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北京市平谷區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末考試
數(shù) 學(xué)
2025年1月
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）
下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的.
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，則sinA的值是
A． B． C． D．
2． 如圖，直線l1∥l2∥l3，直線l4，l5被直線l1、l2、l3所截，截得的線段分別為AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，則EF的長(zhǎng)是
（A） （B） （C） （D）
3. 在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線 先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的拋物線的表達(dá)式為
A． 　 B．
C． 　 D．
4．如圖，點(diǎn)A、B、C為⊙O上三點(diǎn)，∠ACB=30°，AB=3，弧AB的長(zhǎng)是
A. B. C. D.
5.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，CE=2，以CE為一邊作正方形CEMN，連接AM交CD于點(diǎn)H，則DH的長(zhǎng)為
A． B． C． D．
6.點(diǎn)A（1，y1），B（3，y2）是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，那么y1，y2的大小關(guān)系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．不能確定
7.加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在一定條件下，可食用率P與加工時(shí)間t（分鐘）滿足的函數(shù)關(guān)系式為：，如圖記錄了三次相同條件下實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為
A.3.5分鐘 B.3.75分鐘
C.4分鐘 D.4.25分鐘
如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，連接AD，以AD為邊作等邊△AED.給出如下三個(gè)結(jié)論：
①BE=DC;②△DBE∽△ADC；③
上述結(jié)論一定正確的是
(A)① (B)①③
(C)②③ (D)①②③
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．函數(shù)的自變量x的取值范圍是 ．
10．若，則= ．
11.如圖，身高1.6米的小林從一盞路燈下B處向前走了8米到達(dá)點(diǎn)C處時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE長(zhǎng)2米，則路燈的高AB為　 　米．
12．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，C，D，E是⊙O上的點(diǎn)，如果∠AOC+∠EOD=180 ，OD=5，DE=6，那么AC的長(zhǎng)為_________________.
13.若拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，則k的值為 ．
14．如圖，點(diǎn)A、B在雙曲線上，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，連接OA、OB，設(shè)△OBD的面積為S1，設(shè)△OAC的面積為S2，則S1 S2（填“＞，＜，或＝”）．
15 .中國(guó)古代建筑中的斜脊結(jié)構(gòu)，既有利于排水，又有利于保溫，是古代工匠智慧的體現(xiàn).如圖，房屋的屋頂截面結(jié)構(gòu)為等腰三角形，若斜脊AB的坡度i為1：2，房子側(cè)寬BC為12米， 則斜脊AB的長(zhǎng)為 米 .
16.周末，明明要去科技館參觀，該科技館共有A、B、C、D、E、F六個(gè)展館，各展館參觀所需要的時(shí)間如下表，其中展館B和展館E設(shè)有特定時(shí)間段的專業(yè)講解，若明明準(zhǔn)備9：00進(jìn)科技館，12：00離開（各展館之間轉(zhuǎn)換時(shí)間忽略不計(jì)）.
(1)若不考慮專業(yè)講解的情況下，明明最多可以參觀完 ___個(gè)展館；
(2)若B、E展館必須參觀且正好趕上專業(yè)講解，本著不浪費(fèi)時(shí)間的原則，請(qǐng)給出最合理的參觀順序 _________.
展館 A B C D E F
專業(yè)講解 無(wú) 9：30-11：00每半小時(shí)一場(chǎng)，共3場(chǎng) 無(wú) 無(wú) 10：00-12：00每1小時(shí)一場(chǎng)，共2場(chǎng) 無(wú)
參觀所需時(shí)間（分鐘） 60 30 45 15 60 90
解答題(本題共68分，第17、18、19、20、21、22題，每小題5分；第23、24、25、26題，每小題6分；第27、28題，每小題7分)解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過程.
17．計(jì)算：．
18．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，CE⊥AD于點(diǎn)E，點(diǎn)E恰為AD中點(diǎn)，CF⊥AB于點(diǎn)F，當(dāng)BF=2，AD=6時(shí)，求AB的長(zhǎng).
19. 已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AB>BC.
求作：線段BD，使得點(diǎn)D在線段AC上，且∠CBD=∠BAC.
作法：①以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓；
②以點(diǎn)C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交⊙A于點(diǎn)P
（不與點(diǎn)B重合）；
③連接BP交AC于點(diǎn)D.
線段BD就是所求作的線段.
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明.
證明：連接PC.
∵AB=AC，
∴點(diǎn)C在⊙A上.
∵點(diǎn)P在⊙A上，
∴∠CPB=∠BAC（_______）（填推理的依據(jù)）.
∵BC= PC，
∴∠CBD=_______.
∴∠CBD=∠BAC.
20．已知二次函數(shù)幾組x與y的對(duì)應(yīng)值如下表：
x … -1 0 1 2 3 4 …
y … 8 3 0 -1 0 m …
（1）直接寫出m的值，m=________；
（2）求此二次函數(shù)的表達(dá)式.
21.唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代航行模式之先導(dǎo).如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB，過O作半徑OC⊥弦AB于點(diǎn)D,若輪子的半徑為5 米，弦AB長(zhǎng)為8米，依題意補(bǔ)全圖形，并求輪子的吃水深度CD為多少米.
22.湖光塔坐落在平谷區(qū)金海湖中心島的山頂，七層八角形樓閣式建筑掛滿風(fēng)鈴，微風(fēng)吹過，玲聲悠揚(yáng)，是金海湖景區(qū)的主要景觀之一.某校組織九年級(jí)學(xué)生到金海湖景區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，數(shù)學(xué)小組的同學(xué)最初的目標(biāo)是測(cè)量湖光塔的高度，但是他們通過網(wǎng)絡(luò)搜索發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)上可以查到湖光塔的塔高為30米，所以他們把任務(wù)確定為測(cè)量湖光塔所在的中心島小山的高度，數(shù)學(xué)小組設(shè)計(jì)的方案如圖所示，他們?cè)邳c(diǎn)C處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂A的仰角為45°，此時(shí)，由于樹木的遮擋，看不清塔底，他們延水平方向向后走64米在點(diǎn)D處用測(cè)角儀測(cè)得塔底B的仰角為26.5°．請(qǐng)根據(jù)他們網(wǎng)上查到的數(shù)據(jù)和測(cè)量數(shù)據(jù)求中心島小山BE的高度約為多少米．（參考數(shù)據(jù)：）
23. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線的交點(diǎn)是．
（1）求a和的值；
（2）當(dāng)x＞3時(shí)，對(duì)于x的每個(gè)值，函數(shù)既大于函數(shù)的值，又小于函數(shù)的值，直接寫出m的取值范圍．
24. 如圖，已知△ABC中，AB= BC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，以AD為直徑畫⊙O，與AB邊交于點(diǎn)E，與AC邊交于點(diǎn)F，EF=AF，連接DE.
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BC=10，，求AC的長(zhǎng).
25.某客運(yùn)站為了了解早高峰時(shí)間段運(yùn)營(yíng)情況，有效的緩解該時(shí)段乘客的等待時(shí)間，對(duì)早上6:00-8:00時(shí)間段內(nèi)，客運(yùn)站累計(jì)候車人數(shù)和累計(jì)承載人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，為了便于記錄，將早上6:00開始每10分鐘記作一個(gè)單位時(shí)間，記為時(shí)間x（0≤x≤12），累計(jì)候車人數(shù)記為y1,累計(jì)承載人數(shù)記為y2.。
下面是他們的調(diào)查過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
（1）他們調(diào)取了客運(yùn)站該時(shí)段內(nèi)累計(jì)候車人數(shù)y1與累計(jì)承載人數(shù)y2隨x的變化而變化的有關(guān)數(shù)據(jù):
時(shí)間段 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
累計(jì)候車人數(shù) y1（萬(wàn)人） 0.5 1.1 1.6 2.2 2.9 3.6 4.2 5.1 5.7 6.0 6.3 6.5 6.6
累計(jì)承載人數(shù) y2（萬(wàn)人） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 m 6.5
（1）補(bǔ)全表格，m的值為________；
（2）通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫y1與x，y2與x的關(guān)系，在給出的平面直角坐標(biāo)系中，補(bǔ)全表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；
(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：
①大約 點(diǎn) 分時(shí)，客運(yùn)站滯留人數(shù)最多；
②客運(yùn)站將在滯留乘客人數(shù)達(dá)到0.5萬(wàn)人及以上的時(shí)間段增派車次緩解供需壓力，公司約在 點(diǎn) 分至 點(diǎn) 分時(shí)間段增派車次更合理.
26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將拋物線在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，得到的新函數(shù)記為G，若點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)G圖象上的兩點(diǎn)，若對(duì)于任意的-2Rt△ABC中，∠ACB=90°∠B=α，點(diǎn)D是AB邊中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α，得到線段DF，連接EF、AF.
如圖1，若α=30°，點(diǎn)F剛好落在BC邊上，BE=1，則AF= ，AC= ；
判斷AF、BE和BC的數(shù)量關(guān)系，從圖2、圖3中任選一種情況進(jìn)行證明.
我們給出如下定義：在平面內(nèi)，已知點(diǎn)M和圖形G，點(diǎn)M到圖形G上所有點(diǎn)的距離的最小值稱作點(diǎn)M到圖形G的距離．
（1）平面直角坐標(biāo)系下，已知點(diǎn)P(0,3),以O(shè)為圓心，1為半徑畫圓，則點(diǎn)P到⊙O的距離為__________；
（2）平面直角坐標(biāo)系下，已知點(diǎn)P(0,3),在平面內(nèi)有一個(gè)矩形ABCD，A（-2,1），B（2,1），D（-2，-1）.
①當(dāng)矩形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P到矩形的距離d的取值范圍為__________．
②若M為矩形ABCD上一點(diǎn)，連接OM，以O(shè)M為直徑畫圓，記作圓G，則點(diǎn)P到圓G的距離d的取值范圍為__________．
參考答案
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D A C C B B
填空題（本題共16分，每小題2分）
題號(hào) 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 8 8 = 4; F-B-E
三、解答題(本題共68分，第17-22題，每小題5分；第23-26題，每小題6分；第27、28題，每小題7分)解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過程.
17.解：
4
5
18.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴∠D=∠B，AD=BC，AB=DC 1
∵CE⊥AD，CF⊥AB
∴∠CED=∠CFB=90° 2
∴ .................................................3
∴ 4
∵AD=BC=6，E是AD中點(diǎn)
∴DE=3
∴
∴AB=CD=9 5
19.
2
圓周角定理 4
∠CPB 5
20．解：
（1）3 1
2
3
4
5
法2：
2
3
4
5
21. 依題意補(bǔ)全圖形 1
解：∵半徑OC⊥弦AB于點(diǎn)D，AB=8
∴BD=4 2
連接OB 3
∵OB=5
由勾股定理OD=3 4
∴CD=5-3=2 5
∴吃水深度為2米.
解：
由題意，∠AED=90°，∠ACE=45°，∠BDE=26.5°，AB=30，CD=64 1
設(shè)BE=x，則EC=x+30. 2
4
5
答：小山高度約為94米.
23.(1)∵雙曲線過點(diǎn)
∴a=2 1
∵直線過點(diǎn)
∴k=1 2
（2） 6
（一個(gè)界值1分，符號(hào)完全正確滿分）
24.（1）證明
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠AED=90° 1
∵BA=BC
∴∠BAC=∠BCA
∵EF=AF
∴∠BAC=∠FEA 2
∴∠BCA=∠FEA
∵∠DEF=∠DAC
∴∠DAC+∠BCA=∠DEA+∠AEF=90°
∴AD⊥BC
∴BC為⊙O的切線 3
（2） ∵BC為⊙O的切線
∴∠ADE+∠BDE=90°
∴∠B+∠BDE=90°
∴∠B=∠ADE
∵
∴
∴
∴
∴BD=6 4
由勾股，AD=8
∵BC=10
∴DC=10-6=4 5
由勾股
6
25.（1）6 ................................1
畫出函數(shù)圖象.....................................................................3
(3)① 7 點(diǎn) 20 分...........................................................................4
② 6 點(diǎn) 45 分至 7 點(diǎn) 45 分...................................................................................................6
26.解：
（1）當(dāng)m=1時(shí)，
令y=0，得
解得
∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)（3，0）和（-1，0）
.............................................................................................................................................2
.............................................................................................................................................3
（3）由題意，圖象G如圖所示，分以下兩種情況：
此時(shí)，
解得，............................................................................................................................................4
.
解得，.................................................................................6
∴ 或
27.解：（1）AF=2，AC=.....................................................................................................................2
（2）BE+AF=BC...........................................................................................................................................3
證明：連接CD.........................................................................................................................................4
在△ABC中，∵∠ACB=90°，D為AB邊中點(diǎn)
∴CD=AD=BD.........................................................................................................................................5
∵∠B=α°
∴∠ADC=2α°
∵∠EDF=2α°
∴∠ADF=∠CDE
在△ADF和△CDE中，
∴△ADF≌△CDE(SAS). ………………………………………………………………6
∴AF=EC.........................................................................................................................................7
∴BC=BE+AF
圖3證明過程類似給分.
(1)2........................................1
................................................................4
.......................7
2

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