1或9
B. 左焦點 1到漸近線距離為2√ 3
C. 若 ， 兩點分別位于 的兩支，則 ∈ ( √ 3,√ 3)
D. 點 不可能是線段 的中點
11.唐代詩人羅隱有詠“蜂”詩云：“不論平地與山尖，無限風光盡被占.采
得百花成蜜后，為誰辛苦為誰甜？”蜜蜂是最令人敬佩的建筑專家，蜂巢
的結構十分的精密，其中的蜂房均為正六棱柱狀.如圖是蜂房的一部分，若
一只蜜蜂從蜂房 出發，想爬到第1，2，3，…， ( ∈ )號蜂房，只允許自左向右(不允許往回走)，記該蜜
蜂爬到第 號蜂房的路線數為數列{ }，則( )
A. 10 = 89 B. 2 2023 = 2024 + 2022
C. ∑2024 = ∑1012 =1 =1 2 +1 D. ∑ =1 = +2 2
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12.若{ }是等比數列，且 > 0， 4 5 = 9，則log3 1 + log3 2 + log3 3 + + log3 8 = ______．
2 2 √ 2
13.已知橢圓 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦點為 ，過原點且斜率為 的直線與橢圓交于 ， 兩點，若 2

2
= ，則橢圓的離心率為______．
2

14.已知數列{ }滿足 = 1， = 2 + 1( ∈ )，記數列{
+1
1 +1 }的前 項和為 .若對于任意( +2)( +1+2)
∈ ，不等式 > 恒成立，則實數 的取值范圍為______．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
設等差數列{ }的前 項和為 ，且 6 = 4 3， 5 = 9．
(1)求數列{ }的通項公式；

(2)設數列{ }滿足
1 + 22 + +
1
1 +

= ，求數列{ }的前 項和 ． 2 2 2 2
16.(本小題15分)
根據下列條件，分別求滿足條件的直線或圓的方程：
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(1)已知以點 ( 1,2)為圓心的圓與直線 1： + 2 + 7 = 0相切，過點 ( 2,0)的動直線 與圓 相交于 ， ，
當| | = 2√ 19時，求直線 的方程．
(2)以 (4, 3)為圓心的圓與圓 2 + 2 = 4相切，求圓 的方程．
17.(本小題15分)
設數列{ }滿足 1 = 1， 2 = 2， +2 = 4 +1 3 + 6 3．
(1)證明：數列{ +1 + 3 }為等比數列；
(2)求數列{ }的通項公式．
18.(本小題17分)
1 1
在平面直角坐標系 中， 軸右側動點 到 軸的距離比點 到點 ( , 0)的距離小 ，動點 的軌跡為 ．
4 4
(1)求 的方程；
(2)過曲線 上一點 (1, 0)作兩條互相垂直的直線分別交曲線 于 ， 兩點，過點 作 ⊥ ，交 于點
，若點 的坐標為(0, 1)，求 長度的最小值．
19.(本小題17分)

設{ }的前 項和為 = (1 + )，且 2 + 3 = 5． 2
(1)求{ }的通項公式；
, 為奇數
(2)數列{ }的通項公式為 = { ，求其前 項和 ；
2

, 為偶數
1 3
(3)記 = ，{ 2
}的前 項和為 ，求證： < ．
4
第 3 頁，共 7 頁
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】8
√ 2
13.【答案】
2
1
14.【答案】[ , +∞)
3
6×5 3×2
= 6 + = 4 × (3 + )
15.【答案】解：(1)設等差數列{ }的首項為
6 1 1
1，公差為 ，所以{ 2 2 ，解
5 = 1 + 4 = 9

得{ 1
= 1
，
= 2
故 = 1 + 2( 1) = 2 1．
(2)由(1)得： 2 = ，

由于 1 + 2

2 +. . . +

= 2，①， 2 2 2

所以 1

+ 2

2 +. . . +
1 2
1 = ( 1) ，②， 2 2 2

① ②得： = 2 1，故 = (2 1) 2
，
2
所以： 1 2 = 1 × 2 + 3 × 2 +. . . +(2 1) 2
，③，
故2 = 1 × 2
2 + 3 × 23+. . . +(2 1) 2 +1，④，
③ ④得： = (2 3) 2
+1 + 6．
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| 1×1+2×2+7|
16.【答案】(1)易知 ( 1,2)到直線 + 2 + 7 = 0的距離為圓 半徑 ，所以 = = 2√ 5，則圓
√ 12+22
方程為( + 1)2 + ( 2)2 = 20，
過 做 ⊥ ，由垂徑定理可知∠ = 90°，且| | = √ 19，
在 △ 中由勾股定理易知| | = √ | |2 | |2 = 1，
①當動直線 斜率不存在時，設直線 的方程為 = 2，
經檢驗圓心到直線 的距離為1，且根據勾股定理可知| | = 2√ 19，顯然 = 2合題意，
②當動直線 斜率存在時， 過點 ( 2,0)，設 方程為： = ( + 2)，
| +2 2| 3
由 ( 1,2)到 距離為1知 = 1，解得 = ，代入得到直線的方程為3 4 + 6 = 0，
2 4√ 1+
所以3 4 + 6 = 0或 = 2即為所求．
(2)兩圓的圓之心之間的距離為√ 42 + ( 3)2 = 5．
①當兩圓外切時，圓 的半徑為5 2 = 3；
②當兩圓內切時，圓 的半徑為5 + 2 = 7．
∴圓 的方程為( 4)2 + ( + 3)2 = 49或( 4)2 + ( + 3)2 = 9．
故答案為：( 4)2 + ( + 3)2 = 49或( 4)2 + ( + 3)2 = 9．
17.【答案】(1)證明：已知數列{ }滿足 1 = 1， 2 = 2， +2 = 4 +1 3 + 6 3，
則 +2 +1 + 3( + 1) = 3( +1 + 3 )，
又 2 1 + 3 = 4，
則數列{ +1 + 3 }是以4為首項，3為公比的等比數列；
(2)解：由(1)可得 +1 + 3 = 4 × 3
1，
則當 ≥ 2時， = ( 2 3 1) + ( 1 2)+. . . +( 2 1) + 1 = 4 × (3 + 3 +. . . +3
0) 3[(
4(1 3 1) 3(1+ 1)( 1)
1) + ( 2)+. . . +1] + 1 = + 1 = 2 3 1
3 ( 1)
1，
1 3 2 2
又當 = 1時， 1 = 1滿足上式，
3 ( 1)
即 = 2 3
1 1．
2
1 1
18.【答案】解：(1)設 ( , )， > 0，由動點 到 軸的距離比點 到點 ( , 0)的距離小 ，
4 4
1 1 1
可得| | + = √ ( )2 + 2，兩邊平方可得 2 = ( + | |)，
4 4 2
由 > 0， 2 = ，
則 的方程為 2 = ( > 0)；
(2)可設 (1,1)，
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設 ( 2, )， ( 21 1 2 , 2)，
1 1 1 1
=
1
2 = ， =
2 = ，
1 1+1
21 2 1 2+1
由 ⊥ ，可得 = 1，即 1 2 + ( 1 + 2) + 2 = 0，
設直線 的方程為 = + ，代入 2 = ，可得 2 = 0， = 2 + 4 > 0，
即有 1 + 2 = ， 1 2 = ，則 + + 2 = 0，
則直線 的方程為 = + + 2 = ( + 1) + 2，可得直線 恒過定點 (2, 1)，
3 √ 5
又 ⊥ ，交 于點 ，可得 在以 為直徑的圓上，且圓心為( , 0)，半徑為 ，
2 2
3 √ 5 √ 13 √ 5
則 長度的最小值為√ ( 0)2 + (0 + 1)2 = ．
2 2 2

19.【答案】解：(1){ }的前 項和為 = (1 + )，且 2 + 2 3 = 5，
1
可得 1 = 1 = (1 + 1)，解得 1 = 1， 2
3 3
當 = 3時， 1 + 2 + 3 = (1 + 3)，即1 + 5 = (1 + 3)，解得 3 = 3， 2 = 2， 2 2
1
當 ≥ 2時，由 = (1 + )，可得 1 = (1 + 2 2 1)，
1
相減可得 = 1 = (1 + ) (1 + 2 2 1)，
化為( 2) ( 1) 1 = 1，

當 ≥ 3時，
1 1 1 1 = = ，
1 2 ( 1)( 2) 1 2
可得 = 2 + (
3 ) + ( 4 3)+. . . +( 1)
1 2 2 3 2 1 2
1 1 1 1 1 1
= 2 + 1 + +. . . + = 1 + = ，
2 3 2 1 2 1 1
可得 = ，對 = 1， = 2也成立，
所以 = ， ∈ ；
, 為奇數 , 為奇數
(2)數列{ }的通項公式為 = { = { ，
2 , 為偶數 2 , 為偶數
當 為偶數時，可得其前 項和 = (1 + 3 + 5+. . . + 1) + (4 + 16+. . . +2
)

1 1 4(1 42) 1 1
= + = 2 + (2 +2 4)；
2 2 1 4 4 3
1 1 1 1
當 為奇數時， =
2 +1 2 +1
1 + = ( 1) + (2 4) + = ( + 1) + (2 4)， 4 3 4 3
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1
( + 1)2
1
+ (2 +1 4), 為奇數
即有 = {4 3 ； 1 1
2 + (2 +2 4), 為偶數
4 3
1 1
(3)證明： = = ， 2 2
1 1
(1 )
1 1 1 1 1 5 1 1 1 5 16 2
{ 2 }的前 項和為 = + + + +. . . + < + + +. . . + = + 2 8 24 56 2 8 16 32 2 +1 8 11
2
5 1 1 3 1 3
= + (1 2) = +1 < ． 8 8 2 4 2 4
第 7 頁，共 7 頁

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