資源簡介

天津市雙菱中學 2024-2025 學年高二上學期期中數學試卷
一、單選題：本題共 9 小題，每小題 3 分，共 27 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.在平面直角坐標系 中，直線 + √ 3 1 = 0的傾斜角等于( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
2 2
2.若方程 = 1表示焦點在 軸上的橢圓，則實數 的取值范圍為( )
2
A. 0 < < 2 B. 0 < < 2且 ≠ 1
C. 0 < < 1 D. 1 < < 2
3.設 ， ∈ ，向量 = ( , 1,1)， = (1, , 1)， = (2, 4,2)，且 ⊥ ， // ，則| + | = ( )．
A. 2√ 2 B. √ 10 C. 3 D. 4
4.如圖，在四面體 中，點 在棱 上，且滿足 = 2 ，點 ， 分別是線段 ，
的中點，則用向量 ， ， 表示向量 應為( )
A.
1 1 1
= + +
3 4 4
B.
1
=
1

1
+
3 4 4
1 1 1C. =
3 4 4
D.
1
=
1 1
+
3 4 4
5.已知直線 1：3 4 + 7 = 0與直線 2：6 ( + 1) + 1 = 0平行，則 1與 2之間的距離為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 2
6.雙曲線 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的一條漸近線與直線 + 2 + 1 = 0垂直，則雙曲線 的離心率為( )
√ 5
A. √ 3 B. C. √ 5 D. √ 2
2
7.一條光線從點( 2,3)射出，經 軸反射后與圓( 3)2 + ( 2)2 = 1相切，則反射光線所在直線的斜率為
( )
6 5 5 4 3 2 4 3
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5 6 4 5 2 3 3 4
8.直線 = + 與曲線 = √ 1 2有且僅有一個公共點，則 的取值范圍是( )
A. | | = √ 2 B. 1 < ≤ 1或 = √ 2
C. 1 ≤ ≤ √ 2 D. 0 < ≤ 1或 = √ 2
第 1 頁，共 8 頁
2 2
9.已知雙曲線 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦點分別為 1， ， 是雙曲線 右支上一點，若 2 2 =
2 2 ， 1 2 = 0，且| 2 | = ，則雙曲線 的離心率為( )
√ 7 2√ 3 √ 5+1 3√ 2
A. B. C. D.
2 3 2 2
二、填空題：本題共 6 小題，每小題 4 分，共 24 分。
10.已知向量 = (2, 1,1)， = (1, , 1)， = (1, 2, 1)，當 ⊥ 時，向量 在向量 上的投影向量為______. (
用坐標表示)
11.已知圓 ： 2 + 2 2 + 2 4 = 0與圓 ： 2 + 2 4 + 3 = 0有4條公切線，則 的取值范圍為
______．
12.若空間中有三點 (1,1, 1)， (0,1,1)， (1,2,0)，則 到直線 的距離為______；點 (1,2,3)到平面
的距離為______．
13.如圖所示，在棱長均為2的平行六面體 ′ ′ ′ ′中，∠ ′ =
∠ ′ = ∠ = 60°，點 為 ′與 ′ 的交點，則 的長為______．
14.已知圓 ： 2 + 2

4 1 = 0， ( , )是圓 上的動點，則 = 的最大值為______； 2 + 2的最
+3
小值為______．
2 2
15.已知雙曲線 2 2 = 1( > 0, > 0)的離心率為2， 1， 2分別是雙曲線的左、右焦點，點 ( , 0)， (0, )，
點 為線段 上的動點，當

1 2取得最大值和最小值時，△
1
1 2的面積分別為 1， 2，則 = ______． 2
三、解答題：本題共 5 小題，共 49 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題9分)
根據下列條件，分別寫出直線的方程：
(1)斜率為 2，在 軸上的截距為 2．
(2)已知平面內兩點 (6, 6)， (2,2)，求過 (2, 3)且與直線 平行的直線 的方程．
(3)求經過點 ( 5,2)，且在 軸上的截距等于在 軸上截距的2倍的直線方程．
17.(本小題9分)
已知⊙ 的圓心在 軸上，經過點(1, √ 3)和(2,2)．
(1)求⊙ 的方程；
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(2)過點 (3,1)的直線 與⊙ 交于 、 兩點．
(ⅰ)若| | = 2√ 3，求直線 的方程；
(ⅱ)求弦 最短時直線 的方程．
18.(本小題9分)
2
已知雙曲線 ： 22 = 1( > 0)的焦距為2√ 5且左右頂點分別為 1， 2，過點 (4,0)的直線 與雙曲線 的
右支交于 ， 兩點．
(1)求雙曲線的方程；
√ 3
(2)若直線 的斜率為 ，求弦長| |．
2
19.(本小題11分)
如圖，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ，點 ， ， 分別為 1 1， 1， 的中點， = = 1 = 2．
(1)求證： //平面 ；
(2)求直線 與平面 1 所成角的正弦值；
(3)求平面 1 與平面 1 夾角的余弦值．
20.(本小題11分)
2 2
已知橢圓 ：2 + 2 = 1( > > 0)的右焦點 在直線 + 2 1 = 0上， ， 分別為 的左、右頂點，且| | =
3| |．
(1)求 的標準方程；
(2)是否存在過點 ( 1,0)的直線 交 于 ， 兩點，使得直線 ， 的斜率之和等于 1？若存在，求出 的
方程；若不存在，請說明理由．
第 3 頁，共 8 頁
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】( 1,2,1)
11.【答案】( ∞, √ 5) ∪ (√ 5, +∞)
√ 6
12.【答案】√ 2
2
13.【答案】√ 11
1
14.【答案】 9 4√ 5
2
15.【答案】4
16.【答案】解：(1)因為直線的斜率為 2，在 軸上的截距為 2，
所以直線的斜截式方程為 = 2 2，
化簡可得2 + + 2 = 0；
(2)因為 (6, 6)， (2,2)，
6 2
所以 = = 2，
6 2
由題意直線 斜率也為 2，
又因為直線 過 (2, 3)，
所以直線 的方程為： + 3 = 2( 2)，
即2 + 1 = 0；

(3)當直線不過原點時，設所求直線方程為 + = 1，即 + 2 = 2 ，
2
1
將 ( 5,2)代入，可得 5 + 2 × 2 = 2 ，解得 = ，
2
1
所以 + 2 = 2 × ( ) = 1，
2
第 4 頁，共 8 頁
所以直線方程為 + 2 + 1 = 0；
當直線過原點時，設直線方程為 = ，
2
將 ( 5,2)代入，可得 5 = 2，解得 = ，
5
2
所以直線方程為 = ，即2 + 5 = 0，
5
綜上可得，所求直線方程為 + 2 + 1 = 0或2 + 5 = 0．
17.【答案】解：(1) ⊙ 的圓心在 軸上，經過點(1, √ 3)和(2,2)．
設圓心為 ( , 0)，由題意可得√ ( 1)2 + 3 = √ ( 2)2 + 4，解得 = 2，
可得圓的半徑為 = √ (2 1)2 + 3 = 2，因此，圓 的標準方程為( 2)2 + 2 = 4．
| |
(2)①當| | = 2√ 3時，圓心 到直線 的距離為 = √ 22 ( )2 = √ 4 3 = 1，
2
當直線 的斜率存在時，設直線 的方程為 1 = ( 3)，即 + 1 3 = 0，
|2 +1 3 | |1 |
則 = = = 1，解得 = 0，此時，直線 的方程為 = 1．
√ 2 2 +1 √ +1
當直線 的斜率不存在時，直線 的方程為 = 3，此時，圓心 到直線 的距離為1，合題意．
綜上所述，直線 的方程為 = 3或 = 1．
②當 ⊥ 時，圓心 到直線 的距離最大，此時，| |取最小值，
0 1 1
因為 = = 1，則 = = 1， 2 3
此時，直線 的方程為 1 = ( 3)，即 + 4 = 0．
18.【答案】解：(1)因為雙曲線的焦距為2√ 5，
所以，2 = 2√ 5，
解得 = √ 5，
又 = 1，
所以 2 + 1 = 5，
解得 = 2，
2
則雙曲線的方程為 2 = 1．
4
√ 3
(2)直線 的方程為 = ( 4)，
2
√ 3
= ( 4)
聯立{ 2 2
2
，消去 并整理得 12 + 26 = 0，
2 = 1
4
設 ( 1, 1)， ( 2, 2)，此時 > 0恒成立，
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由韋達定理得 1 + 2 = 12， 1 2 = 26，
所以| | = √
√ 3 2 2 √ 7 1 + ( ) ．√ ( 1 + 2) 4 1 2 = × √ 12
2 4 × 26 = √ 70．
2 2
19.【答案】解：(1)證明：設 1 ∩ 1 = ，連接 ， ，則 為 1， 1 的中點，
因為 ， 分別為 1 ， 的中點，則 // 1 ，
且 1 // ，則 // ，
由 平面 ， 平面 ，可得 //平面 ，
又因為 ， 分別為 1， 1的中點，則 // ，
由 平面 ， 平面 ，可得 //平面 ，
且 ∩ = ， ， 平面 ，可得平面 //平面 ，
由 平面 可得 //平面 ．
(2)由題意可得： 1 = 1, 1 = √ 5，
作 1 ⊥ 1 ，垂足為 ，
因為 1 ⊥平面 1 1 1， 1 平面 1 1 1，可得 1 ⊥ 1 ，
且 1 ∩ 1 = 1， 1 ， 1 平面 1 ，可得 1 ⊥平面 1 ，
1×2 2√ 5
由等面積可得 = 1 1 11 = = ， 1 √ 5 5
可知點 1到平面 1 的距離為
2√ 5
1 = ， 5
且點 為 1 1的中點，則點 1到平面 1 的距離
2√ 5
= 1 = ， 5
取 1的中點 ， 1的中點 ，連接 1， ，
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則 1 // ， 1 = ，則 1 為平行四邊形，可得 1 // ，
又因為 ， 分別為 ， 的中點，則 // ，且 1 √ 51 1 1 1 = 1 = ， 2 2
可得 // ，
可知直線 與平面 1 所成角即為直線 與平面 1 所成角，
因為 1 // 1， 1 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1 //平面 1 ，所以 到平面 1 的距離等于點 1到平面 1 的距離，
2√ 5
4
設直線 與平面 1 所成角為 ，則 = =
5 = ，
√ 5 5
2
4
所以直線 與平面 1 所成角的正弦值為 ． 5
(3)由(2)可知： 2√ 5 1 √ 5 = √ 2 2 2 2 ， 1 1 = √ 1 ( ) = √ =5 5 5
作 ⊥ ，垂足為 ，
因為 1 ⊥平面 1 ， 平面 1 ，可得 1 ⊥ ，
且 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 ，可得 ⊥平面 1 ，
由 1 平面 1 ，可得 ⊥ 1 ，
可知平面 1 與平面 1 夾角為∠ 1 ，
由 1 ⊥平面 1 1 1， 1 平面 1 1 1，可得 1 ⊥ 1 ，
2
在 △ 1 中，則 1 = 2, 1 = √ 5, = 3，可得sin∠ =
1 = ，
3
在 △ 中，則 2√ 5 = sin∠ = ，
15
在 △ 1 中，則
2√ 5 2√ 5 4 4 40 8 2√ 2
1 = √ 2 + 2 = √ ( )21 + ( )2 = √ + = √ = √ = ， 5 15 5 45 45 9 3
2√ 5
15 √ 10可得cos∠ 1 = = = ， 1 2√ 2 10
3
所以平面 √ 101 與平面 1 夾角的余弦值為 ． 10
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20.【答案】解：(1)設橢圓 的右焦點 ( , 0)，
因為橢圓 的右焦點 在直線 + 2 1 = 0上，且| | = 3| |，
= 1
所以{ + = 3( )，
2 = 2 + 2
解得 = 2， = √ 3，
2 2
則橢圓 的方程為 + = 1；
4 3
(2)當直線 的斜率為0時，
此時不滿足 + = 1；
當直線 的傾斜角不為0時，
設直線 的方程為 = 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= 1
聯立{ 2 2 ，消去 并整理得(3
2 + 4) 2 6 9 = 0，
3 + 4 = 12
此時 = 36 2 4 × (3 2 + 4) × ( 9) = 144 2 + 144 > 0，
6 9
由韋達定理得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， 3 +4 3 +4
2 3( + )
則 1 2 1 2 + = + = + =
1 2 1 2
2 1 2 2 2 1 3 2 3 1 2 3 ( 1+ 2)+9
9 6
2 × 2 3×
= 3 +4 3
2+4
2 9 6
= ，
×
3 2
3 × +9
+4 3 2+4
因為 + = 1，
解得 = 1．
故存在滿足條件的直線，直線 的方程為 + 1 = 0．
第 8 頁，共 8 頁

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