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2024-2025學(xué)年廣西百色市田東實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高二（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知直線與軸所成角為，直線的斜率為( )
A. B. C. D.
2.若直線與直線平行，則的值為( )
A. B. 或 C. D. 或
3.已知，，則與( )
A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向
4.“”是“直線與直線垂直”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
5.已知空間向量，，則在上的投影向量為( )
A. B. C. D.
6.正方體的棱長為，、、分別為、、的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
7.設(shè)點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是( )
A. 或 B. C. D. 或
8.如圖在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，若記，，，則( )
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.直線的一個方向向量為( )
A. B. C. D.
10.對于任意非零向量，，以下說法錯誤的有( )
A. 若，則
B. 若，則
C. ，
D. 若，則為單位向量
11.已知直線：，：，，以下結(jié)論正確的是( )
A. 在軸上的截距為
B. 當(dāng)變化時，與分別經(jīng)過定點(diǎn)和
C. 無論為何值，與都關(guān)于直線對稱
D. 無論為何值，與都互相垂直
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值是______．
13.若直線：與：平行，則與之間的距離為______．
14.正四面體中，平面與平面所成角余弦值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在中，．
求頂點(diǎn)，的坐標(biāo)；
求．
16.本小題分
已知，．
若，分別求與的值；
與垂直，求．
17.本小題分
求經(jīng)過直線：與直線：的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線方程
與直線平行；
與直線垂直．
18.本小題分
如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．
Ⅰ求證：平面；
Ⅱ求直線與平面所成角的正弦值．
19.本小題分
如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．
Ⅰ求證：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值．
參考答案
1.
2.
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4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：設(shè)，因?yàn)椋?br/>所以，所以．
設(shè)，因?yàn)椋?br/>所以，所以．
因?yàn)椋?br/>所以．
16.解：因?yàn)?，，且?br/>設(shè)，即，
即，解得，故，．
由題意可知，，解得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
因此，或．
17.解：由，解得 ，所以，交點(diǎn)．
斜率，由點(diǎn)斜式求得所求直線方程為，即．
斜率，由點(diǎn)斜式求得所求直線方程為，即．
18.Ⅰ證明：連接交于點(diǎn)，連接，
在正方形中，．
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以
因?yàn)槠矫?，平面?br/>所以平面．
Ⅱ解：不妨設(shè)正方體的棱長為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
所以所以即
令，則，，
于是．
設(shè)直線與平面所成角為，
則．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
19.Ⅰ證明：因?yàn)槠矫?，平面，平面?br/>所以，，又因?yàn)椋?br/>所以、、兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，，
，，
，，，
所以，，所以，，
因?yàn)槠矫?，平面，?br/>所以平面D.
Ⅱ解：由Ⅰ知，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
，令，，
平面的法向量為，
所以二面角的余弦值為．
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