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2023-2024學年遼寧省高二(下)期末數(shù)學試卷(含答案)

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2023-2024學年遼寧省高二(下)期末數(shù)學試卷(含答案)

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2023-2024學年遼寧省高二(下)期末數(shù)學試卷
一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合,則( )
A. B. C. D.
2.已知,為實數(shù),則“”成立的充分不必要條件是( )
A. B.
C. D.
3.已知函數(shù),則的零點所在的區(qū)間為( )
A. B. C. D.
4.定義行列式,若行列式,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
5.已知,則,,的大小關(guān)系( )
A. B. C. D.
6.函數(shù)的圖象大致為( )
A. B.
C. D.
7.若對任意的,,且,都有,則的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知等差數(shù)列的公差為,且集合中有且只有個元素,則中的所有元素
之積為( )
A. B. C. D.
二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。
9.下列說法正確的是( )
A. 若函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為
B. 函數(shù)的值域為
C. 若,則
D. 若冪函數(shù),且在上是增函數(shù),則實數(shù)
10.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且,當時,,則下列選項正確的是( )
A. 的圖象關(guān)于點對稱 B. 的最小正周期為
C. 為偶函數(shù) D.
11.已知實數(shù),滿足,,且,則下列結(jié)論正確的是( )
A. 的最小值為 B. 的最小值為
C. D.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.已知是定義在上的奇函數(shù),且,則 ______.
13.已知數(shù)列的首項為,是邊所在直線上一點,且,則數(shù)列的前項和為______.
14.若關(guān)于的不等式在上恒成立,則實數(shù)的取值范圍______.
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數(shù).
判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明;
若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解,求實數(shù)的取值范圍.
16.本小題分
在生活中,噴漆房和烤漆房是重要的工業(yè)設(shè)備,它們在我們的生活中起著至關(guān)重要的作用噴漆房的過濾系統(tǒng)主要作用是凈化空氣能把噴漆過程中的有害物質(zhì)過濾掉,過濾過程中有害物質(zhì)含量單位:與時間單位:間的關(guān)系為,其中,為正常數(shù),已知過濾消除了的有害物質(zhì).
過濾后還剩百分之幾的有害物質(zhì)?
要使有害物質(zhì)減少,大約需要過濾多少時間精確到?參考數(shù)據(jù):
17.本小題分
已知數(shù)列滿足,.
證明是等比數(shù)列,并求的通項公式;
證明:.
18.本小題分
已知函數(shù).
求證:當時,有兩個零點;
若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
19.本小題分
柯西不等式是數(shù)學家柯西在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的,其形式為:,等號成立條件為或,,,,,,至少有一方全為柯西不等式用處很廣,高中階段常用來計算或證明表達式的最值問題已知數(shù)列滿足.
證明:數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;
證明:.
參考答案
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10.
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13.
14.
15.解:單調(diào)遞減,證明如下:
易知定義域為,
由,
得到,
因為,
所以,又,
故在區(qū)間上恒成立,
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
由,得到,,
又是增函數(shù),得到在區(qū)間上有解,
即在區(qū)間上有解,
令,,
則在區(qū)間恒成立,
即在區(qū)間上單調(diào)遞減,
所以,
故實數(shù)的取值范圍.
16.解:當時,,
所以是初始有害物質(zhì)的含量,
由題意可知,,得,
后有害物質(zhì)含量,
所以過濾小時后還剩的有害物質(zhì);
設(shè)過濾小時后,有害物質(zhì)減少,即還剩,
則,
則,
則,
則,
所以要使有害物質(zhì)減少,大約需要過濾小時.
17.證明:因為,所以,且,則,
即,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,
所以,則;
由可知,,
,即,只有當時,等號成立,
所以,只有當時,等號成立,
當時,,成立,
當時,,
綜上可知,.
18.解:證明:當時,,,所以,
所以無零點,
當時,由,得,
令,則,
所以在上遞增,即在上遞增,
因為,
所以存在唯一,使得,
所以當時,,當時,,
所以在上遞減,在上遞增,
因為,在上遞增,所以,
因為,
所以存在唯一,使得,
所以有兩個零點和;
若在上恒成立,則恒成立,
設(shè),即證在上恒成立,
,令,
則,令,
則,
因為,,所以,所以在上遞增,
即在上遞增,所以,
所以在上遞增,即在上遞增,
當時,,則,
所以在上遞增,
因為,所以在上恒成立,所以,
當時,,
令,則,
當時,,當時,,
所以在上遞減,在上遞增,
所以,所以,
因為,
所以,
所以存在,使得,
所以在上遞減,
因為,所以時,不合題意,
綜上,實數(shù)的取值范圍為.
19.證明:因為,
所以為常數(shù),
又,得到,
所以數(shù)列為首項為,公差為的等差數(shù)列,
由,得到.
證明:要證,
即證,
即證,
由柯西不等式知,
當且僅當時取等號,
即,
所以只需證明,
由知,
所以只需證明,
即證明,
下面用數(shù)學歸納法證明,
當時,不等式左邊,不等式右邊,所以時,不等式成立,
假設(shè)時,不等式成立,即成立,
則時,,
令,則在區(qū)間上恒成立,
即在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,
得到,取,得到,
整理得到,即,
所以,
即,不等式仍成立,
由知,對一切,,
所以.
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