資源簡介

北京市門頭溝區2024-2025學年九年級上學期期末考試
數 學
2025.1
考 生 須 知 1. 本試卷共8頁，三道大題，28道小題，滿分100分。考試時間120分鐘。 2. 在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、姓名、班級和考場。 3. 試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。 4. 答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。 5. 考試結束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）
第1- 8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．
1．剪紙是中國古老的民間藝術，先后入選了中國非物質文化遺產名錄和世界人類非物質文化遺產代表作名錄．以下剪紙中，為中心對稱圖形的是
A B C D
2．下列事件中，屬于必然事件的是
A．拋一枚硬幣正面向上 B．任意畫一個三角形，其內角和為180°
C．打開電視機正在播放廣告 D．在一個沒有紅球的盒子里，摸到紅球
3．拋物線先向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度后，得到的拋物線是
A． B． C． D．
4．不透明袋子中裝有一個紅色小球和一個白色小球，它們除顏色外無差別．如果從中隨機取出一個小球后，放回并搖勻，再從中隨機取出一個小球，兩次都取到白色小球概率為
A． B． C． D．
5．如果關于x的方程有兩個相等的實數根，那么c的值是
A．16 B．4 C． D．
6．如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P，∠A = 35°，
∠APD = 80°，那么∠B度數為
A．55° B．60°
C．65° D．45°
7．根據下圖中圓規的作圖痕跡，只用直尺就可確定△ABC內心的是
A B C D
8．對于溫度，世界上大部分國家使用攝氏溫標（℃），少數國家使用華氏溫標（℉），兩種溫標間有如下對應關系：
攝氏溫標（℃） … 0 10 20 30 40 50 …
華氏溫標（℉） … 32 50 68 86 104 122 …
通過上表可以得到，攝氏溫標（℃）與華氏溫標（℉）滿足的函數關系是
A．正比例函數關系 B．反比例函數關系
C．一次函數關系 D．二次函數關系
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是 ．
10．如果一個正多邊形的邊長等于它外接圓的半徑，那么這個正多邊形是正 邊形．
11．寫出一個與拋物線開口方向相同的拋物線的表達式： ．
12．用一個半徑為1的半圓作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的半徑為 ．
13．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點，如果∠P = 50°，那么∠AOB = ．
14．如圖，一個可以自由轉動的質地均勻的轉盤，被分成了12個相同的小扇形．如果把其中的某些小扇形涂上紅色，使轉動的轉盤停止時，指針指向紅色的概率是，那么涂上紅色的小扇形有 個．
第13題圖 第14題圖 第15題圖
15．函數的自變量x的取值范圍為全體實數，其中x≥0部分的圖象如圖所示，對于此函數有以下的結論：
① 該函數的圖象關于y軸對稱； ② 函數既有最大值，同時也有最小值；
③ 當時，y隨x的增大而增大；
④ 當時，關于x的方程有4個實數根．
其中正確的結論有 （填序號）．
16．某送貨員負責為A～E五個商場送貨，每送一件甲種貨物可收益1元，每送一件乙種貨物可收益2元，某天五個商場需要的貨物數量如下表所示：
商場 需甲種貨物數量（件） 需乙種貨物數量（件）
A 15 6
B 10 5
C 8 5
D 4 7
E 13 4
（1）如果送貨員一個上午最多前往三個商場，且要求他最少送甲種貨物30件，最少送乙種貨物15件，寫出一種滿足條件的送貨方案 （寫商場編號）；
（2）在（1）的條件下，如果送貨員想在上午達到最大的收益，寫出他的最優送貨方案是
（寫商場編號）．
三、解答題（本題共68分，第17～22題每小題5分，第23～26題每小題6分，第27～28題每小題7分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．解方程：．
18．已知二次函數幾組x與y的對應值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 0 5 …
（1）求此二次函數的表達式；
（2）直接寫出當x取何值時，y≤0．
19．如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD于點E，CD = 24，BE = 8．
求⊙O的半徑．
20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，將△ABC繞點C逆時針旋轉得到△DEC，且使點A的對應點D落在BC邊上，點B的對應點為E．
求線段BD，DE的長．
21．已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果k為正整數，且該方程的根都是整數，求k的值．
22．在一次社會實踐活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩墻足夠長），用28米長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設AB = x米．
（1）如果花園的面積為192平方米，求x的值；
（2）如果在點P處有一棵樹到墻CD，AD的距離分別
是15米和6米，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，
不考慮樹粗細），直接寫出花園面積的最大值．
23．下面是圓周角定理的證明過程，選擇情況2或情況3，補全該情況的證明過程．
圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
已知：在⊙O中，所對的圓周角為∠BAC，圓心角為∠BOC． 求證：．
證明：
情況1：如圖1，當點O在 ∠BAC的一邊上時： 情況2：如圖2，當點O在 ∠BAC的內部時： 情況3：如圖3，當點O在 ∠BAC的外部時：
圖1 圖2 圖3
∵， ∴． ∵， ∴． 即．
24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，O為AC上一點，以點O為圓心，OC為半徑的圓恰好與AB相切，切點為D，⊙O與AC的另一個交點為E．
（1）求證：BO平分∠ABC；
（2）如果∠A = 30°，AE = 1，求BO的長．
25．小明遇到這樣一個問題：
如圖，一個單向隧道的斷面，隧道頂MCN是一條拋物線的一部分．經測量，隧道頂的跨度MN = 4米，最高處到地面的垂直距離CO = 4米，兩 側的墻高AM = BN = 3米．今有寬為2.4米的卡車在隧 道的正中間行駛，如果卡車載物后的最高點E到隧道 頂面對應的點D的距離應不小于0.6米，那么卡車載 物后的限高應是多少米？（精確到0.1米）
小明為了解決這個問題，以AB的中點O為原點，1米長為一個單位長度，建立平面直角坐標系，并設隧道頂MCN的拋物線表達式為．
請幫助小明解決以下問題：
（1）寫出點M、C、B的坐標；
（2）求隧道頂MCN的拋物線表達式；
（3）求卡車載物后的限高應是多少米？
（精確到0.1米）
26．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線（a≠0）．
（1）當時，
① 求該拋物線的對稱軸；
② 點和是拋物線上的兩點，直接寫出m和n的大小關系；
（2）如果點和是拋物線上的兩點，且對于，，都有，求a的取值范圍．
27．已知，如圖，△ABC是等邊三角形．
（1）如圖1，將線段AC繞點A逆時針旋轉90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交BD于點E，連接CE．
① 依題意補全圖1；
② 求∠AED的度數；
③ 求證：．
（2）如圖2，將線段AC繞點A順時針旋轉90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交DB的延長線于點E，連接CE，直接用等式表示線段AE，CE，BD間的數量關系．（不用證明）
圖1 圖2
如圖1，平面中的線段AB和直線AB外一點P，對于P，A，B三點確定的圓，如果∠APB所對的弧為優弧，我們就稱點P為線段AB的“優關聯點”．
（1）如圖2，已知點，．
① 在點，，中，是線段OC
的“優關聯點”的是 ；
② 如果直線上存在線段OC的“優關聯點”，直接寫出b的取值范圍．
（2）如圖 3，已知點，，，，，如果在△DEF邊上存在線段MN的“優關聯點”，直接寫出a的取值范圍．
圖2 圖3
參考答案
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C A B D D C
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
題號 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 六 略 130° 3 ①，④ 略 A，B，E
三、解答題（本題共68分，第17～22題每小題5分，第23～26題每小題6分，第27～28題每小題7分）
17．（本小題滿分5分）
解方程：．
解：…………………………………………………………………… 1分
，或 ，…………………………………………………………… 3分
，………………………………………………………………… 5分
（本小題滿分5分）
解：（1）根據題意，二次函數圖象的頂點為（1，-4）.……………………………… 1分
設該二次函數的表達式為………………………………… 2分
把（3，0）代入，得
∴ ……………………………………………………………………… 3分
∴二次函數的表達式為 …………………… 4分
（2）…………………………………………………………………… 5分
19．（本小題滿分5分）
解：如圖，連結OC.
∵ AB是直徑，AB⊥CD，
∴ ………………………………………………………………… 2分
設⊙O的半徑為r，則
在Rt△COE中，∠OEC=90°.
由勾股定理得
∴ ……………………………………………………………… 4分
解得
∴ ⊙O的半徑為13.………………………………………………………………… 5分
20．（本小題滿分5分）
解：根據題意，得△ABC≌△DEC.
∴ AB = DE，AC = DC. …………………………………………………………… 2分
∵ AC = 3，
∴ DC = 3.
∵ BC ＝ 4，
∴ BD = 1 ………………………………………………………………………… 3分
在Rt△ABC中，∠ACB = 90°.
∴ 根據勾股定理，得
∴ DE = 5. ……………………………………………………………………… 5分
（本小題滿分5分）
解：（1）由題意，得 △=
∴………………………………………………………………………2分
（2）∵ k為正整數，
∴ k = 1，2．……………………………………………………………………3分
當k = 1時，方程的根不是整數；
當k = 2時，方程的根，都是整數；
綜上所述，k = 2．………………………………………………………………5分
22．（本小題滿分5分）
解：（1）∵ 米，則米. …………………………………………1分
∴ 由題意得…………………………………………………2分
解得：，
∴ x的值為12米，16米. ……………………………………………………4分
（2）面積的最大值為195平方米. …………………………………………………5分
23．（本小題滿分6分）
解：選擇情況2，證明過程如下：
連接AO，延長AO交⊙O于點D. ……………… 1分
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．…………………………………………………………………4分
同理可證……………………………………………………………5分
∴ ，
………………………………………6分
注：選擇情況3證明的按照相應步驟給分.
24．（本小題滿分6分）
（1）證明：如圖，連接OD． …………………………………………………………1分
∵ 以OC為半徑的⊙O恰好與AB相切，切點為D，
∴ OD⊥AB．…………………………………………………………………2分
∵ ∠ACB = 90°，OD = OC，
∴ 點O在∠ABC的平分線上．
∴ BO平分∠ABC．…………………………………………………………3分
（2）解：∵ ∠A = 30°，∠ACB = 90°，
∴ ∠ABC = 60°．
∵ BO平分∠ABC，
∴ ∠ABO = 30° =∠A．
∴ BO = AO．…………………………………………………………………4分
∵ ∠A = 30°，∠ADO = 90°，
∴ AO = 2OD．
設OD = OE = r，
則r + 1 = 2r．
解得：r = 1．
∴ AO = 2．
∴ BO = 2． ……………………………………………………………………6分
25．（本小題滿分6分）
解：（1），，…………………………………………………3分
（2）∵ 拋物線表達式為經過點，，
∴
解得
∴ 隧道頂MCN的拋物線表達式為（≤x≤2）.…………5分
當時，
∴ （米）.
∴ 卡車載物后的限高約為3.0米. …………………………………………6分
26．（本小題滿分6分）
解：（1）① 當時，
∴
∴ 它的對稱軸為直線………………………………………………2分
② m＞n．………………………………………………………………………3分
（2）∵ 點和是拋物線上的兩點，，
∴
又∵，
∴
當a＞0時， 當a＜0時，
又∵ ， ∴ . ∴ ∴ 又∵ ， ∴ ∴ 又∵ ， ∴ ∴ . ∴ 又∵ ， ∴
綜上所述，a的取值范圍是，………………………… 6分
（本小題滿分7分）
（1）① 依題意補全圖形1，如圖：
…………………………………………2分
② 解：∵ △ABC是等邊三角形，
∴ AB = AC，∠BAC = 60°．
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠EAC = 30°．
由旋轉可知：AD = AC，∠CAD = 90°．
∴ AB = AD，∠BAD = 150°．
∴ ∠ABD =∠D = 15°．
∴ ∠AED = ∠ABD+∠BAE = 45°．……………………………………4分
③ 證明：如圖，過點A作AF⊥AE，交ED的延長線于點F．
∴ ∠EAF = 90°．
又∵ ∠AED = 45°，
∴ △AEF為等腰直角三角形．
∴ AE = AF ，∠AEF =∠AFE = 45°．
∴ EF =AE ．
由旋轉可知：AD = AC = AB，∠CAD = 90°．
∴ ∠CAD =∠EAF = 90°．
∴ ∠1 = ∠2 .
∴ △AEC ≌ △AFD．
∴ CE = FD ．
又∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠1 = ∠3 .
∴ ∠2 = ∠3 .
∴ △AEB ≌ △AFD．
∴ BE = FD ．
∴ BE = FD = EC ．
又∵ BD = BE + EF + FD，
∴ BD =AE +2EC .…………………………………………… 6分
（2）∴ BD =AE - 2CE．…………………………………………………………… 7分
28．（本小題滿分7分）
解：（1）① P3；………………………………………………………………………… 1分
② ………………………………………………………… 3分
（2）， ………………………………………… 7分
說明：
若考生的解法與給出的解法不同，正確者可參照評分參考相應給分。
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