資源簡介

宣城中學2023-2024學年度高一上學期期末數學測試
考試時間：120分鐘 滿分：150分
第I卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，，則( )
A. B. C. D.
2.下列說法正確的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，，則
3.函數的定義域為( )
A. B.
C. D.
4.設，，，則，，的大小關系為( )
A. B. C. D.
5.若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6.設，則的值為( )
A. B. C. D.
7.若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.函數，，若對任意，存在，使得成立，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.下列說法正確的是( )
A. 設全集為，若，則
B. 命題“，有”的否定是“，”
C. 已知，，則
D. 若，則函數的最大值是
10.函數的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，則下列關于函數的說法正確有( )
A. 是的一條對稱軸
B. 在上單調遞增
C. 的一個對稱中心為
D. 是偶函數
11.已知偶函數的定義域為，對任意兩個不相等的正數，，都有，則下列結論正確的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知函數，若，則______________．
13.一物流公司要租地建造倉庫儲存貨物，經市場調研發現：每月土地租用費用萬元與倉庫到車站的距離成反比每月庫存貨物費用萬元與成正比且時，和分別為萬元和萬元那么這家公司把倉庫建在距離車站_________千米處，費用之和最?。?br/>14.已知，則不等式的解集為______________．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在“，，”這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，求解下列問題．
已知集合，集合．
若，求；
若_____________，求的取值范圍．
16.本小題分
如圖，將一矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇，要求點在上，點在上，點在上，米，米．
Ⅰ要使擴建成的花壇面積大于米，則的長度應在什么范圍內？
Ⅱ當的長度是多少米時，擴建成的花壇面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．
17.本小題分
已知函數．
若，求的零點；
若函數在區間上恒成立，求實數的取值范圍．
18.本小題分
已知函數，的最小正期為．
求的值域；
方程在上有且只有一個解，求實數的取值范圍；
是否存在實數滿足對任意，都存在，使成立．若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．
19.本小題分
已知冪函數滿足．
求函數的解析式
若函數，，且的最小值為，求實數的值．
若函數，是否存在實數，，使函數在上的值域為若存在，求出實數的取值范圍，若不存在，請說明理由．宣城中學2023-2024學年度高一上學期期末數學測試
考試時間：120分鐘 滿分：150分
第I卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，，則( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：集合，，，
，選項A錯誤；
，，選項B錯誤；
，選項C正確；
，選項D錯誤．
故選：．
根據集合的運算逐一檢驗選項即可．
本題考查集合的運算，屬于基礎題．
2.下列說法正確的是( )
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，，則
【答案】D
【解析】【分析】
本題考查不等式的性質，考查推理能力和計算能力，屬于基礎題．
利用不等式的性質和特殊值法即可求解．
【解答】
解：對于選項，若，則命題錯誤故A選項錯誤：
對于選項，取，則滿足，但 ，故B選項錯誤：
對于選項，取，，，則滿足，但，故C選項錯誤；
對于選項，由不等式的性質可知正確，
故選D．
3.函數的定義域為( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根據題意得解得且，所以函數的定義域為故選D．
4.設，，，則，，的大小關系為 ．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本題考查利用指數函數與對數函數的性質比較大小，屬于中檔題目．
利用指數函數與對數函數的性質與，進行比較得出即可．
【解答】
因為函數單調遞減，所以
因為函數．單調遞減，所以．．
因為函數單調遞增， ， 所以．
所以則
故答案為
5.若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根據題意，函數在上單調遞增，
則有，解得，即的取值范圍為．
故選：．
根據題意，由函數單調性的定義可得，解可得答案．
本題考查分段函數的單調性，注意函數的解析式，屬于基礎題．
6.設，則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本題考查三角函數的誘導公式，同角三角函數間的基本關系．
利用三角函數的誘導公式化簡，再利用弦化切，代入即可求解．
【解答】
解：，
，
原式，
故選A．
7.若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：函數有兩個零點，即與的圖象有兩個交點，
令，作出與的大致圖象如圖所示，
由圖可知，則，
故實數的取值范圍是．
故選：．
將題目轉化為與的圖象有兩個交點，再作出函數圖象即可得到范圍．
本題主要考查了由函數零點求解參數范圍，體現了數形結合思想的應用，屬于中檔題．
8.函數，，若對任意，存在，使得成立，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本題考查三角函數值域，將問題轉化為求三角函數的值域并利用集合關系是解決問題的關鍵，屬拔高題．
分別求函數，在的值域，由集合的包含關系解不等式組可得．
【解答】
解：，
當時，，
，
，
，
對于，
當時，，，
，
對任意，存在，使得成立，
，即，
解得實數的取值范圍是
故選D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.下列說法正確的是( )
A. 設全集為，若，則
B. 命題“，有”的否定是“，”
C. 已知，，則
D. 若，則函數的最大值是
【答案】ACD
【解析】【分析】
本題主要考查集合運算，全稱量詞命題的否定，不等式的基本性質，基本不等式，屬于中檔題．
利用韋恩圖法可判斷選項利用全稱量詞命題的否定可判斷選項利用不等式的基本性質可判斷選項
利用基本不等式可判斷選項．
【解答】
解：對于選項，如下圖所示：
設全集為，若，則，故A對
對于選項，命題“，有”的否定是“，”，故B錯
對于選項，已知，，則，，
由不等式的基本性質可得，故C對
對于選項，若，則，
當且僅當時，即當時，等號成立，
故當時，函數的最大值是，故D對．
故選ACD．
10.函數的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，則下列關于函數的說法正確有( )
A. 是的一條對稱軸
B. 在上單調遞增
C. 的一個對稱中心為
D. 是偶函數
【答案】AD
【解析】【分析】
本題考查了函數的圖象與性質，屬于中檔題．
先由圖象得出 ，再由三角函數性質逐一判定即可得出結論．
【解答】
解：由圖知，則，
，所以，則，
即
因為，所以，，即，
因為，得，所以
所以
當時，，故A對
在上單調遞增，在上單調遞減，故B錯
，故C錯
，
是偶函數，故D對，
故選AD．
11.已知偶函數的定義域為，對任意兩個不相等的正數，，都有，則下列結論正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】【分析】
本題考查函數的單調性和奇偶性，同時考查了學生的數學抽象素養，屬于較難題．
依題意分析出函數在上單調遞減， 且函數為偶函數，逐個選項分析即可．
【解答】
解：對任意兩個不相等的正數，， 都有，
設，，則，
當時，，即，
函數在上單調遞減， 且函數為偶函數，
對于，，故正確；
對于，，故錯誤；
對于，，故正確；
對于，，故正確．
故選ACD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知函數，若，則___________．
【答案】
【解析】【分析】
本題考查了分段函數的計算，涉及指數對數運算，指數對數函數的性質和復合函數，屬基礎題．
先研究分段函數各段上的值域，在中，令，，然后可求得中的的值，進而求得中的的值．
【解答】
解：因為函數，
所以可得當時，，
當時，，
所以當時，令，，
所以可解得，
所以，即，可解得，
故答案是．
13.一物流公司要租地建造倉庫儲存貨物，經市場調研發現：每月土地租用費用萬元與倉庫到車站的距離成反比每月庫存貨物費用萬元與成正比且時，和分別為萬元和萬元那么這家公司把倉庫建在距離車站 千米處，費用之和最小．
【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查了利用基本不等式求函數的最值，是中檔題．
先利用待定系數法求出和關于的函數解析式，再利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：依題意，設，，其中，都大于零，
在距離車站處建倉庫，則和分別為萬元和萬元，
，，
，，
，，其中，
費用之和，
當且僅當，即時，等號成立，
故這家公司應該把倉庫建在距離車站千米處，才能使兩項費用之和最小．
故答案為．
14.已知，則不等式的解集為___________．
【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查二次函數，對數函數及復合函數、指數函數的單調性以及奇偶性．
判斷出在上單調遞增，并容易說明為偶函數，從而便可由得到，從而得到，這樣解該不等式便可得出的取值范圍．
【解答】
解：因為，
所以，
即，所以為偶函數，
所以當時，，
因為在時單調遞增，且函數值域為，
在時單調遞增，
所以在時單調遞增的函數，
因為是單調遞增的，
所以在上單調遞增，
由得，，
因為在上單調遞增，
所以，即，解得，
所以的取值范圍為．
故答案為：．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在“，，”這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，求解下列問題．
已知集合，集合．
若，求；
若______，求的取值范圍．
【答案】解：若，，，
則．
若選，則，
由，，
所以，解得；
的取值范圍為，
若選，，
，
則或，
解得：或；
的取值范圍為，
若選，
由，，
則或，
解得：或．
的取值范圍為．
【解析】本題主要考查了集合的交集，并集，子集，屬于基礎題．
當時，求出集合，，進而得出交集．
若選擇，，則，即可求解，
若選擇，，求出，則寫出關于的不等式組，即可求解，
若選擇，，根據，的范圍即可求解．
16.本小題分
如圖，將一矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇，要求點在上，點在上，點在上，米，米．
Ⅰ要使擴建成的花壇面積大于米，則的長度應在什么范圍內？
Ⅱ當的長度是多少米時，擴建成的花壇面積最??？并求出最小面積．
【答案】解：Ⅰ設米，則．
∽，，
則，．
花壇的面積．
由，得，即，解得或，
故A的長度范圍是或米．
Ⅱ由
，
當且僅當，即米時，等號成立．
當的長度是米時，擴建成的花壇的面積最小，最小值為平方米．
【解析】本題考查了相似三角形的性質、一元二次不等式、高次不等式的解法、基本不等式的應用等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．
Ⅰ設米，則利用∽，可得，得到于是花壇的面積由，解得即可．
Ⅱ分離常數，利用基本不等式即可得出．
17.本小題分
已知函數．
若，求的零點；
若函數在區間上恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】解：因為時，
所以
故
即
解得或舍
所以，
所以的零點是
函數在區間 上恒成立，
即，在區間 上恒成立，
即，在區間 上恒成立，
可得，
即，
令，
即，恒成立，
因為在單調遞增，故時，
故，
所以，
故實數的取值范圍．
【解析】本題考查函數的零點，指數函數的性質、對數方程得求解以及不等式恒成立，屬于中檔題．
由題意得，解方程得，進而求，得零點；
由題意得，即，換元求在的最小值，即，解得即可．
18.本小題分
已知函數，的最小正期為．
求的值域；
方程在上有且只有一個解，求實數的取值范圍；
是否存在實數滿足對任意，都存在，使成立．若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案】解：函數，
的最小正周期為，，
，．
那么的解析式，
則當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值．
所以函數的值域為．
方程在上有且有一個解，轉化為函數的圖象與函數的圖象在上只有一個交點．
，，
因為函數在上單調遞增，在上單調遞減，且，，，
或，
所以或．
由可知，．
實數滿足對任意，都存在，使得成立．
即成立，
令，
設，則，
，，
可得在上恒成立．
令，其對稱軸，，
當，即時，在上單調遞增，，解得；
當，即時，，解得；
當，即時，，解得 ；
綜上可得，存在，可知的取值范圍是

【解析】本題考查三角函數的性質考查函數與方程的綜合應用，考查不等式的恒成立問題，屬于較難題．
根據三角函數的恒等變換，得到，進而可得結果；
問題等價于函數的圖象與函數的圖象在上只有一個交點．求出在上單調性，進而得解．
問題等價于對任意，成立．設，則有在上恒成立．借助二次函數的性質，即可求得的取值范圍．
19.本小題分
已知冪函數滿足．
求函數的解析式
若函數，，且的最小值為，求實數的值．
若函數，是否存在實數，，使函數在上的值域為若存在，求出實數的取值范圍，若不存在，請說明理由．
【答案】解：是冪函數，
得，解得：或
當時，，不滿足．
當時，，滿足．
故得，函數的解析式為；
由函數，即，
令，
，
，
記，
其對稱軸在，
當，即時，
則，
解得：；
當時，即，
則，
解得：，不滿足，舍去；
當時，即時，
則，
解得：，不滿足，舍去；
綜上所述，存在使得的最小值為；
由函數在定義域內為單調遞減函數，
若存在實數，，使函數在上的值域為，
則
可得：
．
，
將代入得，，
令，
，，
即，
，
，即，
，
得：．
故得實數的取值范圍．
【解析】本題主要考查冪函數解析式，函數最值的求解，方程與不等式的性質，分類討論思想以及一元二次函數的性質是解決本題的關鍵，屬于較難題．
根據函數是冪函數，可得，結合求解，可得解析式；
由函數，，利用換元法轉化為二次函數問題求解最小值，可得的值；
由函數，求解的解析式，判斷其單調性，根據在上的值域為，化簡為一元二次函數求解的取值范圍．宣城中學2023-2024學年度高一上學期期末測試
數學 答題卡
姓名：______________班級：______________
準考證號
一、選擇題（請用2B鉛筆填涂）
1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空題（請在橫線上作答）
12 13 14
三、解答題（請在指定區域內作答）
15.本小題分
16本小題分
17.本小題分
18.本小題分
19.本小題7分
1

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