資源簡介

上海市復旦中學 2024-2025 學年高二上學期期中數學試卷
一、單選題：本題共 4 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
2 2
1.已知曲線 + = 1(4 < < 8)，則此曲線的焦點坐標為( )
8 4
A. (±2,0) B. (±2√ 3, 0) C. (0,±2) D. (±√ 12 2 , 0)
2.過點 ( √ 3, 1)的直線 與圓 2 + 2 = 1有公共點，則直線 傾斜角的取值范圍是( )

A. (0, ] B. [0, ] C. [0, ] D. (0, ]
6 3 6 3
2 2
3.過橢圓 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦點 ( , 0)( > 0)的直線與 的一個交點為 ，與圓 ：
2 + 2 =

1
2相切于點 ，若 = ，則 的離心率為( )
4
1 √ 3 √ 3
A. B. √ 3 1 C. D. 1
2 2 2
4.已知圓 1：( 2)
2 + ( 3)2 = 1，圓 2：( 3)
2 + ( 4)2 = 9， ， 分別是圓 1， 2上的動點， 為
軸上的動點，則| | + | |的最小值為( )
A. √ 17 1 B. 5√ 2 4 C. 6 2√ 2 D. √ 17
二、填空題：本題共 12 小題，共 54 分。
5.雙曲線3 2 2 = 8的兩條漸近線為______．
1
6.拋物線的準線方程是 = ，則其標準方程是______．
2
2 2
7.橢圓 + = 1的長軸長為______．
4 3
2
8.雙曲線 2 = 1的左焦點到其漸近線的距離為______．
3
2 2 √ 6
9.已知雙曲線 + = 1的離心率 = ，則 = ______．
2 2
√ 2
10.在平面直角坐標系 中，橢圓 的中心為原點，焦點 1， 2在 軸上，離心率為 .過 1的直線 交橢圓 2
于 ， 兩點，且△ 2的周長為16，那么橢圓 的方程為______．
11.圓 2 + 2 2 6 + 9 = 0關于直線 1 = 0對稱的圓的一般方程是______．
2 √ 3
12.已知 1， 2是橢圓 +
2 = 1的兩個焦點， 是橢圓上在第一象限內的點，當△ 的面積為 ，則
4 1 2 2 1
2 = ______．
13.著名的天文學家、數學家開普勒發現了行星運動三大定律，其中開普勒第一定律又稱為軌道定律，即所
有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且太陽中心處在橢圓的一個焦點上.記地球繞太陽運動的軌道為橢圓 ，
在地球繞太陽運動的過程中，若地球軌道與太陽中心的最遠距離與最近距離之比為2，則 的離心率為 ．
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14.與圓 1：( + 3)
2 + 2 = 1外切，且與圓 2：( 3)
2 + 2 = 81內切的動圓圓心 的軌跡方程為______．
2
15.已知 1( 1, 1)， 2( 2 , 2)兩點均在雙曲線 ：
2
2 = 1( > 0)的右支上，若 1 2 > 1 2恒成立，則實
數 的取值范圍為______．
16.已知 ( 0 , 0)為圓 ：( )
2 + ( )2 = 2( > 0)上的任意一點，當 ≠ 時，| 0 0 + | + | 0
0 + |的值與 0， 0無關，下列結論正確的是______．
(1)當| | = 2√ 2 時，點( , )的軌跡是一條直線；
(2)當| | = 2√ 2時，有 的最大值為1；
(3)當 = √ 2， = 2時， 的取值范圍 ≥ 6．
三、解答題：本題共 5 小題，共 78 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題14分)
2
已知橢圓 + 2 = 1的左焦點為 1，直線 ： = 1與橢圓 交于 、 兩點． 2
(1)求線段 的長；
(2)求△ 1的面積．
18.(本小題14分)
√ 5
已知雙曲線 的中心在原點，焦點 ( , 0)，雙曲線過點(1, √ 3)，且直線 ： = + 1與雙曲線 交于 、 兩
2
點．
(1)求雙曲線的方程；
(2) 為何值時 ⊥ ．
19.(本小題14分)
已知拋物線 ： 2 = 4 的焦點為 ．
(1)求拋物線 的焦點坐標和準線方程；
(2)過焦點 的直線 與拋物線交于 、 兩點，若| | = 3，求線段 的長．
20.(本小題18分)
2
已知雙曲線 ： 2 = 1，點 1、 2分別為雙曲線的左、右焦點， ( 3 1
, 1)、 ( 2, 2)為雙曲線上的點．
(1)求右焦點 2到雙曲線的漸近線的距離；
(2)若 2 = 3 2 ，求直線 的方程；
(3)若 1// 2，其中 、 兩點均在 軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形 1 2 的面積的
取值范圍．
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21.(本小題18分)
“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富
的數學知識，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)：
步驟1：設圓心是 ，在圓內異于圓心處取一定點，記為 ；
步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點 (即折疊后圖中的點 與點 重合)；
步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕，記折痕與 的交點為 ；
步驟4：不停重復步驟2和3，就能得到越來越多的折痕．
現對這些折痕所圍成的圖形進行建模研究.若取半徑為6的圓形紙片，如圖，設定點 到圓心 的距離為4，按
上述方法折紙.以點 ， 所在的直線為 軸，線段 中點為原點建立平面直角坐標系．
(1)若已研究出折痕所圍成的圖形即是折痕與線段 交點的軌跡，求折痕圍成的軌跡的標準方程．
1
(2)直線 = 1與 在第一象限內交于點 ，直線 ： = + 與 交于 、 兩點(均異于點 )，則直線 、
2
的斜率之和是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．
(3)記(1)問所得圖形為曲線 ，若過點 (1,0)且不與 軸垂直的直線 與曲線 交于 、 兩點，在 軸的正半
軸上是否存在定點 ( , 0)，使得直線 ， 斜率之積為定值？若存在，求出該定點和定值；若不存在，請
說明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】 = ±√ 3
6.【答案】 2 = 2
7.【答案】4
8.【答案】√ 3
9.【答案】1
2 2
10.【答案】 + = 1
16 8
11.【答案】( 4)2 + 2 = 1
1
12.【答案】
4
1
13.【答案】
3
2 2
14.【答案】 + = 1
25 16
15.【答案】[1,+∞)
16.【答案】①②
2 2 3
17.【答案】解：(1)聯立直線與橢圓方程得{ + = 12 2 2 = 0，
2
= 1
4
解得 1 = 0, 2 = ， 3
4 1
所以 (0, 1), ( , )，
3 3
所以| | = √ ( )2 2
4√ 2
1 2 + ( 1 2) = ； 3
(2)由題可知，左焦點 1( 1,0)，
| 2|
所以點 1到直線 ： 1 = 0的距離為 = = √ 2， √ 2
1 1 4√ 2 4
故 △ = | | = × × √ 2 = ． 1 2 2 3 3
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2 2
18.【答案】解：(1)設雙曲線方程為 = 1，
2 2
√ 5 1 3
由題可得 = ， 2 2 = 1，
2 = 2 + 2，
2
1
解得： 2 = ， 2 = 1，
4
所以雙曲線的方程為：4 2 2 = 1；
(2)由題，設 ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
= + 1
聯立方程組{ 2 2 ，化簡得(4
2) 2 2 2 = 0，
4 = 1
則 = ( 2 )2 + 4 × 2(4 2)> 0，解得： 2√ 2 < < 2√ 2，且 ≠ ±2，
2 2
所以 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，
4 4
又 = ( , )， 1 1 = ( , )， ⊥ 2 2 ，
所以 1 2 + 1 2 = 0，
即(1 + 2) 1 2 + ( 1 + 2)+ 1 = 0，
2 2
即(1 + 2)× ( 2 )+ × 2 +1 = 0，
4 4
解得： = ±√ 2，
即當 = ±√ 2時， ⊥ ．
19.【答案】解：(1)因為2 = 4，
解得 = 2，
則拋物線 的焦點坐標 (1,0)，準線方程為 = 1；
(2)不妨設 ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
因為| | = 1 + 1 = 3，
所以 1 = 2，
當 = 2時，
解得 = ±2√ 2，
不妨令 (2,2√ 2)，
此時直線 的方程為 = 2√ 2( 1)，
2 = 4
聯立{ ，消去 并整理得2 2 5 +2 = 0，
= 2√ 2( 1)
5
由韋達定理得 1 + 2 = ， 2
9
則| | = | | + | | = | 1|+ | 1| = 1 +1 + 2 + 1 = ． 2
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20.【答案】解：(1)由題，右焦點 2 (2,0)，
漸近線方程為√ 3 ± = 0，
2√ 3
因此焦點 2到漸近線的距離為 = = √ 3； 2
(2)顯然，直線 不與 軸重合，設直線 方程為 = + 2，
由 2 = 3 2 ，得 1 = 3 2，
= +2
聯立方程{ 2 2 2
2
，得(3 1) + 12 + 9 = 0，
= 1
3
12 9
其中， = 36 2 +36 > 0恒成立， 1 + 2 = 3 2
， 1 1 2
= ，
3 2 1
6 3
代入 1 = 3 2，消元得 2 = 2 ，
2
3 1 2
= ，
3 2 1
3 6 √ 15
即 2 = ( )
2
2 ，解得 = ± ， 3 1 3 1 15
√ 15
所以，直線 的方程為 = ± + 2；
15
(3)延長 1交雙曲線于點 ，延長 2交雙曲線于點 .則由對稱性得，四邊形 為平行四邊形，且面積為
四邊形 1 2 面積的2倍，
由題，設 ( 3, 3)，直線 程為 = 2，直線 方程 = +2，
√ 36 2+36 6( 2+1)
由第(2)問，易得| | = √ 1 + 2| 2 3| = √ 1 + 2 |3 2
= 2 ， 1| |3 1|
1 6( 2+1)
因為 2 3 < 0，得3
2 1 < 0，即0 ≤ 2 < ，因而| | = ，
3 1 3 2
4
平行線 與 之間的距離為 = ，
√ 1+ 2
1 1 12√ 1+ 2
因此， 1 2 = = | | = ， 2 2 1 3 2
4
令√ 1 + 2 = ，則1 ≤ 1 + 2 < ，
3
2
故 ∈ [1, √ 3),
3
12 12 2
得 = 2 = 4 在 ∈ [1, √ 3)上是嚴格增函數， 1 2 4 3 3 3

故 1 2 ≥ 12(等號當且僅當 = 1時成立)
所以，四邊形 1 2 面積的取值范圍為[12,+∞)．
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21.【答案】解：(1)如圖，以點 ， 所在的直線為 軸，線段 中點為原點建立平面直角坐標系，
設交點 ( , )，由題意知| | + | | = | | + | | = 6 > | | = 4，
所以點 的軌跡是以 ， 為焦點，長軸長為6的橢圓，
則2 = 6，2 = 4，所以 = 3， = 2，所以 2 = 2 2 = 5，
2 2
所以點 的軌跡方程為 + = 1．
9 5
(2)不為定值，理由如下：
直線 = 1與橢圓在第一象限內的交點 2√ 10 (1, )，
3
1
= +
2
設 ( 1 , 1)， ( 2, 2)， 1 ≠ 2 ≠ 1，聯立{ 2 2 ，
+ = 1
9 5
消去 得29 2 + 36 + 36 2 180 = 0， = (36 )2 4× 29(36 2 180) > 0，
解得 √ 29 √ 29 < < ，
2 2
2
由韋達定理得 36 36 180 1 + 2 = , 29 1
2 = ， 29
2√ 10 2√ 10
1 2
+ = 3 + 3 1 1 2 1
1 2√ 10 1 2√ 10
( 1+ )( 2 1)+( 2+ )( 1)
= 2 3 2 3
1
( 1 1)( 2 1)
2√ 10 1 4√ 10
1 2+( )( 1+ 2) 2 +
= 3 2 3 不為定值．
1 2 ( 1+ 2)+1
2 2
(3) + = 1設直線 的方程為 = + 1，聯立{ 9 5 ，消去 得(5 2 + 9) 2 +10 40 = 0，
= + 1
其中 = 100 2 + 160(5 2 +9) = 20(45 2 + 72) > 0，
10 40
設 ( 3 , 3)， ( 4 , 4)，則 3 + 4 = 2 ， 3 4 =5 +9 5 2 ， +9
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3
4
所以 = 3 4

= 3 4
( 3+1 )( 4+1 )

= 3 4
2
2
3 4+ (1 )( 3+ 4)+(1 )
40
= 5
2+9
40 2 10 2(1 ) 2
2 + 2 +(1 )5 +9 5 +9
40
=
5( 2
2，
9) 2+9(1 )
要使 為定值，則
2 9 = 0，∵ > 0，∴ = 3，
10
此時 = ． 9
所以存在點 (3,0)
10
使得直線 ， 斜率之積為定值，定值為 ．
9
第 8 頁，共 8 頁

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