資源簡介

湖南省長沙市雙城第二中學 2024-2025 學年高一上學期期末數學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1 + | | , ≤ 1
1.已知函數 ( ) = { ，方程 ( ) 1 = 0有兩解，則 的取值范圍是( )
( + 1)2 +2 , > 1
1 1
A. ( , 1) B. (0, ) C. (0,1) D. (1,+∞)
2 2
2.已知函數 ( ) = 2 3，則不等式 (3 2) > (2 5)的解集為( )
A. ( 4,2) B. ( ∞,2)
C. ( ∞, 2) ∪ (2,+∞) D. ( ∞, 4) ∪ (2,+∞)
3.已知函數 ( ) = + ，其中 ∈ ， ∈ ，如果對任意 ∈ ，都有 ( ) ≠ 2，那么在下列不等
式中一定成立的是( )
A. 4 < + < 4 B. 4 < < 4 C. 2 + 2 < 2 D. 2 + 2 < 4
4.已知角 的頂點在坐標原點，始邊與 軸的非負半軸重合，終邊經過點 ( , √ )( > 0)，則( )
A. 2 > 0 B. 2 < 0 C. 2 > 0 D. 2 < 0
5.下列函數是奇函數且在區間(0,1)上是增函數的是( )
1
A. = B. = 3 C. = 2 D. =

6.已知集合 = { 1,1,2,3,4,5}， = { ∈ |( 1)( 5) < 0}，則 =( )
A. {3} B. {2,3} C. {2,3,5} D. { 1,1,5}
1
7.已知銳角 滿足√ 3sin cos = 1.若要得到函數 ( ) = 2( + )的圖象，則可以將函數 =
2
1
sin2 的圖象( )．
2
7
A. 向左平移 個單位長度 B. 向左平移 個單位長度
12 12
7
C. 向右平移 個單位長度 D. 向右平移 個單位長度
12 12
8.“ < 1”是“ 2 4 + 3 > 0”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
二、多選題：本題共 4 小題，共 24 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
1
9.已知 ( )是定義在 上不恒為0的函數， ( 1)的圖象關于直線 = 1對稱，且函數 = 的圖象的對稱
2
中心也是 ( )圖象的一個對稱中心，則( )
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A. 點( 2,0)是 ( )的圖象的一個對稱中心
B. ( )為周期函數，且4是 ( )的一個周期
C. (4 )為偶函數
D. (31) + (35) = 2

10.已知定義在 上的函數 ( )滿足：對 ， ∈ ， ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )，且 (0) = 1, ( ) =
2
1，則以下結論正確的為( )

A. ( ) = 0 B. ( ) = 0 C. ( ) = ( ) D. ( + ) = ( )
4

11.已知函數 ( ) = √ 3cos2 sin cos ，則( )
2 2 2
A. 函數 ( )的最小正周期為4
2 √ 3
B. 點( , )是函數 ( )圖象的一個對稱中心
3 2
5
C. 將函數 ( )圖象向左平移 個單位長度，所得到的函數圖象關于 軸對稱
6

D. 函數 ( )在區間( , 0)上單調遞減
6
12.下列說法正確的是( )
1 1
A. “ > ”是“ < ”的充分不必要條件

B. ∩ = 是 = 的必要不充分條件
C. 若 ， ， ∈ ，則“ 2 > 2”的充要條件是“ > ”
D. 若 ， ∈ ，則“ 2 + 2 ≠ 0”是“| | + | | ≠ 0”的充要條件
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
13.已知 √ 2 = √ 3，則 =______．
3
14.角 的終邊經過點 (4, )，且 = ，則 =______．
5
15.已知 ( )是定義在 ，且滿足 ( + 2) = ( 2)，當 ∈ [0,4)時， ( ) = | 2 4 + 3|，若函數 =
( ) 在區間[ 4,6]上有10個不同零點，則實數 的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共 6 小題，共 72 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題12分)
已知函數 ( ) = 2

5( + 2 + 1)的定義域為 ， ( ) = ．
2+1
4
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3
(1)若 = ，求函數 ( )的值域；
4
(2)若 = ( , )，且[ ( ) ( )]2 ≤ 10，求實數 的取值范圍．
17.(本小題12分)
5
∫如圖為函數 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < )的部分圖象，且| | = ， ( , 2)．
2 4 12
(1)求 ， 的值；
3
(2)將 ( )的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的3倍(縱坐標不變)，再向右平移 個單位長度，得到函數
4

( )的圖象，討論函數 = ( ) 在區間[ , ]的零點個數．
2
18.(本小題12分)
已知函數 ( ) = 2 (√ 3 ) + 1， ∈ ．
(1)求曲線 ： = ( )的對稱中心；

(2)在銳角三角形 中， ， ， 分別是內角 、 、 的對邊，且 ( ) = 2.若 + ≤ 恒成立，求實數 的
2
最小值．
19.(本小題12分)
請解答以下問題，要求解決兩個問題的方法不同．
(1)如圖1，要在一個半徑為1米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形 ，如何截?。坎⑶蟪鲞@個最
大矩形的面積．
(2)如圖2，要在一個長半軸為2米，短半軸為1米的半個橢圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形 ，如何
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截?。坎⑶蟪鲞@個最大矩形的面積．
20.(本小題12分)
某地自2014年至2019年每年年初統計所得的人口數量如表所示：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
人數/千人 2082 2135 2203 2276 2339 2385
(1)根據表中的數據計算2014年至2018年每年該地人口的增長數量，并描述該地人口數量的變化趨勢；
450
(2)研究人員用函數 ( ) = 2000+ 0.6554 擬合該地的人口數量，其中 的單位是年，2014年初對應4.4878 +1
時刻 = 0， ( ) )的單位是干人，設 ( )的反函數為 ( )，求 (2400)的值(精確到0.1)，并解釋其實際意
義．
21.(本小題12分)
在△ 中，角 ， ， 的對邊分別是 ， ， ，且 ， ， 成等差數列．
3
(1)若 = ， = √ 3，求 + 的值；
2
(2)求2 的取值范圍．
第 4 頁，共 9 頁
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
√ 2
13.【答案】
2
3
14.【答案】
4
15.【答案】(0,1)
3 3
16.【答案】解：(1)當 = 時， ( ) = 5( 2 + +1)，
4 2
4
3 1 1
由 2 + + 1 = ( + 2)( + ) > 0，解得 < < 2，
2 2 2
1
即函數 ( )的定義域為( , 2)，
2
3 25
令 = 2 + + 1，則 ∈ (0, ],
2 16
從而 ( )的值域為( ∞,2]．
(2)由于 = ( , )，且 = 4 2 + 4 > 0，
所以方程 2 + 2 + 1 = 0的兩根分別為 ， ，且 + = 2 ， = 1，

又[ ( ) ( )]2 ≤ 10，即( 2
2
+1 2
) ≤ 10，
+1
將 + = 2 ， = 1代入整理得：
1 1 2
3
2 +
3 2 + 3 + 2 1 ( ) 1( ) = × [ ] = × [ ]2 = ( )2 ≤ 10，
4 2+1 2+1 4 ( 2+1)( 2+1) 4 2( ) 4
從而( + )2 4 ≤ 40，
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所以 2 9 ≤ 0，解得 3 ≤ ≤ 3，
即實數 的取值范圍為[ 3,3]．
2
17.【答案】解：(1)根據題意得， = ，故 = ， = = 2，故 ( ) = 2 (2 + )．
4 4
5 5
將 ( , 2)代入，得2 × ( ) + = + 2 ( ∈ )，解得 = +2 ( ∈ )
12 12 6
，

又| | < ，故 = 2 6．
(2) 2 3 2 2 依題意， ( ) = 2 [ ( ) ] = 2 ( )．
3 4 6 3 3

函數 = ( ) 在區間[ , ]的零點個數即為函數 ( )的圖象與直線 = 在[ , ]2 2 上的交點個數．
2 2 4
當 ∈ [ , ]2 時， ∈ [ , ]，結合余弦函數圖象可知， 3 3 3 3

當 ∈ [ , ]時， ( )單調遞減，當 ∈ ( , ]時， ( )2 2 2 單調遞增，

且 ( ) = 1， ( ) = 1， ( ) = 22 2 ，

作出函數 ( )在[ , ]2 上的大致圖象如圖所示．
觀察可知，當 = 2或 1 < ≤ 1時， = ( ) 有1個零點；
當 2 < ≤ 1時， = ( ) 有2個零點；
當 < 2或 > 1時， = ( ) 有0個零點．

18.【答案】解：(1)由題意，得 ( ) = 2√ 3 2 2 + 1 = √ 3 2 + 2 = 2 (2 + )．
6

令2 + = ， ∈ ，得 = + ， ∈ ，
6 12 2

∴曲線 = ( )的對稱中心為( + , 0)， ∈ ．
12 2

(2) ( ) = 2 ( + ) = 2，即sin( + ) = 1．
2 6 6
∵ 是銳角三角形 的內角，

∴ + = ，
6 2
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∴ = ．
3
+ + 2√ 3 2√ 3 2√ 3 3 √ 3
由正弦定理得 = = ( + ) = [sin( + )+ ] = × ( + ) =
3 3 3 2 2

2 ( + )．
6

0 < <
在銳角三角形 中，{ 22 ，
0 < <
3 2

解得 ∈ ( , )，
6 2
2
∴ + ∈ ( , )，
6 3 3
√ 3
∴ sin( + ) ∈ ( , 1]．
6 2
+
即√ 3 < ≤ 2，

∴ ≥ 2，即實數 的最小值為2．

19.【答案】解：(1)設∠ = ，(0 < < )；
2
∴ = ， = ；
∵ = 2 ，
∴ ═2 = 2 ；
√ 2
∴當 = 時，即 = 時，矩形面積最大為1；
4 2
2
(2)依題意可得：橢圓方程為： + 2 = 1, ( ≥ 0)；
4
設：點 坐標為( , )即： = ， = ；
∴ = 2 = 2 ；
∵點 為橢圓上的點；
2
∴ + 2 = 1；
4
2 2
∵ + 2 ≥ 2√

2 = ；
4 4
1
∴ ≤ 1，當且僅當 = = 時取等號；
2 2
∴ ≤ 2；
即矩形面積最大為2；當 = √ 2時取等號；
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20.【答案】解：(1)2014年至2019年每年該地人口的增長數量為2385 2082 = 303千人，
3135 2082 = 53，2203 2135 = 68，2276 2203= 73，2339 2276 = 63，2385 2339 = 46，
由上述數據可得從2014年到2019年每年人口增長數量呈先增加后減少的變化趨勢，每一年人口總數呈逐漸
遞增的變化趨勢，
450
(2)由 ( ) = 2000+
4.4878 0.6554
，
+1
∵ ( )的反函數為 ( )，
450
∴ 2400 = 2000+
4.4878 0.6654
，
+1
∴ 4.4878 0.6554
450
+1 = ，
400
∴ 4.4878 0.6554
1
= ，
8
兩邊取對數可得 4.4878 0.6554 = 8，
4.4878+ 8 35.9024
∴ = = ≈ 5.5，
0.6554 0.6554
∴ (2400) = 5.5．
其實際意義為：可根據數學模型預測人口數量增長規律，及提供有效數據，即經過半年時間，該地人口數
量人數即增長到2400千人．
21.【答案】解：(1) ∵ , , 成等差數列，

∴ = ，
3
∵
３
· = ，
２
3
∴ ( ) = ，
2
1 3 1
∴ = , ，即 = 3．
2 2 2
∵ = √ 3, 2 = 2 + 2 2 ，
∴ 2 + 2 = 3，即( + )2 3 = 3，
∴ ( + )2 = 12，所以 + = 2√ 3;
2 √ 3 1
(2)2 = 2 ( ) = 2( + ) = √ 3 ，
3 2 2
2
∵ 0 < < ，
3
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√ 3
∴ √ 3 ∈ ( ,√ 3)，
2
√ 3
∴ 2 的取值范圍是( , √ 3)．
2
第 9 頁，共 9 頁

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