資源簡介

遼寧省沈陽市 2024-2025 學年高一（上）期末數(shù)學試題
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合 = { ∈ |0 ≤ 2 ≤ 16}， = { |0 ≤ ≤ 17}，則 ∩ =( )
A. { |0 ≤ ≤ 16} B. {1,2,3,4} C. { |0 ≤ ≤ 4} D. {0,1,2,3,4}
2.函數(shù) ( ) = √ 4 + lg( 2)的定義域為( )
A. { | ≥ 4} B. { | < 2} C. { |2 ≤ ≤ 4} D. { |2 < ≤ 4}
3. 1 ， 2 是平面內(nèi)不共線兩向量，已知 = 1 2 ， = 3 1 + 4 2 ， = 4 1 + 2 ，若 ， ， 三點
共線，則 的值為( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
4.命題 : ∈ [ 1,1]， 2 < 為真命題的一個充分不必要條件是( )
A. > 1 B. < 0 C. > 2 D. < 1
5.已知冪函數(shù) ( ) = (3 2 4 3) 2 +1是定義域上的增函數(shù)，則 =( )
2 2 2
A. 或2 B. C. 2 D.
3 3 3
6.設(shè) = log23， = ln ， = 2
，則( )
A. < < B. < < C. < < D. < <

7.已知強度為 的聲音對應(yīng)的等級為 ( ) 時，有 ( ) = 10lg 12，噴氣式飛機起飛時，聲音約為140 ;1×10
一般說話時，聲音約為60 .計算噴氣式飛機起飛時的聲音強度是一般說話時聲音強度的( )倍．
A. 107 B. 108 C. 109 D. 1010
|log ( )|, < 0
8.已知函數(shù) ( ) = { 22 ，若 ， ， ， 是方程 ( ) = 的四個互不相等的解，則 + + 4 + 2, 0 1 2 3 4 1 2
3 + 4的取值范圍是( )
1 1 7 7
A. [ , 2) B. ( , 2) C. [ , 4) D. ( , 4)
4 4 4 4
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.以下命題正確的選項是( )
+
A. 若 > ， < ，則 > B. 若 > ， > 0，則 >
+
C. 若 3 > 3，則 > D. 若 > ，則| | >
10.設(shè) ， 為兩個隨機事件，以下命題正確的是( )
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A. 若 與 對立，則 ( ) = 1
2 1 5
B. 若 與 互斥， ( ) = ， ( ) = ，則 ( + ) =
3 2 6
C. 數(shù)據(jù)1，1.3，2，3，3.8，4.5，6.3，7.8，8.6，10的80%分位數(shù)是7.8
2 2 1
D. 若 與 相互獨立， ( ) = ， ( ) = ， ( ) =
3 3 9
11.已知函數(shù) ( )， ( )的定義域均為 ，且 ( ) + (2 ) = 5， ( ) ( 4) = 7.若 = ( )的圖象關(guān)
于直線 = 2對稱， (4) = 2，下列說法正確的是( )
A. (2 + ) = (2 ) B. = ( )圖像關(guān)于點(3,6)對稱
C. (0) = 5 D. (1) + (2) + + (26) = 28
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12.命題“ ≥ 1， 2 3 ≥ 1”的否定是 ．
13.不等式(| 2| 1)( 2 + + ) ≥ 0對 ∈ 恒成立，則 + = ．
14.已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個，剩下的六個數(shù)據(jù)分別是4，4，6，4，8，11，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾
數(shù)的和是中位數(shù)的2倍，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值構(gòu)成的集合為 ．
四、解答題：本題共 5 小題，共 60 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知集合 = { | 2 < ≤ 6}， = { | 2 2 + 2 1 < 0}
(1)若 = 5，求集合 ∩ ;
(2)已知 : ∈ ， : ∈ ，是否存在實數(shù) ，使 是 的必要不充分條件，若存在實數(shù) ，求出 的取值范
圍;若不存在，請說明理由．
16.(本小題12分)
如圖所示，在△ 中， 為 邊上一點，且 = 2 ，若 ， ， 三點共線，且 = ， = ( >
0, > 0)．
(1)用 ， 表示 ;
(2)求2 + 的最小值．
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17.(本小題12分)
某醫(yī)療單位為了迎接醫(yī)師節(jié)，針對本單位不同年齡的員工舉辦了一次實踐技能大比拼活動，滿分100分(95分
及以上為優(yōu)秀醫(yī)師)，共有100人榮獲“優(yōu)秀醫(yī)師”稱號，將其按年齡分成以下五組：第一組[20,30)，第二
組[30,40)，第三組[40,50)，第四組[50,60)，第五組[60,70)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這些人的平均年齡 ;
(2)若從第三組，第四組，第五組三組中分層抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽取的2人年齡在不同
組的概率;
(3)若第四組的年齡的平均數(shù)與方差分別為54和1，第五組的年齡的平均數(shù)與方差分別為66和4，據(jù)此計算這
100人中第四組與第五組所有人的年齡的方差．
1
附： 2 = { [ 21 + (
2
1 ) ] + [
2
2 + (
2
+ 2
) ]}
18.(本小題12分)
已知函數(shù) ( ) = ln(1 + ) + ln(1 )為奇函數(shù)．
(1)求實數(shù) 的值;
(2)設(shè)函數(shù) ( ) = (1 + ) (1 )，判斷函數(shù) ( )在區(qū)間( 1,1)上的單調(diào)性，并給出證明;
(3)設(shè)函數(shù) ( ) = ( ) + ，求證：函數(shù) ( )在區(qū)間( 1,1)上有且只有一個零點．
19.(本小題12分)
定義一種新的運算 ”: ， ∈ ，都有 = ln( + ).
(1)對于任意實數(shù) ， ， ，試判斷( ) 與( ) ( )的大小關(guān)系;
(2)若關(guān)于 的不等式( 1)2 > [( 2 2) ( 2 2)] ln2的解集中的整數(shù)恰有2個，求實數(shù) 的取值范圍;
(3)已知函數(shù) ( ) = ln( + 4 √ 2 + 3)， ( ) = (1 ) ( )，若對任意的 1 ∈ ，總存在 2 ∈
3
[ , +∞)，使得 ( 1) = ln|3 2| + ( 2 2)，求實數(shù) 的取值范圍．
第 3 頁，共 7 頁
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 ≥ 1， 2 3 < 1
13.【答案】 1
14.【答案】{ 9,5,19}
15.【答案】解：(1)由 = 5及 2 2 + 2 1 < 0，得 2 10 + 24 < 0，解得4 < < 6，
所以 = { |4 < < 6}，
又 = { | 2 < ≤ 6}，
所以 ∩ = { |4 < < 6}；
(2)由 2 2 + 2 1 < 0，得[ ( 1)][ ( + 1)] < 0，
所以 1 < < + 1，所以 = { | 1 < < + 1}．
由 是 的必要不充分條件，得集合 是集合 的真子集，
1 ≥ 2
所所以{ ，得 1 ≤ ≤ 5，
+ 1 ≤ 6
所以 的取值范圍為[ 1,5]
16.【答案】解：(1)在△ 中，由 = + ，又 = 2 ，所以
2
= ，
3
所以
2 2 2 2 1 2
= + = + = + ( ) = + = + ，
3 3 3 3 3 3
故
1
=
2
+ ；
3 3
(2)因為
1
=
2
+ ，
3 3
第 4 頁，共 7 頁
又因為 = ， = ( > 0, > 0)，
所以
1
= ，
1
=
1 2
，所以 = + ，
3 3
1 2 1 2
又 ， ， 三點共線，所以有 + = 1，即 + = 3，
3 3
1 1 2 1 4 1 4 8 4
所以2 + = (2 + ) ( + ) = ( + + 4) ≥ (2√ · + 4) = (當且僅當 = ，即2 = 時取等
3 3 3 3
號)，
8
故2 + 的最小值為 ．
3
17.【答案】解：(1)這些人的平均年齡估計為 = 25 × 0.05 + 35 × 0.35 + 45 × 0.3 + 55 × 0.2 + 65 × 0.1 =
44.5(歲)．
(2)第三組，第四組，第五組的頻率分別為0.3，0.2，0.1，
若從這三組中分層抽取6人，則從第三組抽取3人，記為 1， 2， 3;第四組抽取2人，記為 1， 2;第五組抽
取1人，記為 ;
對應(yīng)的樣本空間 = {( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 1)，( 1, 2)，( 1, )，( 2, 3)，( 2, 1)，( 2, 2)，( 2, )，( 3, 1)，
( 3, 2)，( 3, )，( 1, 2)，( 1, )，( 2, )}，
所以 ( ) = 15
設(shè)事件 為“從6人中隨機抽取兩人，所抽取的2人年齡在不同組”，
則 = {( 1, 1)，( 1, 2)，( 1, )，( 2, 1)，( 2, 2)，( 2, )，( 3, 1)，( 3, 2)，( 3, )，( 1, )，( 2, )}，
所以 ( ) = 11，
( ) 11
所以 ( ) = = ．
( ) 15
(3)設(shè)第四組、第五組的年齡的平均數(shù)分別為 1， 2，方差分別為
2
1，
2
2，
則 2 21 = 54， 2 = 66， 1 = 1， 2 = 4，
由第四組有20人，第五組有10人，
設(shè)第四組和第五組所有人的年齡平均數(shù)為 ，方差為 2，
20 1+10 2 20×54+10×66則 = = = 58，
30 30
1
2 = {20 × [ 21 + ( 1 )
2] + 10 × [ 2 + ( 2
30 2 2
) ]}
1
= {20 × [1 + (54 58)2] + 10 × [4 + (66 58)2]} = 34，
30
所以這100人中第四組與第五組所有人的年齡的方差為34．
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18.【答案】解：(1)因為 ( ) + ( ) = 0，所以 ln(1 + ) + ln(1 ) + ln(1 ) + ln(1 + ) = 0，
故 ln(1 2) + ln(1 2) = 0，即( + 1)ln(1 2) = 0，所以 = 1；
1 2
(2)當 = 1時， ( ) = = 1 + ，所以 ( )在( 1,1)上單調(diào)遞減．
1+ 1+
證明如下：任取 1， 2 ∈ ( 1,1)，且 1 < 2，
2 2 2( )
( 1) ( 2) = ( 1 + ) ( 1 + ) =
2 1 > 0，
1+ 1 1+ 2 (1+ 1)(1+ 2)
所以 ( 1) > ( 2)，所以 ( )在區(qū)間( 1,1)上的單調(diào)遞減．
(3)由(1)，(2)問可知， = 1時，函數(shù) ( )是奇函數(shù)，且在( 1,1)上單調(diào)遞減故 ( )在( 1,1)上單調(diào)遞減，
1
又 (0) = 1 < 0， ( ) = ln3 1 > 0，所以存在唯一 0 ∈ ( 1,1)，使 ( 0) = 0， 2
所以 ( )在區(qū)間( 1,1)上有且只有一個零點．
19.【答案】解：(1) ∵ , ∈ ， = ln ( + )，
∴ ( ) = ln ( + ) ，
( ) ( ) = ln ( + ) = ln [ ( + )]
= ln ( + ) ，
∴ ( ) = ( ) ( )；
(2) ∵ ( 2 2 2 2
2 2 2 2 ) ( ) = ln ( + )
2 2
= ln (2 × ) = 2 2 + ln 2，
∴原不等式可化為：( 1)2 > 2 2，即(1 2) 2 2 + 1 > 0，
不等式( 1)2 > [( 2 2) ( 2 2)] ln2的解集中的整數(shù)恰有2個，
為滿足題意，必有1 2 < 0，即 < 1或 > 1①；
1
令 ( ) = (1 2) 2 2 + 1，則對稱軸為 = < 0，
1 2
由于 (0) = 1 > 0， (1) = 2，結(jié)合①可得 (1) < 0，
∴ ( )的一個零點在區(qū)間(0,1)，則另一個零點在區(qū)間[ 2, 1),
( 2) ≤ 0 (1 2) × ( 2)2 2 × ( 2) + 1 ≤ 0
從而{ ，即{ ②,
( 1) > 0 (1 2) × ( 1)2 2 × ( 1) + 1 > 0
3 3
由①②可得： 2 < ≤ 或 ≤ < 2，
2 2
3 3
綜上可得實數(shù) 的取值范圍為( 2, ] ∪ [ , 2)．
2 2
(3)因為 ( ) = ln( + 4 √ 2 + 3)，

( ) = (1 ) ( ) = ln( + ) ( ) = ln [ ln ( + ) + ] = ln( + + )，
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3
設(shè) = + 4 √ 2 + 3， ∈ [ ,+∞),
2
1
令√ 2 + 3 = ， ∈ [0,+∞)，則 = ( 2 3)，
2
1
∴ = ( 2 3) + 4
2
1
= ( 1)2 + 2 2，
2
∴ ( ) ln 2，
所以 = ln|3 2| + ( )的值域為 = [ln|3 2| + ln2,+∞)，∵ + + ≥ 2√ + = + 2，
當且僅當 = 0時取等號，∴ ( ) ≥ ln( + 2)，
所以 ( )的值域為 = [ln( + 2),+∞)，
根據(jù)題意可知： ，ln|3 2| + ln2 ≤ ln( + 2)，
+2
即0 < |3 2| ≤ ，
2
1 2
解得 + ≤ ≤ + 1且 ≠ ，
6 3 6 3
1 2 2
所以實數(shù) 的取值范圍[ + , ) ∪ ( , + 1]
6 3 3 3 6
第 7 頁，共 7 頁

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