資源簡介

第一章　勾股定理
考點1　勾股定理
1.已知一個直角三角形的兩邊長分別為5 cm，12 cm，則這個三角形的第三邊長為（　　）
A.13 cm B.17 cm C. cm D.13 cm或 cm
2.如圖，有兩棵樹，一棵高14 m，一棵高2 m，兩樹之間相距5 m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了 （　　）
第2題圖
A.11 m B.12 m C.13 m D.14 m
3.如圖，已知Rt△ABC的斜邊AB＝5，分別以直角邊BC，AC為邊向外作正方形，正方形的面積分別記為S1，S2，則S1＋S2的值為　　　　.
第3題圖
考點2　勾股定理的證明1.如圖是2002年北京第24屆國際數學家大會會徽，由4個全等的直角三角形拼合而成，若圖中大、小正方形的面積分別為13和1，設直角三角形的兩直角邊分別為a，b，則（a＋b）2的值為　　　　.
第1題圖　　　　　　　第2題圖
2.我國漢代的數學家趙爽用數形結合的方法，給出了勾股定理的證明.如圖，從圖1變換到圖2，用下列式子表示正確的是（　　）
A.a2＋b2＋4×ab＝c2＋4×ab B.4×ab＋（b－a）2＝c2
C.（a＋b）2＝2×ab＋c2 D.（a＋b）2＝2×
考點3　勾股定理的逆定理
1.以下列線段為邊，不能組成直角三角形的是（　　）
A.，， B.9，12，15 C.1，1， D.3，4，5
2.若△ABC的三邊長分別是a，b，c，則下列條件中不能判定△ABC是直角三角形的個數為（　　）
①∠A＋∠B＝∠C；②a∶b∶c＝5∶12∶13；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④b2＝（a＋c）（a－c）.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝1，AD＝2，∠B＝90°，則四邊形ABCD的面積為　　　　.
4.如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，三角形的頂點都在格點上，則下列三角形中是直角三角形的是（　　）
A B C D
考點4　勾股數
1.下列各組數中，組成勾股數的是（　　）
A.0.6，0.8，1 B.，， C.8，15，17 D.4，5，6
2.下列各組數據的三個數，是勾股數的有　　　　.
①32，42，52；②6，8，10；③7，24，25；④，，；⑤1.5，2，2.5.
考點5　勾股定理的應用
1.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問：水深幾何？”這是我國數學史上的“葭生池中”問題.如圖，即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，則BC＝　　　　.
2.如圖，為營造節日氣氛，現從樓頂A處拉一條彩帶AC到地面點C處，已知彩帶AC的長為10 m，點C到樓房底部B的距離為6 m，AB⊥BC.
（1）求樓房的高度AB；
（2）為使美觀，現計劃從樓頂A處再拉一條彩帶AD到地面點D處，點D在BC的延長線上，CD＝9 m，請求出彩帶AD的長度.
考點6　平面展開——最短路徑問題
1.如圖，一只螞蟻從長、寬都是3 cm，高是8 cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是（　　）
A.13 cm B.10 cm C.14 cm D.無法確定
第1題圖
第2題圖
2.如圖，圓柱形紙杯高為5 cm，底面周長為16 cm，在杯內壁底的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿1 cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處爬行到內壁B處的最短距離為（杯壁厚度不計） （　　）
A.10 cm B.2 cm C.4 cm D.4 cm
【課后作業】
一、選擇題
1.下列各組數中不能作為直角三角形的三邊長的是（　　）
A.2，2，3 B.9，12，15 C.6，8，10 D.7，24，25
2.已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（　　）
A.25 B.7 C.5或 D.7或25
3.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝10 cm，c＝8 cm，則Rt△ABC的面積為（　　）
A.9 cm2 B.18 cm2 C.24 cm2 D.36 cm2
4.已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足（a－17）2＋｜b－15｜＋c2－16c＋64＝0，則△ABC是（　　）
A.以a為斜邊長的直角三角形 B.以b為斜邊長的直角三角形
C.以c為斜邊長的直角三角形 D.不是直角三角形
二、填空題
5.如圖，直線l上有三個正方形A，B，C，若A，C的面積分別為5和11，則B的面積為　　　　.
第5題圖
6.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，分別以它的三邊為直徑向上作三個半圓，則圖中陰影部分的面積為　　　　　.（π不取近似值）
第6題圖
7.如圖，點A是射線BC外一點，連接AB，AB＝5 cm，點A到BC的距離為3 cm.動點P從點B出發沿射線BC以2 cm/s的速度運動.設運動的時間為t秒，當t為　　　　秒時，△ABP為直角三角形.
第7題圖
8.一個直角三角形的三邊長的平方和為200，則斜邊長為　　　　.
9.在△ABC中，AB＝13，BC＝10，AD是BC邊上的中線，且AD＝12，則AC＝　　　　.
10.如圖，陰影部分是一個半圓，則陰影部分的面積為　　　　　.（π不取近似值）
第10題圖
11.如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高為3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要　　　　米.
第11題圖
12.有一圓柱形油罐，如圖，以A點環繞油罐建梯子，正好到A點的正上方B點，梯子最短需　　　　米.（油罐周長12米，高AB＝5米）
第12題圖
三、解答題
13.如圖，某人從A地到B地有三條路可選：第一條路從A地沿AB到達B地，AB為10米；第二條路從A地沿折線AC→CB到達B地，AC為8米，BC為6米；第三條路從A地沿折線AD→DB到達B地共行走26米.若C，B，D剛好在一條直線上.
（1）求證：∠C＝90°；（2）求AD的長.
14.如圖，鐵路上A，B兩點相距25 km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少千米處？
15.小龍在放風箏時想測量風箏離地面的垂直高度，通過勘測，得到如下記錄表：
測量示意圖
測量數據 ①測得水平距離BC的長為24米.
②根據手中剩余線的長度計算出風箏線AB的長為25米.
③小龍牽線放風箏的手到地面的距離線段CD的長為1.6米.
（1）求風箏到地面的距離線段AD的長.
（2）如果小龍想要風箏沿CA方向再上升11米，BC和CD的長度不變，則他應該再放出多少米的線？
16.（1）如圖1，長方體的長為4 cm，寬為3 cm，高為12 cm.求該長方體中能放入木棒的最大長度.
（2）如圖2，長方體的長為4 cm，寬為3 cm，高為12 cm.現有一只螞蟻從點A處沿長方體的表面爬到點G處，求它爬行的最短路程.
（3）如圖3，若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計），它的高為12 cm，底面周長為12 cm，在容器內壁離底部5 cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿1 cm與飯粒相對的點A處.求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少.
第一章　勾股定理
考點1　勾股定理
1.已知一個直角三角形的兩邊長分別為5 cm，12 cm，則這個三角形的第三邊長為（　D　）
A.13 cm B.17 cm C. cm D.13 cm或 cm
2.如圖，有兩棵樹，一棵高14 m，一棵高2 m，兩樹之間相距5 m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了（　C　）
第2題圖
A.11 m B.12 m C.13 m D.14 m
3.如圖，已知Rt△ABC的斜邊AB＝5，分別以直角邊BC，AC為邊向外作正方形，正方形的面積分別記為S1，S2，則S1＋S2的值為　25　.
第3題圖
考點2　勾股定理的證明
1.如圖是2002年北京第24屆國際數學家大會會徽，由4個全等的直角三角形拼合而成，若圖中大、小正方形的面積分別為13和1，設直角三角形的兩直角邊分別為a，b，則（a＋b）2的值為　25　.
2.我國漢代的數學家趙爽用數形結合的方法，給出了勾股定理的證明.如圖，從圖1變換到圖2，用下列式子表示正確的是（　B　）
A.a2＋b2＋4×ab＝c2＋4×ab
B.4×ab＋（b－a）2＝c2
C.（a＋b）2＝2×ab＋c2
D.（a＋b）2＝2×
考點3　勾股定理的逆定理
1.以下列線段為邊，不能組成直角三角形的是（　25　）
A.，， B.9，12，15 C.1，1， D.3，4，5
2.若△ABC的三邊長分別是a，b，c，則下列條件中不能判定△ABC是直角三角形的個數為（　A　）
①∠A＋∠B＝∠C；②a∶b∶c＝5∶12∶13；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④b2＝（a＋c）（a－c）.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝1，AD＝2，∠B＝90°，則四邊形ABCD的面積為　6＋　.
4.如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，三角形的頂點都在格點上，則下列三角形中是直角三角形的是（　C　）
考點4　勾股數
1.下列各組數中，組成勾股數的是（　A　）
A.0.6，0.8，1 B.，， C.8，15，17 D.4，5，6
2.下列各組數據的三個數，是勾股數的有　②③　.
①32，42，52；②6，8，10；③7，24，25；④，，；⑤1.5，2，2.5.
考點5　勾股定理的應用
1.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問：水深幾何？”這是我國數學史上的“葭生池中”問題.如圖，即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，則BC＝　12　.
2.如圖，為營造節日氣氛，現從樓頂A處拉一條彩帶AC到地面點C處，已知彩帶AC的長為10 m，點C到樓房底部B的距離為6 m，AB⊥BC.
（1）求樓房的高度AB；
解：（1）∵AB⊥BC，AC＝10 m，BC＝6 m，
∴AB＝＝＝8（m），
即樓房的高度AB為8 m.
（2）為使美觀，現計劃從樓頂A處再拉一條彩帶AD到地面點D處，點D在BC的延長線上，CD＝9 m，請求出彩帶AD的長度.
（2）由題可得BD＝BC＋CD＝6＋9＝15（m），
∴AD＝＝＝17（m），
即彩帶AD的長度為17 m.
考點6　平面展開——最短路徑問題
1.如圖，一只螞蟻從長、寬都是3 cm，高是8 cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是（　B　）
A.13 cm B.10 cm C.14 cm D.無法確定
2.如圖，圓柱形紙杯高為5 cm，底面周長為16 cm，在杯內壁底的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿1 cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處爬行到內壁B處的最短距離為（杯壁厚度不計）（　A　）
A.10 cm B.2 cm C.4 cm D.4 cm
【課后作業】
一、選擇題
1.下列各組數中不能作為直角三角形的三邊長的是（　A　）
A.2，2，3 B.9，12，15 C.6，8，10 D.7，24，25
2.已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（　D　）
A.25 B.7 C.5或 D.7或25
3.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝10 cm，c＝8 cm，則Rt△ABC的面積為（　A　）
A.9 cm2 B.18 cm2 C.24 cm2 D.36 cm2
4.已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足（a－17）2＋｜b－15｜＋c2－16c＋64＝0，則△ABC是（　A　）
A.以a為斜邊長的直角三角形
B.以b為斜邊長的直角三角形
C.以c為斜邊長的直角三角形
D.不是直角三角形
二、填空題
5.如圖，直線l上有三個正方形A，B，C，若A，C的面積分別為5和11，則B的面積為　16　.
第5題圖
6.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，分別以它的三邊為直徑向上作三個半圓，則圖中陰影部分的面積為　24　.（π不取近似值）
第6題圖
7.如圖，點A是射線BC外一點，連接AB，AB＝5 cm，點A到BC的距離為3 cm.動點P從點B出發沿射線BC以2 cm/s的速度運動.設運動的時間為t秒，當t為　2或　秒時，△ABP為直角三角形.
第7題圖
8.一個直角三角形的三邊長的平方和為200，則斜邊長為　10　.
9.在△ABC中，AB＝13，BC＝10，AD是BC邊上的中線，且AD＝12，則AC＝　13　.
10.如圖，陰影部分是一個半圓，則陰影部分的面積為　72π　.（π不取近似值）
第10題圖
11.如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高為3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要　7　米.
第11題圖
12.有一圓柱形油罐，如圖，以A點環繞油罐建梯子，正好到A點的正上方B點，梯子最短需　13　米.（油罐周長12米，高AB＝5米）
第12題圖
三、解答題
13.如圖，某人從A地到B地有三條路可選：第一條路從A地沿AB到達B地，AB為10米；第二條路從A地沿折線AC→CB到達B地，AC為8米，BC為6米；第三條路從A地沿折線AD→DB到達B地共行走26米.若C，B，D剛好在一條直線上.
（1）求證：∠C＝90°；
證明：∵AC＝8米，BC＝6米，AB＝10米，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°.
（2）求AD的長.
解：設AD＝x米，則BD＝（26－x）米，
∴CD＝BC＋BD＝（32－x）米，
在Rt△ACD中，由勾股定理，得82＋（32－x）2＝x2，
解得x＝17.
答：AD的長為17米.
14.如圖，鐵路上A，B兩點相距25 km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少千米處？
解：∵使得C，D兩村到E站的距離相等，
∴DE＝CE.
∵DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2＋AD2＝DE2，BE2＋BC2＝EC2，
∴AE2＋AD2＝BE2＋BC2.
設AE＝x km，則BE＝AB－AE＝（25－x）km.
∵DA＝15 km，CB＝10 km，
∴x2＋152＝（25－x）2＋102，
解得x＝10，
∴AE＝10 km.
答：E站應建在離A站10 km處.
15.小龍在放風箏時想測量風箏離地面的垂直高度，通過勘測，得到如下記錄表：
測量示意圖
測量數據 ①測得水平距離BC的長為24米.
②根據手中剩余線的長度計算出風箏線AB的長為25米.
③小龍牽線放風箏的手到地面的距離線段CD的長為1.6米.
（1）求風箏到地面的距離線段AD的長.
解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝24，AB＝25.
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴AC＝＝＝7（米），
則AD＝AC＋CD＝7＋1.6＝8.6（米）.
答：風箏到地面的距離線段AD的長為8.6米.
（2）如果小龍想要風箏沿CA方向再上升11米，BC和CD的長度不變，則他應該再放出多少米的線？
（2）風箏沿CA方向再上升11米后，則AC＝11＋7＝18，
此時在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝24，AC＝18.
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴風箏線的長AB＝＝＝30，
∴30－25＝5（米）.
答：他應該再放出5米的風箏線.
16.（1）如圖1，長方體的長為4 cm，寬為3 cm，高為12 cm.求該長方體中能放入木棒的最大長度.
解：（1）如圖1，該長方體中能放入木棒的最大長度是
＝13（cm）.
圖1
（2）如圖2，長方體的長為4 cm，寬為3 cm，高為12 cm.現有一只螞蟻從點A處沿長方體的表面爬到點G處，求它爬行的最短路程.
（2）①如圖2，AG＝＝（cm），
②如圖3，AG＝＝（cm），
③如圖4，AG＝＝（cm）.
∵ cm＞ cm＞ cm，
∴最短路程為 cm.
圖2
圖3
圖4
（3）如圖3，若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計），它的高為12 cm，底面周長為12 cm，在容器內壁離底部5 cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿1 cm與飯粒相對的點A處.求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少.
（3）如圖5所示，高為12 cm，底面周長為12 cm，在容器內壁離容器底部5 cm的點B處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿1 cm與飯粒相對的點A處，將容器沿側面展開，作A關于EF的對稱點A'，
則A'D＝6 cm，BD＝12－5＋1＝8（cm），
連接A'B，則A'B即為最短距離，
∴A'B＝＝＝10（cm）.
圖5

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