資源簡介

廣東省茂名市 2023-2024 學年高一上學期期末數(shù)學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 780°的值為( )
√ 3 √ 3 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
2.設集合 = { | 3 < < 2}， = { | ( ) = lg( + 1) + lg(1 )}，則 ∪ =( )
A. { | < 2} B. { | 3 < < 2} C. { | 2 < < 2} D. { | > 3}
3. 2 4 < 0是一元二次不等式 2 + + > 0的解集是 的( )
A. 充分條件，但不是必要條件 B. 必要條件，但不是充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
4.方程 4 = 的解所在的區(qū)間為( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
2
5.已知冪函數(shù) ( ) = ( 1) 1，則 ( 1) =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
6.已知 = 6.8， = 0.8 ， = 1 ，則( )
2
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.已知函數(shù) ( )是 上的減函數(shù)， ( 1,1)， (3, 1)是其圖象上的兩點，那么| ( 1)| > 1的解集是( )
A. ( ∞, 0) ∪ (4, +∞) B. ( ∞, 0) ∪ (2, +∞)
C. (0,4) D. ( ∞, 0)
8.中國高鐵技術世界領先，高速列車運行時不僅速度比普通列車快且噪聲更小．用聲強 (單位： / 2)表
示聲音在傳播途徑中每1平方米面積上聲能流密度，聲強級 (單位： )與聲強 的函數(shù)關系式為 =

10 ( 2).若普通列車的聲強級是95 ，高速列車的聲強級是45 ，則普通列車的聲強是高速列車聲強的10
( )
A. 6倍 B. 106倍 C. 5倍 D. 105倍
二、多選題：本題共 4 小題，共 20 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
2 + 1, ≤ 0,
9.已知函數(shù) ( ) = { ( ) = 2，則 =( )
2 , > 0,
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
10.角 為第二象限角的充要條件是( )
sin > 0 sin > 0 cos < 0 cos < 0
A. { B. { C. { D. {
cos < 0 tan < 0 tan < 0 sin < 0
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11.已知 為第二象限角，那么 是( )
3
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
( ) ( ) 1
12.定義在(0, +∞)上的函數(shù)滿足 2 1 1 2 < 0，且 ( ) = 3， (3) = 9，則下列結論中正確的是( )
1 2 2
A. 不等式 ( ) > 3 的解集為(3, +∞) B. 不等式 ( ) > 3 的解集為(0,3)
1 1
C. 不等式 ( ) < 6 的解集為( , +∞) D. 不等式 ( ) < 6 的解集為(0, )
2 2
三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。
13.函數(shù) ( ) = log ( 2) + 2( > 0，且 ≠ 1)的圖象恒過定點______．
14.函數(shù) ( ) = ( > 0且 ≠ 1)的圖象經過點(1,10)，則函數(shù) ( )的反函數(shù) ( ) = ______．
15.函數(shù) ( ) = ln( + 1)的圖象經過一、三、四象限，則 的取值范圍是______．
16.如圖，邊長為1的正六邊形木塊自圖中實線標記位置起在水平桌面上從左向右做無滑動翻滾，點 為正六
邊形的一個頂點，當點 第一次落在桌面上時，點 走過的路程為 ．
四、解答題：本題共 6 小題，共 70 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
計算：
27 2 2 16
(1)( ) 3 + 0 +
8 2

3 4
；
9
(2)10 270° + 4 0° + 9 60° + 15 ( 360°)．
18.(本小題12分)
2√ 2
已知 = 且 為第二象限角．
3
(1)求 和 的值；

+3 ( + )
(2)若 = √ 2，求 2 的值．
cos( + )cos( ) 3 sin sin
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19.(本小題12分)
1
(1)已知函數(shù) ( ) = 2 ， ∈ [ , 2]，求函數(shù) ( )的值域；
2
(2)解關于 的不等式：log ( + 1) < log (3
2)( > 0且 ≠ 1)．
20.(本小題12分)
已知二次函數(shù) ( )滿足 (0) = 1，且 ( + 1) ( ) = 2 1， ( )為偶函數(shù)，且當 ≥ 0時， ( ) = ( )．
(1)求 ( )的解析式；
(2)在給定的坐標系內畫出 ( )的圖象；
(3)討論函數(shù) ( ) = ( ) ( ∈ )的零點個數(shù)．
21.(本小題12分)
3 3
已知函數(shù) ( ) =
3 +3
．
(1)判斷函數(shù) ( )的奇偶性，并說明理由；
(2)判斷函數(shù) ( )在 上的單調性，并用單調性定義證明．
22.(本小題12分)
已知函數(shù) ( ) = 2 ．
(1)當 ∈ [0,8]時，不等式 ( + 1) ≥ [( + )2]總成立，求 的取值范圍；
(2)試求函數(shù) ( ) = ( + 1) + (2 )( ∈ )在 ∈ ( ∞, 0]的最大值 ( )．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】(3,2)
14.【答案】
15.【答案】(0,1)
√ 3
16.【答案】(1 + )
3
27 2 2 16
17.【答案】解：(1)( ) 3 + 0 +
8 2 3 4 9
3 )
= ( )3×(
2
+ 1 + log22 log23 (log416 log2 3 49)
3 2 4
= ( ) 2 + 1 + 1 log23 (2 2 2 23) = ． 9
(2)10 270° + 4 0° + 9 60° + 15 ( 360°)
= 10 × 0 + 4 × 0 + 9√ 3 + 15 × 1
= 15 + 9√ 3．
2√ 2
18.【答案】解：(1)由題意得 = ， < 0， < 0，
3
1
所以 = √ 1 sin2 = ， = = 2√ 2．
3 cos
(2)由(1)知， = 2√ 2，又 = √ 2，
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+3 ( + )
所以 2
+3
=
cos( + )cos( ) 3 sin cos cos 3 sin
+3 2√ 2+3√ 2 √ 2
= = = ．
1 3 tan 1 3×( 2√ 2)×√ 2 11
1 1
19.【答案】解：(1)當 ≤ ≤ 2時，22 ≤ 2 ≤ 22，
2
即 ( )的值域為[√ 2, 4]；
(2)當 > 1時，由原不等式可得，0 < + 1 < 3 2，
解得， 1 < < 1；
當0 < < 1時，由原不等式可得， + 1 > 3 2 > 0，
解得，1 < < √ 3，
綜上，當 > 1時，解集為{ | 1 < < 1}；
當0 < < 1時，解集為{ |1 < < √ 3}.
20.【答案】解：(1)由已知設 ( ) = 2 + + 1，
由 ( + 1) ( ) = 2 1得 ( + 1)2 + ( + 1) 2 = 2 1，
2 = 2
即2 + + = 2 1恒成立，所以{ ，解得 = 1， = 2，
+ = 1
所以 ( ) = 2 2 + 1；
(2)根據(jù) ( ) = ( )( ≥ 0)，且 ( )為偶函數(shù)，作出 ( )的圖象：
(3)令 ( ) = ( ) = 0得 ( ) = ，所以原函數(shù)的零點即為 = ( )與 = 的交點的個數(shù)，
則當 < 0時， = 與 = ( )沒有交點，故 ( )沒有零點；
當 = 0或 > 1時， = 與 = ( )有2個交點，原方程有2個根；
當 = 1時， = 與 = ( )有3個交點，原方程有3個根；
當0 < < 1時， = 與 = ( )有4個交點，原方程有4個根．
21.【答案】解：(1) ( )為奇函數(shù)，理由如下：
3 3
( ) = 的定義域為 ．
3 +3
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3 3
因為 ( ) = = ( )，
3 +3
所以 ( )為奇函數(shù)．
(2) ( )在 上單調遞增，證明如下：
3 3 32 1 9 1
因為 ( ) =
3 +3
= 2 = ． 3 +1 9
+1
任取 < 11 2，則0 < 9 < 9
2，
所以9 1 9 2 < 0，1 + 9 1 > 0，1 + 9 2 > 0，
9 1 1 9 2 1 (9 1 1)(9 2+1) (9 1+1)(9 2 1) 2(9 1 9 2)
則 ( 1) ( 2) = =9 1+1 9 2+1 (9 1+1)(9
= < 0， 2+1) (9 1+1)(9 2+1)
所以 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在 上單調遞增．
22.【答案】解：(1)函數(shù) ( ) = 2 在定義域 上單調遞增，
若 ∈ [0,8]時，不等式 ( + 1) ≥ [( + )2]總成立，
則 ∈ [0,8]時， + 1 ≥ ( + )2恒成立，
整理得， ∈ [0,8]時， 2 + (2 1) + 2 1 ≤ 0恒成立，
令 ( ) = 2 + (2 1) + 2 1， ∈ [0,8]，
(0) = 2 1 ≤ 0
則{ 2 ， 無解，即 的取值集合為 ； (8) = 16 + 55 ≤ 0
(2)由題意得，函數(shù) ( ) = 2 +1 + 22 ， ∈ ( ∞, 0]，
令 = 2 ∈ (0,1]， ( ) = 2 + 2 ， ∈ (0,1]，
當 = 0時，函數(shù) ( )在(0,1]上單調遞增， ( ) = (1) = 2；
1 1
當 ≠ 0時]， ( ) = 2 + 2 = ( + )2 ， ∈ (0,1]，

1
當 < 0，即 > 0時，函數(shù) ( )在(0,1]上單調遞增，所以 ( ) = (1) = + 2；
1 1 1
當0 < < 1，即 < 1時， ( ) = ( ) = ；

1
當 ≥ 1即 1 ≤ < 0時， ( ) = (1) = 2 + ．
1
, < 1
所以 ( ) = { ．
+ 2, ≥ 1
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